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2013年浙江中考数学第一轮复习课件(第六章圆第4讲尺规作图)

发布时间:2014-03-02 18:59:45  

2013年浙江中考第一轮复习

数 学

第4讲 尺规作图

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1.(2012· 绍兴)如图,AD 为⊙O 的直径,作⊙O 的内接正三角形 ABC,甲、乙两人的 作法分别如下:

甲:①作 OD 的中垂线,交⊙O 于 B,C 两点. ②连结 AB,AC. △ABC 即为所求作的三角形. 乙:①以 D 为圆心,OD 的长为半径作圆弧,交⊙O 于 B,C 两点. ②连结 AB,BC,CA. △ABC 即为所求作的三角形. 对于甲、乙两人的作法,可判断( ) A.甲、乙均正确 B.甲、乙均错误 C.甲正确,乙错误 D.甲错误,乙正确

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解析:根据甲、乙两同学的作法都能确定∠ AOB =∠ BOC =∠ COA = 120°,所以 △ABC为等边三角形,故甲、乙两同学的作法都是正确的.
答案:A

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1 2.(2011· 绍兴)如图,在△ABC 中,分别以点 A 和点 B 为圆心,大于 AB 的长为半径画 2 弧,两弧相交于点 M,N,作直线 MN,交 BC 于点 D,连结 AD.若△ADC 的周长为 10,AB =7,则△ABC 的周长为( )

A.7

B.14 C.17

D.20

解析:由题可知 MN 即为 AB 的垂直平分线,MN 上的任意一点到 A,B 两点的距离相 等.∴DA=DB. 又∵DA+DC+AC=10,∴AC+DC+DB=10. ∴△ABC 的周长为 10+7=17.

答案:C
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3.(2012· 杭州)如图是数轴的一部分,其单位长度为 a.已知△ABC 中,AB=3a,BC= 4a,AC=5a.

(1)用直尺和圆规作出△ABC(要求:使点 A,C 在数轴上,保留作图痕迹,不必写出作 法); S圆 (2)记△ABC 外接圆的面积为 S 圆,△ABC 的面积为 S△,试说明 >π. S△

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解:(1)在数轴上确定 AC,用直尺和圆规作 AB=3a,BC=4a,确定点 B,所作△ABC 如图所示.

(2)∵AB=3a,BC=4a,AC=5a,又 AB2+BC2=AC2, ∴∠B=90° , ∴AC 是外接圆的直径. 1 5a 2 25a2π 2 ∴S△= · 3a· 4a=6a ,S 圆=( ) π= , 2 2 4 S圆 25π 24π ∴ = > =π. S△ 24 24
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4.(2012· 绍兴)如图,AB∥CD,以点 A 为圆心,小于 AC 的长为半径作圆弧,分别交 1 AB,AC 于 E,F 两点,再分别以 E,F 为圆心,大于 EF 的长为半径作圆弧,两条圆弧交 2 于点 P,作射线 AP,交 CD 于点 M. (1)若∠ACD=114° ,求∠MAB 的度数

; (2)若 CN⊥AM,垂足为 N,求证:△ACN≌△MCN.

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(1)解:∵AB∥CD,∴∠ACD+∠CAB=180° , 又∵∠ACD=114° ,∴∠CAB=66° . 由作法知,AM 是∠CAB 的平分线, 1 ∴∠MAB= ∠CAB=33° . 2 (2)证明:由作法知,AM 平分∠CAB, ∴∠CAM=∠MAB. ∵AB∥CD,∴∠MAB=∠CMA, ∴∠CAM=∠CMA, 又∵CN⊥AD,CN=CN, ∴△ACN≌△MCN.

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知识点

几何作图

1.尺规作图限定作图工具只有圆规和没有刻度的直尺. 2.基本作图 (1)作一条线段等于已知线段,以及线段的和、差; (2)作一个角等于已知角,以及角的和、差; (3)作角的平分线; (4)作线段的垂直平分线; (5)过一点作已知直线的垂线. 3.根据基本作图作三角形 (1)已知三边作三角形; (2)已知两边及其夹角作三角形; (3)已知两角及其夹边作三角形; (4)已知底边及底边上的高作等腰三角形; (5)已知一直角边和斜边作直角三角形.

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4.与圆有关的尺规作图 (1)过不在同一直线上的三点作圆(即三角形的外接圆); (2)作三角形的内切圆. 5.有关中心对称或轴对称的作图以及设计图案是中考常见类型. 6.作图题的一般步骤 (1)已知;(2)求作;(3)分析;(4)作法;(5)证明;(6)讨论.其中步骤(5)(6)常不作要求, 步骤(3)一般不要求,但作图中一定要保留作图痕迹.

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类型一

作三角形

作图:请你在下图中作出一个以线段 AB 为一边的等边△ABC.(要求:用尺规作图 并写出已知、求作,保留作图痕迹,不写作法和结论)

【思路点拨】 以A、B为端点,以AB的长为半径画弧 → 作交点C → 连结AC、BC

【解析】已知:如图所示,已知线段 AB. 求作△ABC,使 AC=BC=AB. 作图如图所示:

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四条线段 a,b,c,d 如图所示,a∶b∶c∶d=1∶2∶3∶4. 选择其中的三条线段为边作一个三角形(尺规作图, 要求保留作图痕迹, 不必写出作法).

答案:图略

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类型二


基本作图的应用

如图,有分别过 A、B 两个加油站的公路 l 1、l2 相交于点 O ,现准备在∠AOB 内建 一个油库, 要求油库的位置点 P 满足到 A、 B 两个加油站的距离相等, 而且 P 到两条公路 l 1、 l2 的距离也相等.请用尺规作图作出点 P(不写作法,保留作图痕迹 )

【思路点拨】 作角平分线 → 作AB的垂直平分线 → 确定P点

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【解析】到两点距离相等的点,在这两点所连线段的垂直平分线上;到角两边距离相等 的点在角的平分线上;这两条线的交点 P 就是加油站的位置.如图所示.

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如图所示,直线 l 表示一条河,P、Q 两地相距 5 千米,P、Q 两地到 l 的距 离分别为 2 千米和 4 千米,欲在 l 上的某点 M 处修建一个供水站,供 P、Q 两地居民取水, 现有如下四种方案(图中的实线表示两地居民取水所走路线),则两地居民取水所走的路程和 最短的是图中的( )

答案:B

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对题干中新定义的名词理解不清. 如图①凸四边形 ABCD, 如果点 P 满足∠APD=∠APB=α 且∠BPC=∠CPD=β, 则称点 P 为四边形 ABCD 的一个半等角点.

(1)在图②的正方形 ABCD 内画一个半等角点 P,且满足 α≠β; (2)在图③的四边形 ABCD 内画一个半等角点 P,保留画图痕迹(不需写出画法).

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【错因分析】仔细审题,据题干条件明确半等角点的定义是解题的关键.

【解析】本题主要考查尺规作图,轴对称和四边形的知识.

(1)

(2)

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1.直线 l1,l2,l3 表示三条相互交叉的公路,现要建一个货运中转站,要求它到三条公路 的距离相等,则可供选择的地址有( )

A.一处 C.三处

B.两处 D.四处

答案:D

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2.数学活动课上,老师在黑板上画直线 l 平行于射线 AN,如图所示,让同学们在直线 l 和射线 AN 上各找一点 B 和 C,使得以 A、B、C 为顶点的三角形是等腰直角三角形,这样 的三角形最多能画 3 个.

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3.已知△ABC(如图),利用直尺和圆规,根据下列要求作图(保留作图痕迹,不要求写作 法),并根据要求填空:

(1)作∠ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D; (2)作线段 BD 的垂直平分线交 AB 于点 E,交 BC 于点 F. 试判断线段 EF 与线段 BD 的关系.
解:(1)、(2)题作图如图:由图可知线段 EF 与线段 BD 的关系为:互相垂直平分.

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1.如图所示,在长方形网格中,每个小长方形的长为 2,宽为 1,A、B 两点在网格格 点上,若点 C 也在网格格点上,以 A、B、C 为顶点的三角形的面积为 2,则满足条件的点 C 的个数是( )

A.2

B.3

C.4

D .5

答案:C

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2.下列给出的条件一定能画出唯一的三角形的是(
A.两个角和其中一角的对边 B.三个角 C.两边和其中一边的对角 D.任意给出三条线段作三角形的三边 答案:A

)

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3 3.尺规作图:请在原图上作一个∠AOC,使其是已知∠AOB 的 倍.(要求:写出已知、 2 求作,保留作图痕迹,在所作图中标上必要的字母,不写作法和结论) 已知:

求作:

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解:已知:∠AOB. 3 求作:∠AOC= ∠AOB. 2 作图如下:

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4.如图,已知正五边形 ABCDE,请用无刻度的直尺,准确地画出它的一条对称轴.(保 留作图痕迹)

解:如图,连结 BD、CE 交于点 K,连结 AK 并向两端延长,则直线 AK 即为所求.

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一、填空题 1.如图,△ABC 是不等边三角形,DE=BC,以 D,E 为两个顶点作位置不同的三角 形,使所作的三角形与△ABC 全等,这样的三角形最多可以画出 4 个.

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2.(2012· 金华第四中学调研)如图所示,已知线段 a,c 和∠α,求作:△ABC,使 BC= a,AB=c,∠ABC=∠α,根据作图把下面空格填上适当的文字或字母.

(1)如图①所示,作∠MBN=∠α; (2)如图②所示,在射线 BM 上截取 BC=a,在射线 BN 上截取 BA=c; (3)连结 AC,如图③所示,△ABC 就是所求作

的三角形.

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二、解答题 3.如图所示,在△ABC 中,∠A=90° . (1)用尺规作图的方法, 作出△ABC 绕点 A 逆时针旋转 45° 后的图形△AB1C1; (保留作图 痕迹) (2)若 AB=3,BC=5,求 tan∠AB1C1.

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解:(1)如图,△AB1C1 即为所求作的图形.

(2)在 Rt△ABC 中,AB=3,BC=5,∴AC= 52-32=4.在 Rt△AB1C1 中,AB1=AB=3, AC1 4 AC1=AC=4,∴tan∠AB1C1= = . AB1 3

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4.(2012· 杭州市学军中学模拟)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(0,8),点 B(6,8). (1)只用直尺(没有刻度)和圆规,求作一个点 P,使点 P 同时满足下列两个条件:(要求 保留作图痕迹,不必写出作法) ①点 P 到 A、B 两点的距离相等;②点 P 到∠xOy 的两边的距离相等. (2)在(1)作出点 P 后,写出点 P 的坐标.

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解:(1)如图所示,点 P 即是所求作的点.

(2)设 AB 的中垂线交 AB 于 E,交 x 轴于 F,由作图可得,EF⊥AB,EF⊥x 轴,则 OF=3. 又∵OP 是∠xOy 的平分线,∴P(3,3).

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