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三角形内角和(2)

发布时间:2014-03-08 12:54:07  

三角形的内角和(2)
——多边形的内角和

知识回顾:
A 1.已知△ABC,则 180° ∠A+∠ABC+∠C=_____. 2.请比较∠A+∠C与∠DBC C 的大小.

B
D

∠A+∠C= ∠DBC

看一看

美国国防部大楼——五角大楼

看一看

探索多边形的内角和

了解一下 在平面内,由若干条不在同一条直线上

的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫 做多边形. 内角 多这 边里 形所 顶点 说 的 多 边 形 都 指 边 凸 对角线 (连接不相邻两个顶点的线段)

我们现在研究的是如图1所示的多边 形,是凸多边形; 如图2所示的多边形, 是凹多边形,但不在现在研究的范围中。 今后如果不说明,我们讲的多边形都是 凸多边形。
比 一 比
图1
图2

看一看

四边形

五边形

……
六边形 八边形

四边形的内角和是多少?
C D

A

B

连接BD,把四边形ABCD分成2个三角形, 将求四边形ABCD内角和的问题转化为求 △ABD与△DCB的内角和。则四边形的内角 360 ° 和是_____

五边形的内角和是多少?
E D
A C B

五边形的内角和是_____ 540 0

六边形的内角和是多少?
F A D C

E

B

720 0 六边形的内角和是_____

n边形的内角和是多少? E
C D A D C

F A

E

D

A

如图:

B

B

B

C

四边形可以分成____ 2 个三角形, 五边形可以分成____ 3 个三角形, 六边形可以分成____ 4 个三角形 n边形可以分成 (n-2) ____个三角形

C D A
A B

E
D C B A

F

E

D
B

C

多边形的 边数

3 1
1800

4 2

5 3

6
4

7
5




n

分成三角 形的个数
多边形的 内角和

n-2

1800 1800 180°180° … 180° ×2 ×3 ×4 ×5 ×(n-2)

由此我们得出了:

n边形的内角和等于(n-2) 〃1800
你还有其他的方法计算多边形的内角和吗?

四边形还可以这样分:
C
D

A

B

那么四边形的内角和可以表示为:

4×1800-3600

五边形还可以这样分:
E D A

C

那么五边形的内角和可以表示为:

B

5×1800-3600

六边形还可以这样分:
F
A D C E

B

那么六边形的内角和可以表示为:

6×1800-3600

C D A A B

E D A

F

E D

C B

B

C

多边形的 边数 分成三角 形的个数 多边形的 内角和

4 4
4×18003600

5 5

6

7




n

6

7

n

… n×1800 5×1800- 6×1800 7×1800 3600 -3600 -3600 -3600

例题讲解:
1.已知四边形的四个内角的度数的比为1: 2:3:4,求这个四边形最大的角的度数. 解:设每份为x,则四个角表示为x, 3x,4x,由题意得:

2x,

x+2x+3x+4x =(4-2)×1800
解得
最大的角为

x=360
4×360 =1440

一个多边形的内角和为1080°,
这个多边形是几边形?

练一练

解:设这个多边形为n边形,由题意可得:
180×(n-2)=1080 解得 : n=8

答:这个多边形为8边形.

如图:四边形ABCD中,∠A与∠C

练一练

互补,那么它的另一组对角∠B与∠D

有什么关系


D
A B C

解:∠B与∠D互补。 四边形ABCD中, ∠A+∠B+ ∠C+∠D=3600 ∠A与∠C互补,即∠A+∠C =1800,所以∠B+∠D=3600 -(∠A+∠C)=1800,即 ∠B与∠D互补。

想一想 观察下图中的多边形,它们的边角
有什么特点?

在平面内,内角都相等、边也都相等的多边 形叫做正多边形。

练一练
1、如图:(1)作多边形所有过顶点A的对角线, 并分别用字母表达出来。

(2)求这个多边形的内角和。
A

解:(1)过顶点A的对角线 共有 三 条,分别是AC、 AD和AE .

B C D

F E

(2)这个多边形的内角和是:(6-2) 〃 1800= 7200

练一练

2、如果一个多边形的内角和是1440 度,那么这是 边形。 十
解:由多边形的内角和公式可得 (n - 2)〃 1800 = 14400 (n - 2) = 8 n = 10 ∴这是十边形。

练一练

3、若正n边形的一个内角是144度, 那么n=
. 解:由多边形的内角和公式可得: (n - 2) 〃 180 = 144n 180n – 360 = 144n 180n -144n=360 36n = 360 n = 10

10

练一练

4、在四边形ABCD中, ∠A=120度,

∠B:∠C:∠D =3:4:5,
求∠B,∠C,∠D的度数。

练一练

1. 有两个多边形,它们的边数之比1:2, 内角和的度数之比为1:4,求这两个多 边形的边数各是多少? 2.多边形除去一个内角外,其余内角的和 是11300,则这个多边形内角是多少度? 这个多边形的边数是多少?

如图:△ABC纸片沿DE折叠, B 使点A落在四边形BCDE的内 部.∠A与∠1+∠2之间存在怎 样的数量关系?请试着找出 来,并说明理由. 解: 2∠A= ∠1+∠2

E
1

A
2

D

C

在△ABC中,∠A+∠B+∠C=1800① 在△ADE中,∠A+∠ADE+∠AED=1800② 由①②,得∠B+∠C=∠ADE+∠AED 又在四边形BCDE中 ∠B+∠C+∠1 +∠2 +∠ADE+∠AED=3600, 所以 ∠1+∠2 +2(1800-∠A)=3600, 即 2∠A= ∠1+∠2

课堂小结
谈谈你这节课的收获: (1)这节课我们主要学习了多边形的内角和公 式。 (2)从多边形的一个顶点出发可以引(n- 3) 条对角线,把多边形分成(n-2)个三角形。

课堂作业: P31 7、9、10

教后记
本节课中通过将多边形内角和转 化成三角形的内角和,使学生比较 容易掌握.运用内角和公式解题时 也做得较好.


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