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勾股定理的逆定理(上课)

发布时间:2014-03-03 18:52:23  

X

古埃及人曾用下面的方法得到直角

?古埃及人曾用下面的方法得到直角:

用13个等距的结,把一根绳子 分成等长的12段,然后以3个结, 4个结,5个结的长度为边长, 用木桩钉成一个三角形,其中 一个角便是直角。

按照这种做法真能得到一个 直角三角形吗?

动手画一画
下面的三组数分别是一个三 角形的三边长a,b,c:
5,12,13; 7,24,25; 8,15,17。
2 2 2 吗?

(1)这三组数都满足a ? b ? c

(2)它们都是直角三角形吗?

勾股定理的逆命题
如果三角形的三边长a、b、c满足
2 a

+

2 b

=

2 c

那么这个三角形是直角三角形。
勾股定理

互逆命题

如果直角三角形两直角边分别为a,b, 斜边为c,那么 a2 + b2 = c2

勾股定理的逆命题
已知:在△ABC中,AB=c BC=a CA=b 且a2+b2=c2 求证:△ ABC是直角三角形 证明:画一个△A’B’C’,使∠ C’=900,B’C’=a, C’A’=b
A

A'

c b

b

在△ ABC和△ A’B’C’中 BC=a=B’C’ CA=b=C’A’ AB=c=A’B’

B

a

C

B'

a

C'

∵ ∠ C’=900 ∴ A’B’2= a2+b2

∵ a2+b2=c2
∴ A’B’ 2=c2 ∵ 边长取正值 ∴ A’B’ =c

∴ △ ABC ≌△ A’B’C’(SSS) ∴ ∠ C= ∠ C’(全等 三角形对应角相等) ∴ ∠C= 900 ∴ △ ABC是直角三角形 (直角三角形的定义)

勾股定理的逆命题 逆定理
如果三角形的三边长a、b、c满足
2 a

+

2 b

=

2 c

那么这个三角形是直角三角形。且边 C年所对的角为直角。
勾股定理

互逆命题 定理

如果直角三角形两直角边分别为a,b, 斜边为c,那么 a2 + b2 = c2

互逆命题:
两个命题中, 如果第一个命题的题设是第二个 命题的结论, 而第一个命题的结论又是第二个 命题的题设,那么这两个命题叫做互逆命题. 如果把其中一个叫做原命题, 那么另一个叫做 它的逆命题.

互逆定理: 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题, 那么它也是一个定理, 这两个定理叫做互逆 定理, 其中一个叫做另一个的逆定理.

开启

智慧

定理与逆定理

?如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它 是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个 定理称另一个定理的逆定理. 我们已经学习了一些互逆的定理,如: 勾股定理及其逆定理, 两直线平行,内错角相等;内错角相等,两直线平行.

?想一想:

?互逆命题与互逆定理有何关系?

驶向胜利 的彼岸

试一试

说出下列命题的逆命题.这些命题的逆命题成立吗?

(1)两条直线平行,内错角相等.
逆命题: 内错角相等,两条直线平行. 成立

(2)如果两个实数相等,那么它们的平方相等.
逆命题:如果两个实数的平方相等,那么这两个实数相等. 不成立

(3)如果两个实数相等,那么它们的绝对值相等.
逆命题:如果两个实数的绝对

值相等,那么这两个实数相等. 不成立

(4)全等三角形的对应角相等.

逆命题:对应角相等的两个三角形是全等三角形. 不成立

命题是真命题 ,它逆命题却不一定 是真命题. 感悟: 一个 原命题成立时 , 逆命题有时成立 , 有时不成立

例题解析

例1 判断由a、b、c组成的三角形是不是直角三角形:
(1) a=15 , b =8 , c=17 (2) a=13 , b =15 , c=14

分析:由勾股定理的逆定理,判断三角形是 不是直角三角形,只要看两条较小边的平方 和是否等于最大边的平方。 解:∵152+82=225+64=289 172=289 ∴ 152+82=172 ∴这个三角形是直角三角形

下面以a,b,c为边长的三角形是不是直 角三角形?如果是那么哪一个角是直角?

(1) a=25 b=20 c=15 (2) a=13 b=14 c=15 (3) a=1 b=2 c= 3 (4) a:b: c=3:4:5

0 是 ∠ A=90 ____ _____ ;

不是 ____ _____ ; 是 ____ ∠ _____ B=900; 0 ∠ C=90 是 _____ _____ ;

像25,20,15,能够成为直角三角形

三条边长的三个正整数,称为勾股数.

例题解析

例2 一个零件的形状如左图所示,按规定这个零 件中∠A和∠DBC都应为直角。工人师傅量得这 个零件各边尺寸如右图所示,这个 零件符合要求 吗?
C D 13 C

D
4 5 12 B

A

A 3 B

练一练

1. 三角形三边长a、b、c满足条件

(a ? b) ? c ? 2ab, 则此三角形是(
2 2

B

)

A、锐角三角形 C、钝角三角形

B、直角三角形 D、等边三角形

中考链接

已知:如图,四边形ABCD中,∠B=900, AB=3,BC=4,CD=12,AD=13, 求四边形ABCD的面积?
C B A

D

准备好了吗?

S四边形ABCD=36

练一练

1、已知 △ABC三角形的三边 分别为 a,b,c 且a = m 2 - n 2 ,b = 2mn, c = m 2 ? n2 (m > n,m,n是正整数), △ABC是直角三角形 吗?说明理由

分析:先来判断a,b,c三边哪条最长, 可以代m,n为满足条件的特殊值来试, m=5,n=4.则a=9,b=40,c=41,c最大。 解: ? a ? b ? (m ? n ) ? (2mn) ? (m ? n ) ? c
2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

∴△ABC是直角三角形

挑战自我

1、请你写出三组勾股数;
2、一组勾股数的倍数一定是勾股数吗? 为什么?

思维训练

1、一个零件的形状如下图所示,按规定这个零件 中∠A和∠DBC都应为直角.工人师傅量出了这个 零件各边尺寸,那么这个零件符合要求吗?

此时四边形ABCD 的面积是多少?
2、 已知a,b,c为△ABC的三边,且 满足 a2+b2+c2+338=10a+24b+26c. 试判断△ABC的形状.

思维训练

3、△ABC三边a,b,c为边向外作 正方形,正三角形,以三边为 直径作半圆,若S1+S2=S3成立, 则 是直角三角形吗?
C
b c a

S2
A

S1
B

C

S2 b
A

a c

S1
B

S3

S3

1.长度分别为 3 , 4 , 5 , 12 ,13 的五根木棒能 搭成(首尾连接)直角三角形的个数为( B ) A 1个 B 2个 C 3个 D 4个

2.三角形ABC中,∠A.∠B.∠C.的对边分别是a.b.c, 且 c+a=2b, c – a= (

A ) A 直角三角形 C 等腰三角形
──

1 b,则三角形ABC的形状是 2

B 等边三角形 D 等腰直角三角形

3.如果一个三角形的三边为a ,b ,c 满足 直角 a2+c2=b2,那么这个三角形是____三角形 , 斜 直 其中 b边是__边 ,b边所对的角是___角 .
4.工人师傅想要检测一扇小门两边 AB .CD

是否垂直于底边 BC,但他只带了一把卷尺,你 能替工人师傅想办法完成任务吗? A

D

B

C

5.已知a.b.c为△ABC的三边,满 足 a 2 c 2 ? b 2 c 2 ? a 4 ? b 4 ,试判断△ABC 的形状.
解 ∵ a2c2- b2c2 = a4 – b4 (1) (2) ∴ c2(a2 – b2) = (a2+ b2) (a2- b2)




c2 = a2 + b2
△ABC是直角三角形

(3)

问: (1) 上述解题过程,从哪一步开始出现错误? 3 请写出该步的代号___
a2- b2可能是0 (2) 错误原因是_________ 直角三角形或等腰三角形 (3) 本题正确的结论是________

6、如图,有一块地,已知,AD=4m, CD=3m,∠ADC=90°,AB=13m , B BC=12m。求这块地的面积。
12

24平方米
C
3
4 A D 13

? 例1: “远航”号、“海天”号轮船
同时离开港口,各自沿一固定方向航 行,“远航”号每小时航行16海里, “海天”号每小时航行12海里。它们 离开港口一个半小时后相距30海里。 如果知道“远航”号沿东北方向航行, 能知道“海天”号沿哪个方向航行吗?
N 海天 R P Q 远航 E

例2.如图,点A是一个半径为 400 m的圆形森林公 园的中心,在森林公园附近有 B .C 两个村庄,现要 在 B.C 两村庄之间修一条长为 1000 m 的笔直公 路将两村连通,经测得 AB=600m,AC=800m,问此 公路是否会穿过该森林公园?请通过计算说明.

400

A

B

D

1000

C

如图:边长为4的正方形ABCD中,F是DC的中

A 解:连接AE A ∵ABCD是正方形,边长是4,F是 DC的中点,EC=1/4BC ∴AD=4,DF=2,FC=2,EC=1 ∴根据勾股定理,在 B Rt△ADF,AF2=AD2+DF2=20 Rt△EFC,EF2=EC2+FC2=5 Rt△ABE,AE2=AB2+BE2=25 ∴AE2=EF2+AF2 ∴∠AEF=90°即AF ⊥EF

1 点,且CE= BC,则AF⊥EF,试说明理由 4
D F

E

C

1.三角形的三边长a,b,c满足 (a+b)2=c2+2ab , 则这个三角形是( C ) A 等边三角形 C 直角三角形 B钝角三角形 D 锐角三角形

2.长度分别为 3 , 4 , 5 , 12 ,13 的五根木棒能 搭成(首尾连接)直角三角形的个数为( B ) A 1个 B 2个 C 3个 D 4个

3.三角形ABC中,∠A.∠B.∠C.的对边分别是a.b.c, 且 c+a=2b, c – a= ( )
──

1 b,则三角形ABC的形状是 2

A

A 直角三角形 C 等腰三角形

B 等边三角形 D 等腰直角三角形

1.已知三角形的三边长为 9 ,12 ,15 ,则这个三角 90° 形的最大角是____度 ;

2.△ABC的三边长为 9 ,40 ,41 ,则△ABC的面 180 ; 积为____

3.三角形的三边长为 8 ,15 ,17 ,那么最短 15 边上的高为____ ;

4.若△ABC中 ,AB= 5 ,BC=12 ,AC=13 , 则AC边上的高长

为____ ; 60/13

5.在Rt△ABC中,斜边AB=1 , 则 AB2 + BC2 + CA2 =____;

6.在Rt△ABC中,∠C=90°,CD 是高,AB=1, 则 2 CD2 + AD2 +BD2 =____;

7.等腰三角形ABC中,若 AB =AC =10 ,BC =6 , 则△ABC的面积为____;

8.三角形的三边长 a, b, c 满足 a2 +b2 +c2 +338 = 10a + 24b +26c,此三 角形为_____三角形.

C
1,一个零件的形状如图,工人师 傅量得一个零件的尺寸如下: AB=3 ,AD=4,BC=13,CD=12 且 ∠DAB=90°,你能求这个零件 的面积吗?

12
D
13

4

5

A 3 B

2.有一块菜地,形状如下,试求它的面积. B 12

C

3

D

13

4 A

3.工人师傅想要检测一扇小门两边 AB .CD 是 否垂直于底边 BC,但他只带了一把卷尺,你能替 工人师傅想办法完成任务吗?

A

D

B

C

4.如图,点A是一个半径为 400 m的圆形森林公园 的中心,在森林公园附近有 B .C 两个村庄,现要在 B.C 两村庄之间修一条长为 1000 m 的笔直公路 将两村连通,经测得 ∠B=60°,∠C=30°,问此公 路是否会穿过该森林公园?请通过计算说明.

400

A

60°

B

30°

D

1000

C

例、已知:在△ABC中,∠A、∠B、∠C的对 边分别是a、b、c,满足 a2+b2+c2+338=10a+24b+26c。 试判断△ABC的形状。 例、已知:如图,四边形ABCD,AD∥BC, AB=4,BC=6,CD=5,AD=3。求:四边形ABCD 的面积 D A

B

E

C

例、已知:如图,在△ABC中,CD是AB边上的 高,且CD2=AD·BD。 求证:△ABC是直角三角形。
C

B

D

A

1.若△ABC的三边a、b、c,满足(a-b) (a2+b2-c2)=0,则△ABC是( ) A.等腰三角形; B.直角三角形; C.等腰三角形或直角三角形; D.等腰直角三角形。

3 3.已知:如图,四边形ABCD,AB=1,BC= , 4 13

CD= 4 ,AD=3,且AB⊥BC。 求:四边形ABCD的面积

D

A

B

C

4.已知:在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB 于D,且CD2=AD·BD。 求证:△ABC中是直角三角形

1.若△ABC的三边a、b、c满足 a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,求△ABC的面积 2.在△ABC中,AB=13cm,AC=24cm,中线 BD=5cm。求证:△ABC是等腰三角形 3.已知:如图,∠1=∠2,AD=AE,D为BC上 一点,且BD=DC,AC2=AE2+CE2。求证: A AB2=AE2+CE2
E

B

D

C

4.已知△ABC的三边为a、b、c,且a+b=4, ab=1,c=14,试判定△ABC的形状


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