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(二)整式、分式、二次根式

发布时间:2014-03-02 18:59:43  

3 整式与分解因式

【知识梳理】

1.幂的运算性质:①同底数幂的乘法法则:同底数幂相乘,底数不变,指数相加,即

;②同底数幂的除法法则:同底数幂相除,底数不变,指am?an?am?n(m、n为正整数)

数相减,即am?an?am?n(a≠0,m、n为正整数,m>n);③幂的乘方法则:幂的乘方,底数不变,指数相乘,即(ab)?ab(n为正整数);④零指数:a0?1(a≠0);⑤负整数指数:a?n?nnn1(a≠0,n为正整数); na

2.整式的乘除法:

(1)几个单项式相乘除,系数与系数相乘除,同底数的幂结合起来相乘除.

(2)单项式乘以多项式,用单项式乘以多项式的每一个项.

(3)多项式乘以多项式,用一个多_项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项.

(4)多项式除以单项式,将多项式的每一项分别除以这个单项式.

(5)平方差公式:两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方,

即(a?b)(a?b)?a?b;

(6)完全平方公式:两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或减去) 它们的积的2倍,即(a?b)?a?2ab?b

3.分解因式:把一个多项式化成几个整式的积的形式,叫做把这个多项式分解因式.

4.分解因式的方法:

⑴提公团式法:如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法. ⑵运用公式法:公式a2?b2?(a?b)(a?b) ; a2?2ab?b2?(a?b)2

5.分解因式的步骤:分解因式时,首先考虑是否有公因式,如果有公因式,一定先提取公团式,然后再考虑是否能用公式法分解.

6.分解因式时常见的思维误区:

⑴ 提公因式时,其公团式应找字母指数最低的,而不是以首项为准.

⑵ 提取公因式时,若有一项被全部提出,括号内的项“ 1”易漏掉.

(3) 分解不彻底,如保留中括号形式,还能继续分解等

【例题精讲】

【例1】下列计算正确的是( )

A. a+2a=3a B. 3a-2a=a

236222C. a?a=a D.6a÷2a=3a

【例2】(2008年茂名)任意给定一个非零数,按下列程序计算,最后输出的

结果是( )

A.m B.m

2222222 C.m+1 D.m-1 2【例3】若3a?a?2?0,则5?2a?6a?.

【例4】下列因式分解错误的是( )

A.x?y?(x?y)(x?y)

C.x?xy?x(x?y) 222 B.x?6x?9?(x?3) D.x?y?(x?y) 22222

【例5】如图7-①,图7-②,图7-③,图7-④,…,是用围棋棋子按照某种规律摆成的一

行“广”字,按照这种规律,第5个“广”字中的棋子个数是________,第n个“广”字中的棋子个数是

________

【例6】给出三个多项式:1211x?2x?1,x2?4x?1,x2?2x.请选择你最喜欢的222

两个多项式进行加法运算,并把结果因式分解.

【检测】

___ 1.分解因式:9a?a?, ?x?2x?x?__________

2.对于任意两个实数对(a,b)和(c,d),规定:当且仅当a=c且b=d时,

(a,b)=(c,d).定义运算“?”:(a,b)?(c,d)=(ac-bd,ad+bc).若(1,2)

,则p=q= ?(p,q)=(5,0)

3. 已知a=1.6?109,b=4?103,则a2?2b=( )

A. 2?107 B. 4?1014 C.3.2?105 D. 3.2?1014 .

224.先化简,再求值:(a?b)?(a?b)(2a?b)?

3a,其中a??2b?2.

332

5.先化简,再求值:(a?b)(a?b)?(a?b)?2a,其中a?3,b??

221. 3

4 分式与分式方程

【知识梳理】

1. 分式概念:若A、B表示两个整式,且B中含有字母,则代数式A叫做分式. B

2.分式的基本性质:(1)基本性质:(2)约分:(3)通分:

3.分式运算

4.分式方程的意义,会把分式方程转化为一元一次方程.

5.了解分式方程产生增根的原因,会判断所求得的根是否是分式方程的增根.

【思想方法】

1.类比(分式类比分数)、转化(分式化为整式) 2.检验

【例题精讲】

x2?2x?1x?1?21.化简: x2?1x?x

x2?2x?2x?4???x?2?2.先化简,再求值: 2?,其中x?2 x?4?x?2?

3.先化简(1?

4.解下列方程(1)1x,然后请你给x选取一个合适值,再求此时原式的值. )?2x?1x?151x?2x?216??0 (2) ??222x?2x?2x?4x?3xx?x

5.一列列车自2004年全国铁路第5次大提速后,速度提高了26千米/时,现在该列车从甲站到乙站所用的时间比原来减少了1小时,已知甲、乙两站的路程是312千米,若设列车提速前的速度是x千米,则根据题意所列方程正确的是( )

A.

B.

C.

D.

【检测】

a2?11.当a?99时,分式的值是 a?1 .

2?1x2.当x时,分式有意义;当x 时,该式的值为0. x?1

(ab)2

3.计算的结果为 2ab

4. .若分式方程 . 1k?x有增根,则k为( ) ?3?x?22?x

A. 2 B.1 C. 3 D.-2

2有意义,则x满足的条件是:( ) x?3

A.x?0 B.x?3 C.x?3 D.x?3 5.若分式

x2?2xy?y2x?yx2?y6.已知x=2008,y=2009,求的值 ??25x?4yx5x?4xy

x?2x?1x2?16?2)?27.先化简,再求值:(2,其中x?2?2 x?2xx?4x?4x?4x

8.解分式方程. (1)

(3)

x3(x?2)2x; ?2??2?0 (2) x?2xx?1x?1 2x?111?x??1 ??3 (4)2x?22?xx?1x-1

5 二次根式

【知识梳理】

1.二次根式:

(1)定义:____________________________________叫做二次根式.

2.二次根式的化简:

3.最简二次根式应满足的条件:(1)被开方数中不含有能开得尽的因数或因式.

(2)根号内不含分母 (3)分母上没有根号

4.同类二次根式:几个二次根式化成最简二次根式以后,如果被开方数相同,这几个二次根式就叫做同类二次根式.

5.二次根式的乘法、除法公式:

a?0,b?0)(1

(2

a?0,b?0) 6..二次根式运算注意事项:(1)二次根式相加减,先把各根式化为最简二次根式,再合并同类二次根式,防止:①该化简的没化简;②不该合并的合并;③化简不正确;④合并出错.(2)二次根式的乘法除法常用乘法公式或除法公式来简化计算,运算结果一定写成最简二次根式或整式.

【思想方法】 非负性的应用

【例题精讲】

【例1

A.x?1

【例2

有意义,x的取值范围是( ) B.x?0 C.x??1且x?0 D.x≥-1且x?0 ). D.9到10之间 A.6到7之间 B.7到8之间 C.8到9之间

【例3】 若实数x,

y(y2?0,则xy的值是

【例4】如图,A,B,C,D

四张卡片上分别写有?2π四个实数,从中任取两张卡片.

A B C D

(1)请列举出所有可能的结果(用字母; A,B,C,D表示)

(2)求取到的两个数都是无理数的概率.

57

【例5】计算:

1?1?1?(127?(3.14??)?3tan30??(2

) (??1)0?????5??()3 ?2?0?1

【例6】先化简,再求值:(2?1)?(a2?1),其中a??3. a?1a?1

【检测】

1.计算:(1

?3?2tan60?(?1.

(2)cos45°·(-

(3

)3??

2.如图,实数a、b在数轴上的位置,化简

11-2)-(22-)0+|-|+22?1 ?0. 0?cos230??4sin60?

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