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二次函数的应用(有参考价值)

发布时间:2013-09-25 16:59:09  

1、求下列二次函数的最大值或最小值:
⑴ y=-x2+3x-4; ⑵ y=-x2+4x

y

2、图中所示的二次函数图像的解析式 2 为:

y ? 2 x ? 8 x ? 13

⑴若-3≤x≤3,该函数的最大值、最小值 分别为( 55 )、( 5 )。 ⑵又若0≤x≤3,该函数的最大值、最小 值分别为( 55 )、( 13)。
-4 -2

6 4 2

0
2

x

求函数的最值问题,应注意什么?

y
9 8 7 6 5 4 3 2

1 2 将抛物线y ? x 2 向右平移4个单位后,

再向下平移4个单位,
1 y ? ( x ? 4) 2 ? 4 2

会得到哪条抛物线?

1
? 3 ? 2 ?1
0

1 2 3 4 5 ?1 ?2

x

同学们,今天就让我们一 起去体会生活中的数学给 我们带来的乐趣吧!

某商品现在的售价为每件60元, 每星期可卖出300件,市场调查反 映:每涨价1元,每星期少卖出10 件;每降价1元,每星期可多卖出 18件,已知商品的进价为每件40 元,如何定价才能使利润最大?
请大家带着以下几个问题读题

(1)题目中有几种调整价格的方法?

(2)题目涉及到哪些变量?哪一个量是 自变量?哪些量随之发生了变化?

某商品现在的售价为每件60元,每星期 可卖出300件,市场调查反映:每涨价1 元,每星期少卖出10件;每降价1元,每 星期可多卖出18件,已知商品的进价为 每件40元,如何定价才能使利润最大?

分析:

调整价格包括涨价和降价两种情况

先来看涨价的情况:⑴设每件涨价x元,则每星期售出商 品的利润y也随之变化,我们先来确定y与x的函数关系式。 10x (300-10x) 涨价x元时则每星期少卖 件,实际卖出 件,销额 (60+x)(300-10x) 40(300-10x) 为 元,买进商品需付 元因此, y=(60+x)(300-10x)-40(300-10x) 所得利润为 元 即

y ? ?10 x ? 100 x ? 6000
2

(0≤X≤30)

y ? ?10 x ? 100 x ? 6000
2

(0≤X≤30)

b x?? ? 5时,y最大值 ? ?10 ? 52 ? 100 ? 5 ? 6000 ? 6250 2a

所以,当定价为65元时,利润最大,最大利润为6250元 可以看出,这个函数的 图像是一条抛物线的一 部分,这条抛物线的顶 点是函数图像的最高点, 也就是说当x取顶点坐 标的横坐标时,这个函 数有最大值。由公式可 以求出顶点的横坐标.

y \元

6250 6000

0

5

30

x\元

在降价的情况下,最大利润是多少? 请你参考(1)的过程得出答案。 解:设降价x元时利润最大,则每星期可多卖18x件,实 际卖出(300+18x)件,销售额为(60-x)(300+18x)元,买 进商品需付40(300-10x)元,因此,得利润
做一做

y ? ?60 ? x ??300 ? 18 x ? ? 40?300 ? 18 x ?
2

? ?18 x ? 60 x ? 6000

(0≤x≤20)
2

b 5 5 ?5? 当x ? ? ? 时,y最大 ? ?18 ? ? ? ? 60 ? ? 6000 ? 6050 2a 3 3 ?3?

1 答:定价为 58 元时,利润最大,最大利润为6050元 3 由(1)(2)的讨论

及现在的销售 情况,你知道应该如何定价能 使利润最大了吗?

(1)列出二次函数的解析式,并根 据自变量的实际意义,确定自变量的 取值范围; (2)在自变量的取值范围内,运用 公式法或通过配方求出二次函数的最 大值或最小值。

y
20 9

(4,4)

1 2 ? y ? ? ?x ? 4? ? 4 (0≤x≤8) 9

1 ?a ? ? 9

0

4

8

x

20 当x ? 8时,y ? 9

如图,建立平面 直角坐标系, 点(4,4)是图中这段抛物 线的顶点,因此可设这段抛 物线对应的函数为:

∵篮圈中心距离地面3米

∴此球不能投中

y ? a? x ? 4 ? ? 4
2

(0≤x≤8)

? 20 ? ? 抛物线经过点? 0, ? ? 9 ?

20 2 ? ? a?0 ? 4? ? 4 9

若假设出手的角度和力度都不变, 则如何才能使此球命中?

探究

(1)跳得高一点 (2)向前平移一点

在出手角度和力度都不变的情况下,小明的出手高度 为多少时能将篮球投入篮圈?
6

y
(4,4)

4

? 20 ? ? 0, ? ? 9 ?2

(8,3) ? 20 ? ? 8, ? ? 9 ?

0

1

2

3

4

5 5

6

7

8

9

10

x
-2

在出手角度、力度及高度都不变的情况下,则小明朝 着篮球架再向前平移多少米后跳起投篮也能将篮球投 入篮圈?
6

y

(4,4) (5,4)
4

? 20 ? ? 0, ? ? 9 ?
2

(7,3) (8,3)


0

1

2

3

4

5 5

6

7

8

9

10

X
-2

用抛物线的知识解决运动场上或者生 活中的一些实际问题的一般步骤:
建立直角坐标系 二次函数 问题求解 找出实际问题的答案

寄语

生活是数学的源泉, 探索是数学的生命线.

作业
P28:2、3、4

www.czsx.com.cn

y 0
(-2,-2) ● (2,-2) ●

解:设这条抛物线表示的二次 函数为 y ? ax 2 由抛物线经过点(-2,2), 1 x 可得 a ? ? 2 所以,这条抛物线的二次函数 为:

1 2 y?? x 2

抛物线形拱桥,当水面在 l 时, 拱顶离水面2m,水面宽度4m,水 面下降1m,水面宽度增加多少?

当水面下降1m时,水面的纵 坐标为 y ? ?3


y ? ?3 时,x ? ? 6

所以,水面下降1m,水面的 宽度为 2 6 m

∴水面的宽度增加了 2 6 ? 4 m

?

?


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