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24.2.2直线与圆的位置关系1、2

发布时间:2014-03-08 09:07:08  

学习目标

1、了解直线和圆的位置关系 的有关概念.

2、理解并掌握判定直线与圆 的位置关系的两种方法.

1、直线和圆的位置关系有几种?

2、如何判断直线和圆的位置关系?

大漠孤烟直,长河落日圆

a(地平线)
(3) (2) (1)

地平线与太阳的位置关系是怎么的?

直线与圆的位置关系(用公共点的个数来区分)
特点: 直线和圆有两个公共点,

叫直线与圆相交 这条直线叫做圆的割线
直线和圆有唯一的公共点, 特点: 叫做直线与圆相切 这时的直线叫切线 唯一的公共点叫切点 直线和圆没有公共点, 特点: 叫做直线与圆相离

.
A

.O

.l
B

.

.O

A

l

切点
.O l

直线与圆相离、相切、相交

切点

切线

交点

交点

割线

相离

相切

相交

直线和圆的位置关系是用直线和圆的公共点的个数来定 义的, 即直线与圆没有公共点、只有一个公共点、有两 个公共点时分别叫做直线和圆相离、相切、相交. 思考:一条直线和一个圆,如果有公共点,那么公共点

能不能多于两个呢?

请你判断
1、看图判断直线l与⊙O的位置关系.
(1) (2)
· O

(3) l
· O

l
· O

l 相离 (4) 相交 相切

· O

相交 l

2、判断

练一练
( √)

(1)直线与圆最多有两个公共点.

(2)若直线与圆相交,则直线上的点都在圆内.( ×)

(3)若A是⊙O上一点,则直线AB与⊙O相切.(×)
(4)若C为⊙O外的一点,则过点C的直线CD与⊙O

相交或相离。(×)

.A

.O .C

新的问题:

类比于点与圆的位置关系, 能否借助于数量关系判断直 线与圆的位置关系?

2.用圆心到直线的距离和圆半径的数量关系, 来揭示圆和直线的位置关系.
r o
d l r o d l o r d l

(1)直线l 和⊙O相离 (2)直线l 和⊙O相切 (3)直线l 和⊙O相交

d>r d=r(直线l是切线) d<r

总结:
两 种: 判定直线与圆的位置关系的方法有____
(1)根据定义,由直线与圆的公共点 __ __________________的个数来判断;

圆心到直线的距离d与半径r (2)根据性质,由___________________________ 的关系来判断.

在实际应用中,常采用第二种方法判定.

小结: 直线与圆的位置关系判定方法:
图形 直线与圆的 位置关系
.O r d ┐ .o d r ┐ l .

l

A

. B

.O d r ┐

lC

.

相离 0 d> r

相切 1 d=r

相交 2 d< r

公共点的个数
圆心到直线的距离 d 与半径 r 的关系

公共点的名称 直线名称

切点
切线

交点
割线

教学目标
1、理解切线的判定定理和 性质定理 2、并会利用切线的判定方 法用它解问题.

一、回顾旧知:直线与圆的位置关系 图形
直线与圆的 位置关系
.O r d ┐ .o d r ┐ l . .O d r ┐

l

A

. B

lC

.

相离 0 d> r

相切 1 d=r

相交 2 d< r

公共点的个数
圆心到直线的距离 d 与半径 r 的关系

公共点的名称 直

线名称

切点
切线

交点
割线

在⊙O中,经过半径 OA的外端点A作直 线l⊥OA,则圆心O到 OA 直线l的距离是____, 直线l和⊙O的位置 相切 关系是_____.

.O
l

A

切线的判定定理:
经过半径的外端点并且垂直这条半径的 直线是圆的切线。 必须同时满足两条:
①经过半径外端点; ②垂直于这条半径. l O A

几何语言: ∵OA⊥l ,OA是⊙O的半径 ∴l是⊙O的切线

判断: (2)与半径垂直的的直线是圆的切线(×)

(1)过半径的外端点的直线是圆的切线( ×)

(3)过半径的端点与半径垂直的直线是圆的 切线(×)
O l r A O r l O r l

A

A

判定直线与圆相切有哪些方法?
切线的判定方法有三种: ?①直线与圆有唯一公共点; ?②直线到圆心的距离等于该圆的半径; ?③切线的判定定理.即 经过半径的外端并且垂直这条半径的直线 是圆的切线.

例1.直线AB经过⊙O上的点C,并且OA=OB,
CA=CB.求证:直线AB是⊙O的切线. 分析:由于AB过⊙O上 的点C,所以连接OC, 只要证明AB⊥OC即可。

练一练 1、如图,线段AB经过圆心O,交⊙O于点 A、C,∠BAD=∠B=30°,BD交圆于点

D。求证:BD是⊙O的切线吗?
证明:连结OD.

∵ ∠BOD=2∠BAD=60° 而∠B = 30° ∴ BD⊥OD ∴直线BD是⊙O的切线

D A


O

C

B

∴∠BDO=180°-∠B-∠BOD=90°

例题2: 如图,△ABC中,AB=AC,AO⊥BC于O, OE⊥AC于E,以O为圆心,OE为半径作⊙O. 求证:AB是⊙O 的切线.
F B O

A E
C

练一练

1.在Rt△ABC 中,∠B=90°,∠ A的平分线交BC 于D,以D为圆 心,DB长为半径 作⊙D.试说 明:AC是⊙D的 切线.

A

F
E

B

D

C

中考链接

2010北京中考试题

3、如图:在?ABC中,AB=AC,AE平分∠BAC, BM平分∠ABC交AE于点M,经过B 、M两点的⊙O交 BC于点G,交AB于点F,FB恰好为⊙O的直径. C 求证:AE与⊙O相切.
E M G A F O B

1.定义法:和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线.

2.数量法(d=r):和圆心距离等于半径的直线是圆的切线.
3.判定定理:

经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
辅助线作法: (1)若直线与圆的一个公共点已指明,则连接这点和圆 心,说明直线垂直于经过这点的半径;

(2)直线与圆的公共点未指明,则过圆心作直线的垂线 段,然后说明这条线段的长等于圆的半径.

如果l是⊙O的切线,切 点为A,那么半径OA与 直线l是不是一定垂直 呢? 一定垂直

.O
l A

切线的性质定理:

圆的切线垂直于过切点的半径

1.切线和圆只有一个公共点. 2.切线和圆心的距离等于半径. 3.切线垂直于过切点的半径. 4.经过圆心垂直于切线的直线必过切点. 5.经过切点垂直于切线的直线必过圆心.
切线的性质3、4、5可归纳为:已知直线满足a.过 圆心,b.过切点,c.垂直于切线中任意两个,便

得到第三 个结论.

一、切线的判定方法: 1.定义:和圆有且只有一个公共点的直线 是圆的切线. 2.数量关系:与圆心的距离等于半径的直线是圆 的切线. 3.切线的判定定理:经过半径的外端点并且垂直 于这条半径的直线是圆的切线. 二、切线的性质:
1.切线和圆只有一个公共点. 2.切线和圆心的距离等于半径. 3.切线垂直于过切点的半径. 4.经过圆心垂直于切线的直线必过切点. 5.经过切点垂直于切线的直线必过圆心.


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