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组合)全等三角形

发布时间:2014-03-04 19:23:25  

[知识要点]

一、全等三角形

1.判定和性质

1、等腰三角形的周长为16,其一边长为6,则另两边为.

2、将一副直角三角板如图摆放,点C在EF上,AC经过点D.已知∠A=∠EDF=90°,AB=AC.∠E=30°,∠BCE=40°,则∠CDF= 25° .

3、如图(上),若△ABC≌△A1B1C1,且?A?110°,?B?40°,则?C1【解析】?C?180??A??B?180?110?40?30,由△ABC≌△A1B1C1得?C1=?C?30?

?????

A.100° B.90° C.80° D.70°

1

7、如图,点E、F在BC上,BE=CF,AB=DC,∠B=∠C.

求证:∠A=∠D.

解析:证明:∵BE=CF,∴BE+EF=CF+EF,即BF=CE.

在△ABF和△DCE中, D B

?AB?DC? ??B??C ∴△ABF≌△DCE, ∴∠A=∠D.

?BF?CE?

8、如图,CD=CA,∠1=∠2,EC=BC,求证:DE=AB.

证明:∵∠1=∠2,∴∠1+ECA=∠2+∠ACE,即∠ACB=∠DCE,

在△ABC和△DEC中, E 7题 F C

∵ ∴△ABC≌△DEC(SAS). ∴DE=AB.

9、如图:已知D、E分别在AB、AC上,AB=AC,∠B=∠C,

求证:BE=CD.

证明:在△ABE和△ACD中, ,∴△ABE≌△ACD(AAS),∴BE=CD(全等三角形的对应边相等).

10、如图,△ABO与△CDO关于O点中心对称,点E、F在线段AC上,且AF=CE. 求证:FD=BE.

证明:∵△ABO与△CDO关于O点中心对称,

∴OB=OD,OA=OC, ∵AF=CE, ∴OF=OE,

∵在△DOF和△BOE中

∴△DOF≌△BOE(SAS), ∴FD=BE.

11、已知,如图,△ABC和△ECD都是等腰直角三角形,

∠ACD=∠DCE=90°,D为AB边上一点.求证:BD=AE.

证明:∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形

∴AC=BC,CD=CE, ∵∠ACD=∠DCE=90°,

∴∠ACE+∠ACD=∠BCD+∠ACD, ∴∠ACE=∠BCD,

在△ACE和△BCD中,,∴△ACE≌△BCD(SAS), ∴BD=AE 12、如图1,在△ABC中,AB=AC,点D是BC的中点,点E在AD

上.

(1)求证:BE=CE;

(2)如图2,若BE的延长线交AC于点F,且BF⊥AC,垂足为F,

∠BAC=45°,原题设其它条件不变.求证:△AEF≌△BCF.

证明:(1)∵AB=AC,D是BC的中点,

∴∠BAE=∠EAC,

在△ABE和△ACE中,

∴△ABE≌△ACE(SAS),∴BE=CE; 13、如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,交CB于点D,过点D作

DE⊥AB,于点E

(1)求证:△ACD≌△AED;

(2)若∠B=30°,CD=1,求BD的长。

14、如图,△ABC和△ADE都是等腰三角形,且∠BAC=90°,∠DAE=90°,B,C,D在同一条直线上. 求证:BD=CE.

证明:∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形

∴AD=AE AB=AC 又∵∠EAC=90°+∠CAD,

∠DAB=90°+∠CAD ∴∠DAB=∠EAC

在△ADB和△AEC中 ∵AD=AE ∠DAB=∠EAC AB=AC

∴△ADB≌△AEC(SAS) ∴BD=CE

15、如图,P是∠BAC内的一点,PE?AB,PF?AC,垂足分别为点

(1)PE?PF; E,F,AE?AF. 求证:

(2)点P在∠BAC的角平分线上.

【证明】(1)如图,连结AP,

?PE?AB

,

PF

?

AC,

∴∠AEP=∠AFP=90,又AE=AF,AP=AP,∴Rt△AEP≌Rt△AFP,∴PE=PF.

(2)∵Rt△AEP≌Rt△AFP,∴∠EAP=∠FAP,∴AP是∠BAC的角平分线,故点P在∠BAC的角平分线上

16、 已知:如图所示,在△ABC中,∠ABC=45°,CD⊥AB于点D,BE平分∠ABC,且BE⊥AC于点E,与CD相交于点F,H是BC边的中点,连接DH与BE相交于点G.

(1)求证:BF=AC (2)猜想CE与BG的数量关系,并证明你的结论. ?

3

17、如图,△ABC中,AD平分∠BAC,DG⊥BC且平分BC,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F.

(1)说明BE=CF的理由;(2)如果AB=a,AC=b,求AE、BE的长. EB

GC

18、点C在线段AB上,DA⊥AB,EB⊥AB,FC⊥AB,且DA=BC,EB=AC,FC=AB,∠AFB=51°,求∠DFE的度数

证明:如图,连接BD、AE,∵DA⊥AB,FC⊥AB, ∴∠DAB=∠BCF=90°,

又∵DA=BC,FC=AB, ∴△DAB≌△BCF(SAS), ∴BD=BF, ∴∠BDF=∠BFD, 又∵AD∥CF ∴∠ADF=∠CFD, ∴∠ABF=∠DFB+∠ADF=∠BFC+2∠CFD,

同理可得,∠BAF=∠AFC+2∠CFE, 又∵∠AFB=51°, ∴∠ABF+∠BAF=129°, ∴∠BFC+2∠CFD+∠AFC+2∠CFE=51°+2∠DFE=129°, ∴∠DFE=39°.

19、 如图,已知AD是△ABC的角平分线,在不添加任何辅助线的前提下,要使△AED≌△AFD,

需添加一个条件是:_______________,并给予证明.

解法一:添加条件:AE=AF, ……2分 证明:在△AED与△AFD中, ∵AE=AF,……1分 F

∠EAD=∠FAD,……1分 B

AD=AD,……1分 ∴△AED≌△AFD(SAS). ……1分 解法二:添加条件:∠EDA=∠FDA,……2分 F

证明:在△AED与△AFD中, B ∵∠EAD=∠FAD,……1分

AD=AD,……1分

∠EDA=∠FDA,……1分

∴△AED≌△AFD(ASA). ……1分

DD D F4

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