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平面直角坐标系课时作业3

发布时间:2014-03-02 18:59:44  

(时间40分钟,满分60分)

一、选择题(每小题5分,共20分)

π1.极坐标方程ρ=cos(4-θ)表示的曲线是( )

A.双曲线

C.抛物线 B.椭圆 D.圆

πππ22【解析】 ρ=cos(4θ)=cos 4θ+sin 4θ=2θ+2θ,∴ρ22222=2cos θ+2sin θ,即x2+y2=2x+2y.

221化简整理,得(x-4)2+(y-42=4,表示圆.

【答案】 D

π2.(2013·三门峡质检)过极点倾斜角为3( )

πA.θ=3

4πC.θ=3ρ≥0 πB.θ=3,ρ≥0 π4πD.θ=3和θ=3ρ≥0

【解析】 以极点O为端点,所求直线上的点的极坐标分成两条射线.

π4∵两条射线的极坐标方程为θ=3和θ=3

π4∴直线的极坐标方程为θ=3和θ=3ρ≥0).

【答案】 D

3.在极坐标系中,圆ρ=-2sin θ的圆心的极坐标是( )

πA.(1,2)

C.(1,0) πB.(1,-2D.(1,π)

【解析】 由ρ=-2sin θ得ρ2=-2ρsin θ,化成直角坐标方程为x2+y2=-2y,化成标准方程为x2+(y+1)2=1,圆心坐标为(0,-1),其对应的极坐标为

π(1,-2.

【答案】 B

4.在极坐标系中与圆ρ=4sin θ相切的一条直线的方程为( )

1A.ρcos θ=2

πC.ρ=4sin(θ+3 B.ρcos θ=2 πD.ρ=4sin(θ3)

【解析】 极坐标方程ρ=4sin θ化为ρ2=4ρsin θ,即x2+y2=4y,即x2+(y-2)2=4.

由所给的选项中ρcos θ=2知,x=2为其对应的直角坐标方程,该直线与圆相切.

【答案】 B

二、填空题(每小题5分,共10分)

5.(2013·鹤壁调研)点Q是圆ρ=4cos θ上的一点,当Q在圆上移动时,OQ(O是极点)中点P的轨迹的极坐标方程是________.

【解析】 ρ=4cos θ是以(2,0)为圆心,半径为2的圆,则P的轨迹是以(1,0)为圆心,半径为1的圆,所以极坐标方程是ρ=2cos θ.

【答案】 ρ=2cos θ

π6.(2012·安徽高考)在极坐标系中,圆ρ=4sin θ的圆心到直线θ=6(ρ∈R)

的距离是________.

【解析】 极坐标系中的圆ρ=4sin θ转化为平面直角坐标系中的一般方程

π为:x2+y2=4y,即x2+(y-2)2=4,其圆心为(0,2),直线θ=63坐标系中的方程为y=3x,即3x-3y=0.

∴圆心(0,2)到直线3x-3y=0的距离为

【答案】 3 |0-3×2|3. 3+9

三、解答题(每小题10分,共30分) π7.(2012·江苏高考)在极坐标系中,已知圆C经过点P24),圆心为直线

π3ρsin(θ-3)=-2与极轴的交点,求圆C的极坐标方程.

π3【解】 在ρsin(θ3)=-2θ=0,得ρ=1,

所以圆C的圆心坐标为(1,0),

π因为圆C经过点P(2,4,

所以圆C的半径PC=π?2?2+12-2×1×2cos 41,于是圆C过极点, 所以圆C的极坐标方程为ρ=2cos θ.

8.在直角坐标系xOy中,以O为极点,x正半轴为极轴建立极坐标系,曲

π线C的极坐标方程为ρcos(θ-3)=1,M,N分别为C与x轴,y轴的交点.

(1)写出C的直角坐标方程,并求M,N的极坐标;

(2)设MN的中点为P,求直线OP的极坐标方程.

π【解】 (1)由ρcos(θ-3=1,

13得ρ(2cos θ+2θ)=1.

又x=ρcos θ,y=ρsin θ.

x3∴曲线C的直角坐标方程为2+2y=1,

即x+3y-2=0.

当θ=0时,ρ=2,∴点M(2,0).

π22π当θ=2时,ρ=3,∴点N(33,2).

2(2)由(1)知,M点的坐标(2,0),点N的坐标(0,33).

又P为MN的中点,

323π∴点P(1,3),则点P的极坐标为(3,6).

π所以直线OP的极坐标方程为θ=6(ρ∈R).

9.在极坐标系中,P是曲线ρ=12sin θ上的一动点,Q是曲线ρ=12cos(θ

π-6)上的动点,试求|PQ|的最大值.

【解】 ∵ρ=12sin θ,

∴ρ2=12ρsin θ,

∴x2+y2-12y=0,即x2+(y-6)2=36.

π又∵ρ=12cos(θ-6,

ππ∴ρ2=12ρ(cos θcos6sin θ6),

∴x2+y2-3x-6y=0,

∴(x-33)2+(y-3)2=36.

∴|PQ|max=6+6+?33?2+

32=18.

教师备选

π10.(2012·大连模拟)在极坐标系中,O为极点,已知圆C的圆心为(2,3),

半径r=1,P在圆C上运动。

(1)求圆C的极坐标方程;

(2)在直角坐标系(与极坐标系取相同的长度单位,且以极点O为原点,以极轴为x轴正半轴)中,若Q为线段OP的中点,求点Q轨迹的直角坐标方程.

【解】 (1)设圆C上任一点坐标为(ρ,θ),由余弦定理得12=ρ2+22-

π2·2ρcos(θ-3),

π所以圆的极坐标方程为ρ2-4ρcos(θ-3+3=0.

(2)设Q(x,y),则P(2x,2y),由于圆C的直角坐标方程为(x-1)2+(y3)2=1,P在圆C上,所以(2x-1)2+(2y-3)2=1,则Q的直角坐标方程为

131(x-2)2+(y-22=4.

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