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初中数学分类讨论专题

发布时间:2014-02-28 19:43:45  

分类讨论专题

在数学中,我们常常需要根据研究对象性质的差异,分各种不同情况予以考查.这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法,同时也是一种解题策略.

分类是按照数学对象的相同点和差异点,将数学对象区分为不同种类的思想方法,掌握分类的方法,领会其实质,对于加深基础知识的理解.提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的.正确的分类必须是周全的,既不重复、也不遗漏.

分类的原则:

(1)分类中的每一部分是相互独立的;

(2)一次分类按一个标准;

(3)分类讨论应逐级有序进行.

(4)以性质、公式、定理的使用条件为标准分类的题型.

综合中考的复习规律,分类讨论的知识点可分为三大类:

1. 代数类:代数有绝对值、方程及根的定义,函数的定义以及点(坐标未给定)所在象限等.

2. 几何类:几何有各种图形的位置关系,未明确对应关系的全等或相似的可能对应情况等.

3. 综合类:代数与几何类分类情况的综合运用.

代数类

考点1 与数与式有关的分类讨论

1. 化简:|x-1|+|x-2|

2. 已知α、β是关于x的方程x2+x+a=0的两个实根。

(1)求a的取值范围;

(2)试用a表示|α|+|β|。

3. 代数式abab??的所有可能的值有( ) |a||b||ab|

1

A. 2个

B. 3个 C. 4个 D. 无数个

考点2 与方程有关的分类讨论

4. 解方程:①(a-2)x=b-1 ②试解关于x的方程(x?1)

5. 关于x的方程kx?(2k?1)x?1?0有实数根,则k的取值范围是()

A.k?4 B.k?22x?1?1 111或k?0 C.k< D. k≥ 444

26. 已知关于x的方程kx?2(k?4)x?(k?4)?0

(1)若方程有实数根,求k的取值范围

(2)若等腰三角形ABC的边长a=3,另两边b和c恰好是这个方程的两个根,求ΔABC的周长.

考点3 函数部分

7. 一次函数y?kx?b,当?3?x?1时,对应的y值为1?x?9,则kb的值是( )。

A. 14

8. 设一次函数y=-ax+2a-1的图象不经过第一象限,求a的取值范围。

2 B. ?6 C. ?4或21 D. ?6或14

9. 比较一次函数y1=2x与二次函数y2=

10. 图9是二次函数y?(x?m)?k的图象,其顶点坐标为M(1,-4).

(1)求出图象与x轴的交点A,B的坐标;

(2)将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折,图象的其余部分保持不变,

得到一个新的图象,请你结合这个新的图象回答:当直线y?x?b(b?1)与此图象有两个公共点时,b的取值范围.

【变式】就b的取值范围,讨论.直线y?x?b(b?1)与此图象有公共点的个数 212x的函数值y1与y2的大小。 2

图9

3

几何类

一、与等腰三角形有关的分类讨论

考点4 与角有关的分类讨论

1. 已知等腰三角形的一个内角为75°则其顶角为________

考点5 与边有关的分类讨论

1. 已知等腰三角形的一边等于5,另一边等于6,则它的周长等于_________.

考点6 与高有关的分类讨论

1. 一等腰三角形的一腰上的高与另一腰成35°,则此等腰三角形的顶角是________度.

2. 等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°,这个等腰三角形的顶角是______度.

3. 为美化环境,计划在某小区内用30m的草皮铺设一块一边长为10m的等腰三角形绿

地,请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长.

4. 如图,在网格图中找格点M,使△MPQ为等腰三角形.并画出相应的△MPQ的对称轴.

2考点7 综合应用

4

1. 在直角坐标系中,O为坐标原点,已知A(-2,2),试在x轴上确定点P,使△AOP

为等腰三角形,求符合条件的点P的坐标

A

2. 如图,在平面直角坐标系xoy中,分别平行x、y轴的两直线a、b相交于点A(3,4).连

接OA,若在直线a上存在点P,使△AOP是等腰三角形.那么所有满足条件的点P的坐标是

a

x

3. 直角坐标系中,已知点P(-2,-1),点T(t,0)是x轴上的一个动点.

(1) 求点P关于原点的对称点P?的坐标;(2)当t取何值时,△P?TO是等腰三角形?

二、与圆有关的分类讨论

圆既是轴对称图形,又是中心对称图形,还具有旋转不变性,圆的这些特性决定了关于

5

圆的某些问题会有多解.

考点8 由于点与圆的位置关系的不确定而分类讨论

1. 已知点P到⊙O的最近距离为3cm,最远距离为13cm,求⊙O的半径.

考点9 由于点在圆周上位置关系的不确定而分类讨论

1. A、B是⊙O上的两点,且∠AOB=136o,C是⊙O上不与A、B重合的任意一点,则∠ACB

的度数是___________.

考点10 由于弦所对弧的优劣情况的不确定而分类讨论

1. 已知横截面直径为100cm的圆形下水道,如果水面宽AB为80cm,求下水道中水的最

大深度.

考点11 由于两弦与直径位置关系的不确定而分类讨论

1. ⊙O的直径AB=2,过点A有两条弦AC=2,AD=3,求∠CAD的度数.

考点12 由于直线与圆的位置的不确定而分类讨论

1. 已知在直角坐标系中,半径为2的圆的圆心坐标为(3,-3),当该圆向上平移单位时,它与x轴相切.

2. 如图,直线y??4x?4与x轴,y轴分别交于点M,N 3

(1)求M,N两点的坐标;

6

(2)如果点P在坐标轴上,以点P为圆心,

求点P的坐标

. 124为半径的圆与直线y??x?4相切,53

考点13 由于圆与圆的位置的不确定而分类讨论

1. 已知⊙O1与⊙O2相切,⊙O1的半径为3 cm,⊙O2的半径为2 cm,则O1O2的长是

cm .

2. 如图,在8×4的方格(每个方格的边长为1个单位长)中,⊙A的半径为1,⊙B的半

径为2,将⊙A由图示位置向右平移 个单位长后,⊙A与⊙B相切.

3. 如图,小圆的圆心在原点,半径为3,大圆的圆心坐标为(a,0),半径为5,如果两圆

内含,那么a的取值范围是_________.

4. 在直角坐标平面内,O为原点,点A的坐标为(1,0),点C的坐标为(0,4),直线

.点B与点A关于原点对称,直线y?x?b(b为常数)CM∥x轴(如图7所示)

经过点B,且与直线CM相交于点D,联结OD.

7

(1)求b的值和点D的坐标;

(2)设点P在x轴的正半轴上,若△POD是等腰三角形,求点P的坐标;

(3)在(2)的条件下,如果以PD为半径的⊙P与⊙O外切,求⊙O的半径.

三、与直角三角形有关的分类讨论

1. 已知点M(0,1),N(0,3),在直线y=2x+4上找一点P使△MPN为直角三角形,

求点P的坐标.

2. 如图,已知抛物线C1:y?a?x?2??5的顶点为P,与x轴相交于A、B两点(点A2b x

在点B的左边),点B的横坐标是1.

(1)求P点坐标及a的值;

(2)如图(1),抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称,将抛物线C2向右平移,平移后的抛物线记为C3,C3的顶点为M,当点P、M关于点B成中心对称时,求C3的关系式;(3)如图(2),点Q是x轴正半轴上一点,将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4.抛物线C4的顶点为N,与x轴相交于E、F两点(点E在点F的左边),当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时,求点Q的坐标.

8

四、与相似三角形有关的分类讨论 考点14 对应边不确定

1. 如图,已知矩形ABCD的边长AB=3cm,BC=6cm..某一时刻,动点M从A点出发沿

AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动;同时,动点N从D点出发沿DA

方向以2cm/s的速度向A点匀速运动,问:是否存在时刻t,使以A,.M,N为顶点的三角形与ΔACD相似?若存在,求t的值;若不存在,请说明理由.

D

考点15 对应角不确定

1. 如图1,∠A=500,∠B=600,一直线l与△ABC的边AC、AB边相交于点D、E两点,

当∠ADE为________度时,△ABC与△ADE相似.

考点16 图形的位置不确定

9

E B

图1

C

1. 在平面直角坐标系中,已知点P(-2,-1). 过P作y轴的垂线PA,垂足为A. 点T为坐标轴上的一点.若以P,O,T 为顶点的三角形与△AOP相似,请写出点T的坐标? 【变式】 若点T在第四象限,请写出点T的坐标

.

2. 如图1,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,E是AB的中点,过点E作EF∥BC交CD于点F.AB=4,BC=6,∠B=60°.(1)求点E到BC的距离;(2)点P为线段EF上的一个动点,过P作PM⊥EF交BC于点M,过M作MN∥AB交折

线ADC于点N,连结PN,设EP=x.①当点N在线段AD上时(如图2),△PMN的形状是否发生改变?若不变,求出△PMN的周长;若改变,请说明理由;②当点N在线段DC上时(如图3),是否存在点P,使△PMN为等腰三角形?若存在,请求出所有满足要求的x的值;若不存在,请说明理由.图1

图4(备用)

D

F C

图5(备用) D

F C

M

F C

图2

F C

M

图3

D N

F C

10

课下巩固练习

一、填空题:

1. 已知AB是圆的直径,AC是弦,AB=2,AC=2,弦AD=1,则∠CAD=

2. 直角三角形的两条边长分别为6和8,那么这个三角形的外接圆半径等于

3. 已知两圆内切,一个圆的半径是3,圆心距是2,那么另一个圆的半径是________.

4. 等腰三角形的一个内角为70°,则其顶角为______.

5. 在方格纸中,每个小格的顶点称为格点,以格点连线为边的三角形叫格点三角形.在如

图3中5×5的方格中,作格点△ABC和△OAB相似(相似比不为1),则点C的坐标是_____.

二、选择题:

1. 若等腰三角形的一个内角为500,则其他两个内角为 ( )

A.500 ,80o B.650, 650 C.500 ,650 D.500,800或 650,650

2. 若|a|?3,|b|?2,且a?b,则a?b?( )

A.5或-1 B.-5或1; C.5或1 D.-5或-1

3. 等腰三角形的一边长为3cm,周长是13cm,那么这个等腰三角形的腰长是( )

A.5cm B.3cm C.5cm或3cm D.不确定

4. 若⊙O的弦 AB所对的圆心角∠AOB=60°,则弦AB所对的圆周角的度数为( )

A.300 B、600 C.1500 D.300或 1500

5. 若⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为a,最小距离为b(a>b),则此圆的

半径为( ) A.

a?b 2B. a?b 2C. a?ba?b或 22D. a+b或a-b

11

二、解答题:

1. 在ΔABC中,∠BAC=90°,AB=AC

=A的半径为1,如图所示,若点O在

BC边上运动,(与点B和C不重合),设BO=x,ΔAOC的面积为y.

(1)求y关于x的函数关系式.

(2)以点O为圆心,BO长为半径作圆O,求当圆O与圆A相切时ΔAOC的面积.

B

OC

2. 在直角坐标系XOY中,O为坐标原点,A、B、C三点的坐标分别为A(5,0),B(0,

4),C(-1,0),点M和点N在x轴上,(点M在点N的左边)点N在原点的右边,作MP⊥BN,垂足为P(点P在线段BN上,且点P与点B不重合)直线MP与y轴交于点G,MG=BN.

(1)求点M的坐标.

(2)设ON=t,△MOG的面积为S,求S与t的函数关系式,并写出自变量t的取值范围.

(3)过点B作直线BK平行于x轴,在直线BK上是否存在点R,使△ORA为等腰三角形?若存在,请直接写出R的坐标;若不存在,请说明理由.

3. 如图,以矩形OABC的顶点O为原点,OA所在的直线为x轴,OC所在的直线为y轴, 12

建立平面直角坐标系.已知OA=3,OC=2,点E是AB的中点,在OA上取一点D,将△BDA沿BD翻折,使点A落在BC边上的点F处.

(1)直接写出点E、F的坐标;

(2)设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P,且以点E、F、P为顶点的三角形是等...

腰三角形,求该抛物线的关系式.

4. 在平面直角坐标系内,已知点A(2,1),O为坐标原点.请你在坐标轴上确定点P,使得ΔAOP

成为等腰三角形.在给出的坐标系中把所有这样的点P都找出来,画上实心点,并在旁边标上P1,P2,……,Pk,(有k个就标到PK为止,不必写出画法)

5. 已知A(?1,

m)与B(2,m?是反比例函数y?

(1)求k的值;

13 k图象上的两个点. x

(2)若点C(?1,0),则在反比例函数y?k图象上是否存在点D,使得以A,B,C,Dx

四点为顶点的四边形为梯形?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.

6. 如图,平面直角坐标系中,直线AB与x轴,y轴分别交于A(3,0),B(0,3)两点, ,点C为线

段AB上的一动点,过点C作CD⊥x轴于点D.

(1)求直线AB的关系式;

(2)若S梯形OBCD

,求点C的坐标; (3)在第一象限内是否存在点P,使得以P,O,B为顶点的三角形与△OBA相似.若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由

.

7. 二次函数y?x?23x?1的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C. 2

(1)求△ABC的面积.;

(2)在该二次函数的图象上是否存在点D,使四边形ACBD为直角梯形?若存在,求 14

出点D的坐标;若不存在,请说明理由.

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