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苏教版九年级数学第七章三角函数知识点梳理

发布时间:2014-03-03 18:52:17  

第七章:锐角三角函数知识点总结

一、锐角三角函数的意义:

(1)一个锐角的正弦、余弦、正切就叫做这个角的三角函数。 ①锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作tanA。 (即直角三角形中两条直角边的比)

②锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦,记作sinA。 (即直角三角形中锐角A所对的直角边与斜边的比)

③锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦,记作cosA。 (即直角三角形中锐角A相邻的直角边与斜边的比)

(2)如图,在△ABC中,∠c=900

?A的对边 tanA? ? A 的邻 边

?A的对边sinA?斜边?A的邻边cosA?斜边二、锐角三角函数之间的关系:

(1)等角(锐角)的三角函数之间的关系:

如果几个锐角相等,则其三角函数值对应相等;

反之,如果几个锐角的三角函数值对应相等,则这几个锐角相等。 即锐角的三角函数值只与角的度数有关;

若度数相等,则其三角函数值则对应相等。

(2)同一个锐角的三角函数之间的关系

①sin2A+cos2A=1

(即同一个锐角的正弦值和余弦值的平方和为1。)

cosA

(即同一个锐角的正切值=这个角的正弦值与该角余弦值的商。)

(3

①若∠A与∠B互为余角,则sin A= cos(90?- A)= cosB ② tanA?sinA②若∠A与∠B互为余角,则tan A×tan(90?- A)= 1

即tan A×tanB = 1 即:若∠A与∠B互为余角,

则①∠A的正弦值=∠B的余弦值;∠A的余弦值=∠B的正弦值。 ②∠A的正切值与∠B的正切值互为倒数。

三、锐角三角函数值的变化规律(或增减性)

①当角度在0---90之间变化时,正弦值(正切值)随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)。

②当角度在0---90之间变化时,余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。

四、特殊角的三角函数

五、解直角三角形

(1)意义:由直角三角形中的已知元素(除直角外),求出所有未知元素的过

程,叫做解直角三角形。

(2)直角三角形中各元素之间关系:

直角三角形ABC中,∠C=90?,那么∠A, ∠ B, ∠ C,a, b, c六个

元素中,除∠C=90°外,其余5个元素之间有如下关系:

① 三边之间的关系: a2+b2=c2

② 两锐角之间的关系: ∠A+∠B=90?

③ 边与角之间的关系:

?A的对边BCa?A的邻边ACbsinA???cosA???斜边ABc斜边ABc

?A的对边BCatanA????A的邻边Ac

B

ac

AbC六、应用问题中的几个重要概念

1)仰角和俯角

在进行测量时,从下向上看,视线与水平线的夹角叫做仰角;从上往下看,视线与水平线的夹角叫做俯角.

线

视线 水平线

2)方向(方位)角

以正南或正北方向为准,正南或正北方向线与目标方向线构成的小于900的角,叫做方向(方位)角。

如图所示:(在叙述方位角时通常先说南、北,再说东、西。) (下图中,射线OA在北偏东30°的方向上。)

西

45

西

B 南 东 西北 45西 45 东 东南 南 北

3)坡度(坡比),坡角的概念

在修路、挖河、开渠和筑坝时,设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度. 如图:

(1)坡面的铅垂高度(h)和水平长度(l)的比叫做坡面坡度(或坡比)。 记作i,即 I ? hL (2)坡面与水平面的夹角叫做坡角,记作a,则有i ?h?tanaL显然,坡度越大,坡角a就越大,坡面就越陡.

(3)坡度通常写成1∶m的形式,如i=1∶6.

七、利用三角函数值计算图形的面积

(1)利用三角函数值计算三角形的面积 19.4.5

S三角形=两邻边的长与其夹角的正弦值的乘积的一半。

(2)利用三角函数值计算平行四边形的面积

S平行四边形=两邻边的长与其夹角的正弦值的乘积。

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