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相似三角形复习2

发布时间:2014-03-04 19:23:27  

1. 成比例的项:
a c = 若 或a : b = c : d , 那么 a ,b, c , d b d

叫做成比例的项。

b (或a:b=c:d),那么这四条线段a、b、 c 、 d 叫做成比例的线段,简称比例线段.
其中 :a、b、c、d 叫做组成比例的项, 线段 a、d 叫做比例外项, 线段 b、c 叫做比例内项, 比例的性质:

若 四条线段 a、b、c、d 中,如果

a

=d

c

= b d

a

c ? ad bc; =

1.若a, b, c, d成比例,且a=2, b=3, c=4,那么d= 2、下列各组线段的长度成比例的是( A. 2 , 3, 4, 1 B. 1.5 )

6

,2.5 ,6.5 , 4.5

C. 1.1 ,2.2 ,3.3 ,4.4

D. 1 , 2 ,

2 ,

4

m n m 已知 ,求 的值. 3、 = n 6 5
解:方法(1)由对调比例式的两内项比例式仍成立得:

m 6 n = 5 m 方法(2)因为 6 = m 所以 n =

n ,所以5m=6n 5 6 5

4、已知 1) x:(x+1)=(1—x):3,求x。 y 1 2x - 3y (2)若 , 求 x 。 = 2 x+ y a a-b a+b 6 (3) 若 = ,求 b ,
b 5 b

.

5

1 x y z x- y + z = _____, (1) = = , 则 4

3

7

9

3x + y - 4 z

7 y = ______ . 19 x+ y+ z

11 x2 - 2 xy + 3 y 2 5 = _______ . (2)已知, ( x + y ) : 4 = y : 3, 则 2 2 x + y

6 已知1, 2, 3三个数,请你再添上一个 数,写出一个比例式。

2.比例中项:
当两个比例内项相等时, 即

a b (或 a:b=b:c), = , b c

那么线段 b 叫做线段 a 和 c 的比例中项.

即: b 2 = ac
2 + 3, 2-

± 1.两线段(2 + 3 )cm,(2 3两数的比例中项是 ____

3 )cm的

1cm 比例中项是 ____ .

3.黄金分割:A

C

B

把一条线段( AB)分成两条线段,使其 中较长线段( AC)是 原线段(AB)与较短线段( BC)的比例中项,就叫做 把这条 线段黄金分割。

即:AC = AB ?BC, AC
C是线段AB的黄金分割点,较长线段AC = 2

2

5- 1 AB 2

(

5 - 1 , 则AB = ____ 4 .

)

黄金三角形
顶角为36°的等腰三角形 叫做黄金三角形
B

A

D F E C

图中有多少个黄金三角形?
A F G H C D N M

B

E

找出图中线段的黄金分割点?

黄金矩形
把线段AC黄金分割,分割点为B,则以 AB、BC为邻边的矩形ABCD叫做黄 金矩形,即黄金矩形的两条邻边长度 的比值约为0.618. F D A

若在黄金矩形 ABCD中画出正方 B C E 形ABEF,则得到黄 如此继续下去… 可得到一连串的 金矩形ECDF
黄金矩形

1.相似三角形的定义:
对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形。

2.相似比:
相似三角形的对应边的比,叫做相似三角形的相似比。

△ABC∽△A/B/C/,如果BC=3,B/C/=1.5,那么△A/B/C/与
1 △ABC的相似比为_________. 2

预备定理: ∵DE∥BC, ∴△ADE∽△ABC.

3.相似三角形的判定方法

判定定理1,2,3. 相似三角形的传递性.

A E D E A D

B

C

B

C

△1 ∽ △2 △2 ∽ △3或△2 ≌ △3

△1 ∽ △3

直角三角形相似的判定. 已知:∠ACB=Rt∠,CD⊥AB于D
求证:△ACD∽△ABC∽△CBD.
C

B

D

A

相似三角形基本图形的回顾:
现在给你一个锐角三形ABC

和 一条直线MN M

问题:请同学们利用直线MN
在△ABC上或在边的延 长线作出一个三角形与 △ABC相似,并请同学 们说明理由 A

N

B

C

A

第一种作法:
理由: (1)DE∥BC (2)∠ADE=∠B 或∠AED=∠C (3)AD:AB=AE:AC B

D

E

C

第二种作法:
理由: (1) ∠ADE=∠C 或∠AED=∠B (2)AE:AB=AD:AC

M

D

A E

B

C

第三种作法:
理由: (1)DE∥BC M E A D N

(2)∠ADE=∠B 或∠AED=∠C (3)AD:AB=AE:AC

B
M E

C

第四种作法:
理由: (1) ∠ADE=∠C 或∠AED=∠B (2)AE:AB=AD:AC A B

D
N

C

第五种作法:
理由: (1)DE∥BC (2)∠ADE=∠ABC 或∠AED=∠ACB (3)AD:AB=AE:AC B

A
C E

M
D

N

A

第六种作法:

M D

B

C N E

理由: (1) ∠ADE=∠ACB 或∠AED=∠ABC (2)AE:AB=AD:AC

第七种作法:
A
(1)∠ACD=∠B (2)∠ADC=∠ACB (3)AD:AC=AC:AB

M
D

C
B

N

相似三角形基本图形的回顾:
A D B D E B C E

E A B

D C

A

C

△ADE绕点A 旋转

E
A

D



重 移 合 到 A 与
点 ∠ACB=Rt∠ CD⊥AB

B

C A D

D B

E C

B

C

例1 如图,CD是Rt△ABC斜边上的高,E为AC的中点, ED交CB的延长线于F。 这个图形中有几个相似三角形的基本图形

求证:BD· CF=CD· DF
证明:∵CD⊥AB, E为AC的中点 ∴ DE=AE ∴∠EDA=∠A ∵ ∠EDA=∠FDB ∴∠A=∠FDB ∵∠ACB= Rt ∠ ∴ ∠A=∠FCD ∴ ∠FDB=∠FCD ∵ △FDB∽△FCD ∴ BD:CD=DF:CF ∴ BD· CF=CD· DF

C
E A D

B

F

二.知识应用:
1.找一找: (1) 如图1,已知:DE∥BC,EF ∥AB,则图中共有 _____ 3 对三角形相似. (2) 如图2,已知:△ABC中, ∠ACB=Rt∠ ,CD⊥ AB于 4 个三角形和△ABC D,DE⊥BC于E,则图中共有_____ 相似.
A A D E D

B

F

C
如图(1)

C

E
如图(2)

B

(3)如图3,∠1= ∠2= ∠3,则图中相似三角形的组数为 4 ________. A D B
3
如图(3)

1 2

E
C

(4)已知:四边形ABCD内接于⊙O,连结AC和BD 交于点E,则图中共有_____ 2 对三角形相似. A
E B

D

· O
C

(5)已知:四边形ABCD内接于⊙O,连结AC和BD 交于点E,且AC平分∠BAD,则图中共有_____ 6 对 三角形相似.
A
1

D
4 3

E
2

· O
C

B

2.画一画:
如图,在△ABC和△DEF中, ∠A=∠D=700, ∠B=500, ∠E=300,画直线a,把△ABC分成两个三角形,画直线 b ,把△DEF分成两个三角形,使△ABC分成的两个三 角形和△DEF分成的两个三角形分别相似.(要求标 注数据)
A a
500
700 300 300

D
700

b

B A
700

C

300

F D
700

E b

a

200 500

200 300

B

C

F

E

3.做一做:
(1).如图,在水平桌面上的两个“E”,当点P1,P2,O在一 条直线上时,在点O处用①号“E”测得的视力与用② 号“E”测得的视力相同.
①图中b1,b2,c1,c2应满足怎样的关系?

①号“E”测试的距离c1=8m, 要使测得的视力相同, ①号“E”测试的距离c2应为多 少?
②若b1=3.2cm,b2=2cm, ① P1 b1 ② P2 b2 D1 D2

桌面

O

c1

c2

(2).已知,如图,梯形ABCD

中,AD∥BC, ∠A=900,对角 线BD⊥CD求证:(1) △ABD∽△DCB; (2)BD2=AD· BC

A

D

B

C

(3).如图,P是△ABC中AB边上的一点,要使△ACP和△ABC相似, ∠ACP=∠B; 或∠APC=∠ACB; 则需添加一个条件:_____________________________________ 或AP:AC=AC:AB即AC2=AP· AB。
A

P
B C

4.想一想:
如图,点C,D在线段AB上, △PCD是等边三角形. (1)当AC,CD,DB满足什么关系时, △ACP∽ △PBD. (2)当△ACP∽ △PBD时,求∠APB的度数.
P

A

C

D

B

5.练一练:
1.将两块完全相同的等腰直角三角形摆放成如图所示 的样子,假设图形中的所有点,线都在同一平面内,试写 出一对相似三角形(不全等)______________.
A
1

B F

E D

C

G

2.如图,正方形ABCD的边长为8,E是AB的中 点,点M,N分别在BC,CD上,且CM=2,则 当CN=_________时,△CMN与△ADE的形状 相同。
A

D

E B

M

N C

3.在平面直角坐标系,B(1,0), A(3,-3), C(3,0),点P 在y轴的正半轴上运动,若以O,B,P为顶点的三角形与△ABC 相似,则点P的坐标是__________________.
y

· P
O

· B

C

·

x

· A

6.思考题:
.如图, △ABC中,AB=6,BC=4,AC=3,点P在BC上

运动,过P点作∠DPB=∠A,PD交AB于D,设 PB=x,AD=y. A (1)求y关于x的函数关系式和x的取值范围. (2)当x取何值时,y最小,最小值是多少?
C D

P

B

挑战自我

如图,△ABC是一块锐角三角形余料,边 BC=120毫米,高AD=80毫米,要把它加工成正方 形零件,使正方形的一边在BC上,其余两个顶点 分别在AB、AC上,这个正方形零件的边长是多少?
解:设正方形PQMN是符合要求的△ABC
的高AD与PN相交于点E。设正方形PQMN 的边长为x毫米。

A
P E N C

因为PN∥BC,所以△APN∽ △ABC 所以 AE = PN B AD BC Q D M 80–x x = 因此 ,得 x=48(毫米)。答:-------。 80 120


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