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北师版八年级数学下,线段的垂直平分线

发布时间:2014-03-02 18:59:50  

回顾思考
?你能证明这一结论吗?
已知:如图 ,AC=BC,MN⊥AB于点C,P 是MN上任意一点. 求证:PA=PB.
A N

M

P

C

B

过程再现
证明:因为 MN⊥AB (已知) 所以 ∠PCA=PCB=90°(垂直的定义) M 在⊿PCA和⊿PCB中,因为 P AC=BC , (已知) ∠PCA=PCB, (已证) PC=PC, (公共边) A C 所以 △PCA≌△PCB(SAS) 因此 PA=PB (全等三角形 N 的对应边相等).

B

定理
?线段垂直平分线上的点到 这条线段两个端点距离相等.

M

P

A

C

B

?如图,∵

PC ? AB, AC ? BC (已知),

N

∴PA=PB(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等)

基础闯关

?1、如图,已知AB是线段CD的垂

直平分线,E是AB上的一点,如果 EC=7cm,那么ED= 7 cm;如果 ∠ECD=600,那么∠EDC= 60 0.
C

A

E
D

B

基础闯关

?2.如图,在△ABC中,已知 AC=27,AB的垂直平分线交AB于 点D,交AC于点E,△BCE的周长等 于50,求BC的长.
A D E

B

C

驶向胜利 的彼岸

生活中的数学

A

在某高速公路L的同侧,有两个工 厂A、B,为了便于两厂的工人看病, 市政府计划在公路边上修建一所医院, 使得两个工厂的工人都没意见,问医 院的院址应选在何处?你的方案是什 B 么?
高 速 公 路

L

?反过来: (逆命题)到一条线段两个端 点距离相等的点,在这条线段的垂直平 分线上吗? 已知:如图,PA=PB. 求证:点P在AB的垂直平分线上.

思 考 分 析

证明: 过点P作PC⊥AB于点C ′ ∵PA=PB ( 已知 ) A PC=PC ( 公共边 ) ∴Rt△PAC ≌ Rt△PBC ( HL ) ∴AC=BC 又∵PC⊥AB ∴PC垂直平分AB ∴点P在AB的垂直平分线上

.
C

P

B

?逆定理 :到一条线段两个端点距离相 等的点,在这条线段的垂直平分线上.
?如图,∵PA=PB(已知), ∴点P在AB的垂直平分线上 (到一条线段两个端点距离 相等的点,在这条线段的垂 A 直平分线上).
M P

C

B

提示:这个结论是经常用来证
明点在直线上(或直线经过某一 点)的根据之一.

N

P
点P在线 段AB的垂 直平分线 MN上 PA=PB

M

A

N

B

定理:线段垂直平分线上的点和这条线 段两个端点的距离相等. 逆定理:和一条线段两个端点距离相 等的点,在这条线段的垂直平分线上.

生活中的数学

某区政府为了方便居民的生 活,计划在三个住宅小区A、B、 C之间修建一个购物中心,试问, 该购物中心应建于何处,才能 使得它到三个小区的距离相等。

A

·
B
C

小结

提高

? 定理 线段垂直平分线上的点到这条 线段两个端点距离相等. ? ∵AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任意一点( 已知), ∴PA=PB(线段垂直平分线上的点到 这条线段两个端点距离相等). ? 逆定理 到一条线段两个端点距离相 A 等的点,在这条线段的垂直平分线上. ? ∵PA=PB(已知), ∴点P在AB的垂直平分线上(到一条 线段两个端点距离相等的点,在这条 线段的垂直平分线上).

M

P

C N

B

开启智慧
已知:如图,在ΔABC中, AB、BC的中垂 线交于点O,那么点O在AC的中垂线吗?为 什么? A
M

? 证明: ∵MN,EF分别为BC,AB的垂直平分线交于 点O(已知) ∴OB=OC,OB=OA(线段垂直平分线上的点 到这条线段两个端点距离相等) ∴OC=OA(等量代换) ∴点O在AC的垂直平分线上(到一条线 段两个端点距离相等的点,在这条线 段的垂直平分线上)

E

B F
N

C

牛刀小试

A

如图,在⊿ABC上,已知点D在BC 上, 且 BD+AD=BC. 求证:点D在AC的垂直平分线. B
D

C

证明: ∵BD+AD=BC(已知) BD+DC=BC ∴AD=DC ∴点D在AC的垂直平分线(到一条线段两 个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平 分线上)

1、如图,在Δ ABC中, AD⊥BC于D, AB+BD=DC。 试问:∠B与∠C是什么关 系?

牛刀小试

1

? 如图,在直角⊿ABC中,∠C=900 ,AD 平分∠BAC交BC于D,DE垂直平分斜边
AB,那么 (1)DE=CD吗?为什么?

c
D

(2)AD=BD吗?为什么? 你能知道∠B的度数吗?

A

E

B

下课了!


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