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运用完全平方公式分解因式

发布时间:2014-03-08 09:07:12  

运用完全平方公式分解因式

保 国 学 校 丛 日 艳

课前复习:1、分解因式学了哪些方法
提取公因式法:ma+mb+mc=m(a+b+c)
运用公式法: ① a2-b2=(a+b)(a-b)

练习

4

把下列各式分解因式
2

ax ? ax
2 2

② x4-16 解:原式=(x2+4)(x2-4)
=(x2 +4)(x+2)(x-2) (因式分解要彻底)

解:原式=ax (x2-1)
=ax (x+1)(x-1)

(有公因式,先提公因式)

课前复习:
2.除了平方差公式外,还学过了哪些公式?
保 国 学 校 丛 日 艳

(a ? b) ? a ? 2ab ? b
2

2

2

(a ? b) ? a ? 2ab ? b
2

2

2

a ? 2ab ? b ? ?a ? b ? 2 2 2 a ? 2ab ? b ? ?a ? b ?
2 2 2

完全平方式

熟知公式特征! 用公式法正确分解因式关键是什么? 完全平方式 a2 ±2a b + b2 = ( a ± b )2 从项数看: 都是有 3 项
(一数) 2 ± 2(一数)(另一数)+(另一数)2=(一数±另一数)2

从每一项看:都有两项可化为两个数(或整式)

的平方,另一项为这两个数(或整式) 的乘积的2倍.

从符号看: 平方项符号相同 (即:两平方项的符号同号,首尾2倍中间项)

填一填
多项式
x2 ? 6x ? 9
是否是完全 平方式




4 y ? 4 y ?1
2

a、b各表 表示(a+b)2 示什么 或(a-b)2 a表示x, ( x ? 3) 2 保 b表示3 国 a表示2y, ( 2 y ? 1) 2 学 校 b表示1
丛 日 艳

1 ? 4a 2
1 1 x ? x? 2 4
2




x ? 4x ? 4 y
2
2

2
2



a表示2y, (2 y ? 3x) 2 b表示3x a表示(a+b), ( a ? b ? 1) 2 b表示1

4 y ? 12 xy ? 9 x
2

(a ? b) ? 2(a ? b) ? 1



填一填
多项式 1 2 x ?x? 4
9a b ? 3ab ? 1
2 2

是否是完全 平方式

a、b各表 示什么

表示(a+b)2 或(a-b)2

是 否

a表示x, b表示1/2

1 2 (x ? ) 2

保 国 学 校 丛 日 艳

1 2 m ? 3mn ? 9n 2 4



a表示1 m , 1 2 b表示3n

( m ? 3n) 2

2

x ? 10 x ? 25
6 3



填空:
(1)a2+

2ab

+b2=(a+b)2 b2 =(a-b) 2 =( m+1 ) =( n-1 ) 2
2

(2)a2-2ab+ (3)m2+2m+ (4)n2-2n+

保 国 学 校 丛 日 艳

1

1

(5)x2-x+0.25=( x-0.5 ) 2
(6)4x2+4xy+( y ) 2=( 2x+y ) 2

例题 (1) x2+14x+49 解:原式 ? x ? 2 ? x ? 7 ? 7
2 2
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? (x ? 7)

2

(2)

(m ? n) ? 6(m ? n) ? 9
2

2 2 原式 ? ( m ? n ) ? 2 ? (m ? n) ? 3 ? 3 解:

? (m ? n ? 3) 2

例题 (3) 3ax2+6axy+3ay2
2 2 原式 ? 3 a ( x ? 2xy ? y ) 解:
保 国 学 校 丛 日 艳

? 3a(x ? y)2

(4)

-x2-4y2+4xy
? ?[ x 2 ? 2 ? x ? (2y ) ? (2y ) 2 ]
? ?( x ? 2 y) 2

2 2 原式 ? ? ( x 4xy ? 4 y ) 解:

例题
(5)

4a ? 12 ab ? 9b
2
2

2
2

解: 原式 ? (2a) ? 2 ? (2a ) ? (3b) ? (3b) ? (2a ? 3b) 2 (6) 16x4-8x2+1
解: 原式 ? (4x ) ? 2 ? (4x ) ?1 ? 1
2 2 2 2

保 国 学 校 丛 日 艳

? (4 x ? 1)
2

2
2 2

? (2 x) ? 1 2 ? ?(2 x ? 1)( 2 x ? 1)? ? (2 x ? 1) 2 (2

x ? 1) 2
2

?

?

判断因式分解正误。

(1)

-x2-2xy-y2=
2 2

-(x-y)
2

2
保 国 学 校 丛 日 艳

错。应为: -x -2xy-y
? ?( x ? y ) 2

? ( a ? b) 2

=-( x +2xy+y ) =-(x+y)
? ?( x ? y ) 2

2

2

2 2 2 (2)a +2ab-b ? (a ? b)

错。此多项式不是完全平方式

练一练 因式分解:

(1)25x2+10x+1
解:原式=(5x) +2×5x×1+1 =(5x+1)
2
2
2 2 2

保 国 学 校 丛 日 艳

(2)9a ? 6ab ? b
=(3a-b)
2

2
2

解:原式=(3a) -2×3a×b+b

练一练 因式分解:

解:原式=(7a) +2×7a×b+b
=(7a+b)
2

(3)49a ? b ? 14ab
2 2
2

2

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(4)-a2-10a -25
解:原式=-(a +2×a×5+5 ) =-(a+5)
2 2 2

练一练 因式分解:

(5)-a3b3+2a2b3-ab3 3 2 2 解:原式=-ab (a -2a×1+1 ) 3 2 =-ab (a-1) (6)9 - 12(a-b) + 4 (a-b)2 2 解:原式=3 -2×3×2(a-b)+[2(a ? b)]2
=

保 国 学 校 丛 日 艳

?3 ? 2(a ? b)?
2

2

=(3-2a+2b)

分解因式:
(1)x -12xy+36y
4 2 2 2 2

=(x-6y)
4

2

保 国 学 校

(2)16a +24a b +9b =(4a +3b ) (3)-2xy-x -y =-(x+y)2
2 2

2

2 2

丛 日 艳

(4)4-12(x-y)+9(x-y) =(2-3x+3y)

2

2

总结与反思:
? 1.整式乘法的完全平方公式是:
2 2

? a ? b ? ? a ? 2ab ? b
a ? 2ab ? b ? ? a ? b ?
2 2 2

2

? 2.利用完全平方公式分解因式的公式形式是:

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? 3.完全平方公式特点: 含有三项;两平方项的符号同号;首尾2倍中间项

作业
习题2.5

保 国 学 校 丛 日 艳

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1.已知

4x2+kxy+9y2

是一个完全
a2+b2
2

平式,则k=
的值。

±12
+ab

保 国 学 校 丛 日 艳

2.已知 a(a+1)-(a2-b)=-2, 求

解:
2 2

由a(a+1)-(a
2 2

2

-b)=a2+a-a2+b=a+b=-2得
2 2

a ?b a ? b ? 2ab (a ? b) (?2) ? ab ? ? ? ?2 2 2 2 2

3.已知x2+4x+y2-2y+5=0,求 x-y 的值。
解:由x +4x+y -2y+5=(x +4x+4)+(y -2y+1) =(x+2) +(y-1) =0得 x+2=0,y-1=0 ∴x=-2,y=1
-y -1 2 2 2 2 2 2

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1 ∴x =(-2) = ? 2

分解因式:
1. ? x ? 8x ?16
2

=-(x+4)

2

2. 4 x 2 ? ? x ? y ?2 ? 4 x ? x ? y ? =(3x+y)2
3.

保 国 学 校 丛 日 艳

ax ? 2a x ? a
2 2

3

=a(x+a)

2

把下列各式因式分解

(1)9 x ? 4 y ? (3x ? 2 y)(3x ? 2 y)
2 2

(2) ? 9 x ? 4 y ? (2 y ? 3x)(2 y ? 3x)
2 2

保 国 学 校 丛 日 艳

(3)9 x ? 12 xy ? 4 y ? (3x ? 2 y )
2 2

2

(4) ? 9 x ? 12 xy ? 4 y ? ?(3x ? 2 y ) 2
2 2

把下列各式因式分解

(5)9a ? 4b(3a ? b) ? 9a ? 12ab ? 4b ? (3a ? 2b)
2
2 2

2

(6)3ax ? 6axy ? 3ay ? 3a( x 2 ? 2 xy ? y 2 ) ? 3a( x ? y)
2 2

保 国 学 2 校 丛 日 艳

(7)(a+1)2-2(a2-1)
2

2 2 +(a-1) =(a+1-a+1) =4
2 2 2

(8)9(a ? b) ? 12(a ? b ) ? 4(a ? b) 2 ? ?3(a ? b) ? 2(a ? b)?
? (5a ? b)
2

因式分解:

(y2 + x2 )2 - 4x2y2
解 : 原式 ? ( y ? x ? 2 xy)( y ? x ? 2 xy)
2 2 2 2

=(y+x) (y-x)

简便计算:
2

2

2

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56 ? 68 ? 56 ? 34
2 2

2

解:原式=(56+34) =90 =8100


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