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第3课时 直线与圆的位置关系

发布时间:2014-03-08 10:55:28  

第3课时 直线与圆的位置关系

知识梳理 要点回顾

1. 点与圆的位置关系共有三种:① ,② ,③ ;

对应的点到圆心的距离d和半径r之间的数量关系分别为:

①d r,②d r,③d r.

2. 直线与圆的位置关系共有三种:①,②,③.

对应的圆心到直线的距离d和圆的半径r之间的数量关系分别为:

①d r,②d r,③d r.

3. 圆的切线 过切点的半径;经过 的一端,并且 这条 的直线是圆的切线.

4. 从圆外一点可以向圆引 条切线, 相等.

5. 三角形的三个顶点确定 个圆,这个圆叫做三角形的外接圆,三角形的外接圆的圆心叫 心,是三角形 的交点,它到 相等。

6. 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的 ,内切圆的圆心是三角形 的

交点,叫做三角形的 ,它到 相等.

考点归类 过关检测

考点1 点与圆的位置关系判定

例题1若⊙O的半径为r,点P到圆心O的距离D不大于r,则点P( ).

A.在⊙O内 B.在⊙O外 C.不在⊙O内 D.不在⊙O外

【变式测试】

1. 如图,⊙O1的半径为1,正方形ABCD的边长为6,点O2为正方形ABCD的中心,O1O2垂直

AB与P点,O1O2=8.若将⊙O1绕点P按顺时针方向旋转360°,在旋

转过程中,⊙O1与正方形ABCD的边只有一个公共点的情况一共出现

( )

A. 3次 B.5次 C. 6次 D. 7次

2. ⊙O的直径为10cm,⊙O所在的平面内有一点P,当PO______时,点P在⊙O上;?当PO______时,点P在⊙O内;当PO_____时,点P在⊙O外.

考点2 直线与圆的位置关系判定

例题2

如图,直线y?x轴、y分别相交与A、B两点,圆心P的坐标为(1,0),圆P与y轴相切与点O。若将圆P沿x轴向左移动,当圆

P与该直线相交时,横坐标为整数的点P′的个数是( )

A.2

【变式测试】

1.已知⊙O的面积为9?cm2,若点0到直线l的距离为?cm,则直线l与⊙O的位置关系是

1 B.3 C.4 D. 5

(A)相交 (B)相切 (C)相离 (D)无法确定

2.在平面直角坐标系xOy中,以点(-3,4)为圆心,4为半径的圆( )

A.与x轴相交,与y轴相切 B.与x轴相离,与y轴相交

C.与x轴相切,与y轴相交 D.与x轴相切,与y轴相离

3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,BC=4cm,以点C为圆心,以3cm

长为半径作圆,则⊙C与AB的位置关系是 .

考点3 切线的性质

例题3 如图,AB与⊙O相切于点B,AO的延长线交⊙O于点,连结BC.若∠A

=40°,则∠C= °

【变式测试】

1.如图,AB为⊙O的直径,PD切⊙O于点C,交AB的延长线于D,且CO=CD,

∠PCA=( )

A.30° B.45° C.60° D.67.5° 则

2. 如图,切点为A,PA

∠APO=30°,则⊙O的半径为( ) PA是⊙O的切线,

A.1

B. C.2 D.4

3. 如图,在AABC中,AB=BC=2,以AB为直径的⊙0与BC相切于点B,则AC等于( )

A.2 B. c.22 D.23

考点4 切线的判定

例题4如图,△ABC中,以BC为直径的圆交AB于点D,∠ACD=∠ABC.求证:CA是圆的切

线;

【变式测试】

1.如图,在Rt△ABC中,∠C = 90°,∠B = 30°,BC = 4 cm,以点C为圆心,以

2 cm的长为半径作圆,则⊙C与AB的位置关系是( ).

A.相离 B.相切 C.相交 D.相切或相交

2. 如图,已知AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,过点C的直线与AB的延长线交于点P,AC=PC,

∠COB=2∠PCB.

2

求证:PC是⊙O的切线;

考点5 三角形的内切圆

例题5如图所示,△ABC中,内切圆I和边BC,CA,AB分别相切于点D,?E,?F,若∠FDE=70°,

求∠A的度数.

【变式测试】

1. 如图,已知⊙O是边长为2的等边△ABC的内切圆,则⊙O的面积为 .

2.如图所示,⊙O内切于Rt△ABC,∠C=90°,D,E,F为切点,若∠BOC=105°,则∠A= ,∠ABC= .

3.如图所示,等边△ABC的内切圆面积为9?,则△ABC的周长为 .

全面提升

基础测试

1.如图,PA、PB是O的切线,切点分别是A、B,如果∠P=60°,那么∠AOB等

于( )

A.60° B.90° C.120° D.150°

2. 在数轴上,点A所表示的实数为3,点B所表示的实数为a,⊙A的半径为2.下列说法中不正..

确的是( ) .

A.当a?5时,点B在⊙A内; B.当1?a?5时,点B在⊙A内

3

C.当a?1时,点B在⊙A外; D.当a?5时,点B在⊙A外

3. 如图,PA为?O的切线,A为切点,PO交?O于点B,PA?4,OA?3,则sin?AOP的值为

( )

33(A) (B) 45 (C)4 5 (D)4 3

4. △ABC中,AB?10cm,AC?8cm,BC?6cm,以点B为圆心、6cm为半径作⊙B,则边AC

所在的直线与⊙B的位置关系是 .

综合提升

5.如图,正三角形的内切圆半径为1,那么这个正三角形的边长为( )

A.2 B.3 C

D

6.如图,在矩形ABCD中,AB=6 ,BC=4,⊙O是以AB为直径的圆,则直线

DC与⊙O的位置关系是.

7.如图,正方形ABCD边长为4,以BC为直径的半圆O交对角线BD于E.则直线

CD与⊙O的位置关系是,阴影部分面积为(结果保留π)

8. 如图,从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA,PB,切点分别是A,B,若PA?8cm,C是?AB

上的一个动点(点C与A,B两点不重合),过点C作⊙O的切线,分别交

PA,PB于点D,E,则△PED的周长是

9.如图,AB与⊙O相切于点B,AO的延长线交⊙O于点C.若∠A=40o,则∠C=_____.

10.如图,AB切⊙O于点B,OA=2,AB=3,弦BC//OA,则劣弧BC的弧长为

( )

A.33? B. ? C. ? D. ? 232

11.如图,在Rt?ABC中,?C?90?,点D是AC的中点,且?A??CDB?90?,过点A,D作?O,使圆心O在AB上,?O与AB交于点E.

(1)求证:直线BD与?O相切;

(2)若AD:AE?4:5,BC?6,求?O的直径.

4

【随堂练习】

一、选择题

1.如图,已知A、B两点的坐标分别为(2,0)、(0,2),⊙C的圆心坐标为(-1,0),半

径为1.若D是⊙C上的一个动点,线段DA与y轴交于点E,则△ABE面积的最小

值是

A. 2 B.1

C.2?

D.22

2.如图,正三角形的内切圆半径为1,那么这个正三角形的边长为

A.2

B.3 C

D.

3.如图,在Rt△ABC中,∠C = 90°,∠B = 30°,BC = 4 cm,以点C为圆心,以2 cm的

长为半径作圆,则⊙C与AB的位置关系是( ). A

A.相离 B.相切 C.相交 D.相切或相交

4.下列命题中,真命题是

A.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

B.等腰梯形既是轴对称图形又是中心对称图形

C.圆的切线垂直于经过切点的半径

D.垂直于同一直线的两条直线互相垂直

5.如图为△ABC和一圆的重迭情形,此圆与直线BC相切于C点,且与AC交于另一点D。C B 第

3

题图

的度数为何? 若?A=70?,?B=60?,则

(A) 50 (B) 60 (C) 100 (D) 120 。

6.如图,点B是线段AC的中点,过点C的直线l与AC成60°的角,在直线l上取一点p,使∠APB=30°,则满足条件的点有几个 ( )

A.3个 B.2个 C.1个 D.不存在

7.如图,在AABC中,AB=BC=2,以AB为直径的⊙0与BC相切于点B,则AC等于( )

A.2 B. c.22 D.23

8.如图,直线l1∥l2,⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B.点M和点N分别是l1和l2上的动点,MN沿l1和l2平移.⊙O的半径为1,∠1=60°.下列结论错误的是(

). ..

A.MN? 3

B.

若MN与⊙O相切,则AM?C.若∠MON=90°,则MN与⊙O相切

D.l1和l2的距离为2

5

9.如图,PA、PB是O的切线,切点分别是A、B,如果∠P=60°,那么∠AOB等于( )

A.60° B.90° C.120° D.150°

二、填空题

10.如图,以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB是小圆的切线,C为切点,若两圆的半

径分别为3cm和5cm,则AB的长为 cm。

11.如图, 已知△ABC,AC?BC?6,?C?90?.O是AB的中点,

⊙O与AC,BC分别相切于点D与点E.点F是⊙O与AB的一

个交点,连DF并延长交CB的延长线于点G. 则CG? .

12.已知直线l与⊙O相切,若圆心O到直线l的距离是5,则⊙O的半径是 .

13.已知⊙O的半径为3cm,圆心O到直线l的距离是4cm,则直线l与⊙O的位置关是 .

14.如图,在矩形ABCD中,AB=6 , BC=4, ⊙O是以AB为直径的圆,则直线DC与⊙O的位置关系是 .

15.如图在边长为2的正方形ABCD中,E,F,O分别是AB,CD,AD的中点, 以O为圆心,以OE为半径

画弧EF.P是上的一个动点,连结OP,并延长OP交线段BC于点K,过点P作⊙O

BG?3,则BK﹦ . BM的切线,分别交射线AB于点M,交直线BC于点G. 若

三、解答题

16.如图,已知直线AB是⊙O的切线,A为切点,OB交⊙O于点C,点D在⊙O上,且

∠OBA=40°,求∠ADC的度数.

17.如图,直线AB与半径为2的⊙O相切于点C,点D、E、F是⊙O上三个点,EF∥AB,

EF=2EDC的度数?

6

第4课时 圆与圆的位置关系

知识梳理 要点回顾

1.两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距。

2.从公共点数看圆与圆的位置

(1)如果两个圆没有公共点,那么就说这两个圆相离,相离分为外离和内含两种。

(2)如果两个圆只有一个公共点,那么就说这两个圆相切,相切分为外切和内切两种。

(3)如果两个圆有两个公共点,那么就说这两个圆相交。

3.从半径、圆心距看圆与圆的位置关系

(1)圆与圆的位置关系共有五种:① ,② ,③ ,④ ,⑤ ;

(2)两圆的圆心距d和两圆的半径R、r(R≥r)之间的数量关系分别为:

①d R-r,②d R-r,③ R-r d R+r,④d R+r,⑤d R+r.

考点归类 过关检测

考点1 两圆位置关系的判定

例题1已知两圆的半径分别为3cm,5 cm,且其圆心距为7cm,则这两圆的位置关系是

(A)外切 (B)内切 (C)相交 (D)相离

【变式测试】

1.在△ABC中,∠C=90°,AC=3cm,BC=4cm,若⊙A,⊙B的半径分别为1cm,4cm,则⊙A,

⊙B的位置关系是

A.外切 B.内切 C.相交 D.外离

2.若⊙O1、⊙O2的半径分别为4和6,圆心距O1O2=8,则⊙O1与⊙O2的位置关系是

A.内切 B.相交 C.外切 D.外离

3. 已知⊙O1与⊙O2外切,⊙O1的半径R=5cm, ⊙O2的半径r =1cm,则⊙O1与⊙O2的圆心距

A.1cm B .4cm C.5cm D.6cm

考点2 两圆位置关系的讨论

例题2已知两圆的半径分别为1和3,若两圆相切,则两圆的圆心距为 .

【变式测试】

1.已知相交两圆的半径分别在4和7,则它们的圆心距可能是( )

A.2 B. 3 C. 6 D. 11

2.如图,小圆的圆心在原点,半径为3,大圆的圆心坐标为(a,0),半径为5.如

果两圆内含,那么a的取值范围是________.

3.若两圆相切,圆心距是7,其中一圆的半径为10,则另一个圆的半径为__________.

考点3 两圆位置关系的应用

7

例题3 如图,⊙o1、⊙o2相内切于点A,其半径分别是8和4,将⊙o2沿直线o1o2平移至两圆相

外切时,则点o2移动的长度是

A.4

【变式测试】

1. 如图,图2 是一个组合烟花(图1)的横截面,其中16个圆的半径相同,点O1、O2、O3、

O4分布是四个角上的圆的圆心,且四边形O1O2O3O4正方形。若圆的半径为r,组合烟花的高度为h,则组合烟花侧面包装纸的面积至少需要(解缝面积不计)( )

A. 26?rh B. 24rh+?rh C. 12rh-2?rh D. 24rh+2?rh

B.8 C.16 D.8 或16

2.如图,圆A、圆B的半径分别为4、2,且AB=12。若作一圆C使得三圆的圆心

在同一直在线,且圆C与圆A外切,圆C与圆B相交于两点,则下列何者可能

是圆C的半径长?

A.3 B. 4 C.5 D .6

中考测试 全面提升

基础测试

1. 已知两圆内切,它们的半径分别为3和6,则这两圆的圆心距d的取值满足( )

A.d?9 B. d?9 C. 3?d?9 D.d?3

2. 两圆的半径分别为3和5,圆心距为7,则两圆的位置关系是 ( )

A.内切 B.相交 C.外切 D.外离

3. 如果半径为3cm的⊙O1与半径为4cm的⊙O2内切,那么两圆的圆心距O1O2= cm.

4. 如图,以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB与小圆相切于点C,若大圆半

径为10cm,小圆半径为6cm,则弦AB的长为 cm.

综合提升

5.已知⊙O1、⊙O2的半径分别是r1?2、r2?4,若两圆相交,则圆心距O1O2可能取的值是 ( )

A.2

B.4 C.6 8 D.8

6.已知两圆的半径分别是4和6,圆心距为7,则这两圆的位置关系是( )

(A)相交 (B)外切 (C)外离 (D)内含

7.⊙O1的半径为3cm,⊙O2的半径为5cm,圆心距O1O2=2cm,这两圆的位置关系是( )

A.外切 B.相交 C.内切 D.内含

8.如图,在8×4的方格(每个方格的边长为1个单位长)中,⊙A的半径为1,

⊙B的半径为2,将⊙A由图示位置向右平移1个单位长后,⊙A与静止的⊙B

的位置关系是( ).

A.内含 B.内切 C.相交 D.外切

新题看台

9.已知⊙O1与⊙O2相切,⊙O1的半径为9 cm,⊙O2的半径为2 cm,则O1O2的长是( )

A.1 cm B.5 cm C.1 cm或5 cm D.0.5cm或2.5cm

10.如图,在平面直角坐标系中,点P的坐标为(-4,0),⊙P的半径为2,将⊙P沿x轴向右平移4个单位长度得⊙P1.

(1)画出⊙P1,并直接判断⊙P与⊙P1的位置关系;

(2)设⊙P1与x轴正半轴,y轴正半轴的交点分别为A,B,求劣弧AB与弦AB围成的图形的面积(结果保留π).

11.已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点,点O1在⊙O2上,C为⊙O2上一点(不与A,B,O1重合),直线CB与⊙O1交于另一点D。

(1)如图(8),若AC是⊙O2的直径,求证:AC?CD;

(2)如图(9),若C是⊙O1外一点,求证:O1C?AD;

(3)如图(10),若C

是⊙O1内一点,判断(2)中的结论是否成立。

9

【随堂练习】

一、选择题

1.已知两圆的半径R、r分别为方程x?5x?6?0的两根,两圆的圆心距为1,两圆的位置关系是

A.外离 B.内切 C.相交 D.外切

2.已知⊙O1与⊙O2相切,⊙O1的半径为3 cm,⊙O2的半径为2 cm,则O1O2的长是

A.1 cm B.5 cm C.1 cm或5 cm D.0.5cm或2.5cm 2

3.已知两圆的半径分别为3cm,5 cm,且其圆心距为7cm,则这两圆的位置关系是

(A)外切 (B)内切 (C)相交 (D)相离

4.⊙O1的半径为3cm,⊙O2的半径为5cm,圆心距O1O2=2cm,这两圆的位置关系是

A.外切 B.相交 C.内切 D.内含

5. 两圆的半径分别为3和5,圆心距为7,则两圆的位置关系是

A.内切 B.相交 C.外切 D.外离

6.如图为某机械装置的截面图,相切的两圆⊙O1,⊙O2均与⊙O的弧AB相切,

且O1O2∥l1( l1为水平线),⊙O1,⊙O2的半径均为30 mm,弧AB的

最低点到l1的距离为30 mm,公切线l2与l1间的距离为100 mm.则⊙O的

半径为( )

A.70 mm B.80 mm C.85 mm D.100 mm

7.已知⊙O1、⊙O2的半径分别是r1?2、r2?4,若两圆相交,则圆心距O1O2可能取的值是( ).

A.2 B.4 C.6 D.8

二、填空题

8. 外切两圆的半径分别为2 cm和3cm,则两圆的圆心距是

9. 已知两圆的半径分别是3和2,圆心的坐标分别是(0,2)和(0,-4),那么两圆的位置

关系是

10.如图,小圆的圆心在原点,半径为3,大圆的圆心坐标为(a,0),半径为5,如果两圆

内含,那么a的取值范围是_________.

11. 如果半径为3cm的⊙O1与半径为4cm的⊙O2内切,那么两圆的圆心距O1O2= cm.

12.如图在8?6的网格图(每个小正方形的边长均为1个单位长度)中,⊙A的半径为2个

单位长度,⊙B的半径为1个单位长度,要使运动的⊙B与静止的⊙A内切,应将⊙B由

图示位置向左平移 个单位长度.

213.⊙O1与⊙O2的半径分别是方程x?7x?11?0的两根,如果两圆外切,那么圆心距a的值是

214.两圆的圆心距d?5,它们的半径分别是一元二次方程x?5x?4?0的两个根,这两圆的位置关系是 .

15.已知:⊙A的半径为2cm,AB=3cm.以B为圆心作⊙B,使得⊙A与 ⊙B外切,则⊙B的半径是

10

cm.

三、解答题

16. (1)计算:如图①,直径为a的三等圆⊙O1、⊙O2、⊙O3两两外切,切点分别为A、B、C ,求O1A的长(用含a的代数式表示)

.

(2)探索:若干个直径为a的圆圈分别按如图10②所示的方案一和如图10③所示的方案二的方式排放,探索并求出这两种方案中n层圆圈的高度h

n和(用含n、a的代数式表示)

.

(3)应用:现有长方体集装箱,其内空长为5米,宽为3.1米,高为3.1米.用这样的集装箱装运长为5米,底面直径(横截面的外圆直径)为0.1米的圆柱形钢管,你认为采用(2)中的哪种方案在该集装箱中装运钢管数最多?并求出一个这样的集装箱最多能装运多少根钢管?(3≈1.73)

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