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6 测量物体的高度

发布时间:2014-03-09 19:27:18  

17. (2011江苏淮安,23,10分)题23-1图为平地上一幢建筑物与铁塔图,题23-2图为其示意图.建筑物AB与铁塔CD都垂直于底面,BD=30m,在A点测得D点的俯角为45°,测得C点的仰角为60°.求铁塔CD的高度

.

题23-1图 题23-2图

【答案】解:如图,设过点A的水平线与CD交于点E,由题意得

∠AEC=∠AED=90°,∠CAE=60°,∠DAE=45°,AE=BD=30m,

∴CD=CE+DE=AE·tan60°+AE·tan45°

m).

答:铁塔CD的高度为

m.

【思路分析】过A作AE⊥CD,AB与铁塔CD都垂直于底面,所以ABDE为矩形,所以AE=BD=30,在Rt△AED中,因为∠EAD=45°,所以DE=AE=30,在Rt△ACE中,由于∠CAE=60°,所以CE= AE·tan60°=30,所以CD=30+30

【方法规律】求三角形一边的长时,如果不是直角三角形的边,则需要先构造直角三角形,然后再进行求解

【易错点分析】在解直角三角形时,对于三角函数的定义理解错误

【关键词】解直角三角形

【推荐指数】★★★☆☆

23. (2011辽宁大连,20,12分)如图7,某建筑物BC上有一旗杆AB,小明在与BC相距12m的F处,由E点观测到旗杆顶部A的仰角为52°、底部B的仰角为45°,小明的观测点与地面的距离EF为1.6m.

(1)求建筑物BC的高度;

(2)求旗杆AB的高度.

(结果精确到0.1m

1.41,sin52°≈0.79,tan52°≈1.28)

F

7

【答案】解:

(1)如图,作ED⊥BC于点D

在Rt△BED中,

∵∠BED=45°,

∴BD=tan45°×ED=12(米)

∴BC=BD+CD=12+1.6=13.6(米)

答:建筑物BC的高度为13. 6 米.

(2)在Rt△AED中,

∵∠AED=52°

∴AD=tan45°×ED=12×1.28=15.36 (米)

∴AB=AD-BD=15.36-12=3.36≈3.4 (米)

答:旗杆AB的高度约3.4 米.

C

F C

7

【思路分析】第一问根据已知,在Rt△BED中可以解出BD,加上EF值即可;第二问在第一问的基础上,利用Rt△AED解出AD,加上EF求出AC长,再减去BC即可.

【方法规律】合理地分割,把相应的线段转化到直角三角形中,利用解直角三角形解决.

【易错点分析】分割较乱,不过关的话,不易找到思路.

【关键词】解直角三角形应用 【难度】★★☆☆☆ 【题型】常规题

25. (2011山东潍坊,19,9分)今年“五一”假期,某数学活动小组组织一次登山活动.他们

从山脚下A点出发沿斜坡AB到达B点,再从B点沿斜坡BC到达山顶C点,路线如图所示.斜坡AB的长为1040米,斜坡BC的长为400米,在C点测得B点的俯角为30°,.已知A点海拔121米,C点海拔721米.

(1)求B点的海拔;

(2)求斜坡AB的坡度

.

【解】(1)如图所示,过点C作CF⊥AM,F为垂足,过点B作BE⊥AM,BD⊥CF,E、D为垂足

.

∵在C点测得B点的俯角为30°,

∴∠CBD=30°,又∵BC=400米,

∴CD=400×sin30°=200(米). 21

∴B点的海拔为721-200=521(米).

(2)∵BE=521-121=400(米),AB=1040米,

∴AE??960(米). ∴AB的坡度iAB?BE4005??,所以斜坡AB的坡度为1:2.4. AE96012

【思路分析】(1)要求B点的海拔,只需先求出BC两点间的垂直距离,利用C点的海拔减去该距离就得B点的海拔.为此需要构造直角三角形,可添加辅助线,过点C作CF⊥AM于点F,过点B作BE⊥AM,BD⊥CF,E、D为垂足,解Rt△BCD可求得CD的长.

(2)斜坡AB的坡度为AB间的铅直高度与水平距离的比,即BE:AE,而BE的长为B、A两点海拔高度的差,AB的长已知,在Rt△ABE中利用勾股定理可求得AE的长,从而可求出斜坡AB的坡度.

【方法规律】对于实际问题,要转化为数学问题,通过添加辅助线,构造直角三角形,运用解直角三角形的知识求解.

【易错点分析】解题时对海拔高度的概念不理解,误认为点B的海拔高度就是BE的长,点C的海拔高度就是CF的长,从而因相关数据出错而导致错解.

【关键词】解直角三角形的应用,坡度问题

【推荐指数】★★★★☆

【题型】新题,易错题

33. (2011浙江丽水,19,6分)生活经验表明,靠墙摆放的梯子,当50°≤α≤70°(α为梯子与地面所成的角),能够使人安全攀爬,现在有一长为6米的梯子AB,试求能够使人安全攀爬时,梯子的顶端能达到的最大高度AC.(结果保留两个有效数字,sin70°≈0.94,sin50°≈0.77,cos70°≈0.34,cos50°≈0.64)

【解】当α=70°时,梯子顶端达到的最大高度,

∵sinα=AC, AB

∴AC =sin70°×6≈0.94×6=5.64≈5.6(米)

答:人安全攀爬梯子时,梯子的顶端达到的最大高度约5.6米.

【思路分析】当α越大,梯子的顶端达到的最大高度越大.因为50°≤α≤70°,所以当α=70°时,AC最大.

【方法规律】对于同名锐角三角函数大小的比较,要准确把握住它们的增减性:正弦、正切值随角度的增大而增大(可记为正变关系);余弦值则随角度的增大而减小(可记为反变关系).

【易错点分析】易混淆三角函数的增减性,分不清α为何值时,梯子能到达最大高度造成错解.

【关键词】解直角三角形 【难度】★★☆☆☆ 【题型】常规题

36. (2011浙江,21,10分)图1为已建设封顶的16层楼房和其塔吊图,图2为其示意图,吊臂AB与地面EH平行,测得A点到楼顶D的距离为5m,每层楼高3.5m,AE、BF、CH都垂直于地面.

(1)求16层楼房DE的高度;

(2)若EF=16m,求塔吊的高CH 的长(精确到0.1m).

D E

第21题图 F 图

2 H

【答案】解:(1)根据题意,得:DE=3.5×16=56m,

(2)设CG为x m

在Rt△ACG中,tan15°=CGCG,AG= AGtan15?

CGCG,BG= BGtan35?

CGCG∴AG-BG=-=AB tan15?tan35?在Rt△BCG中,tan35°=

∵AB=EF=16m CGCG-=16 tan15?tan35?

xx即-=16 tan15?tan35?∴

解x≈7.11

∴CH=DE+AD+CG=56+5+7.11=68.11≈68.1(m)

答:CH高约为68.1m。

【思路分析】(1)直接利用层数乘以层高即可.

(2)设CG为x,利用Rt△ACG和Rt△BCG分别用x表示AG、BG长,再利用AG-BG=16列出方程,解方程求出GC,再加上AD和DE即可.

【方法规律】第二问当所给的边不在任何一个直角三角形中时,要注意方程思想的应用.

【易错点分析】第二问不能利用方程解决问题.

【关键词】解直角三角形应用 【难度】★★☆☆☆ 【题型】常规题

39. (2011重庆綦江,20,6分)如图,小刚同学在綦江南州广场上观测新华书店楼房墙上的

电子屏幕CD, 点A是小刚的眼睛,测得屏幕下端D处的仰角为30°,然后他正对屏幕方向前进了6米到达B处,又测得该屏幕上端C处的仰角为45°,延长AB与楼房垂直相交于点E,测得BE=21米,请你帮小刚求出该屏幕上端与下端之间的距离CD. (结果保留根号)

【答案】:解:∵∠CBE=45° CE⊥AE ,∴CE=BE=21 , AE=21+6=27 ,在Rt△ADE中,∠DAE=30°,∴DE=AE×tan30°=3=9 ,∴CD=CE-DE=21-9,∴该3

屏幕上端与下端之间的距离CD=21-9 (米).

【思路分析】已知BE可求出AE。在直角三角形BEC中,已知BE和∠CBE,则CE可求;同理在直角三角形ADE中,DE可求,而CD=CE―DE

【方法规律】在图中找出所要求的量所在的直角三角形,再利用直角三角形中的边角关系,求未知的边、角

【易错点分析】利用锐角三角函数求边、角时,容易出现公式变形错误

【关键词】解直角三角形 【难度】★☆☆☆☆ 【题型】常规题

40. (2011安徽芜湖,18,8分)如图,某校数学兴趣小组的同学欲测量一座垂直于地面

的古塔BD的高度,他们先在A处测得古塔顶端点D的仰角为45?,再沿着BA的方向后退20m至C处,测得古塔顶端点D的仰角为30?.求该古塔BD的高度

?1.732,结果保留一位小数

).

解:根据题意可知:?BAD?45?,?BCD?30?.AC?20m.

在Rt△ABD中,由?BAD??BDA?45?,得AB?BD.

在Rt△BDC中,由tan?BCD?BDBD?. .

得BC?BCtan30?

又∵BC?AB?AC,

?BD?20.

∴BD??27.3(m). 答:该古塔的高度约为27.3m.

【方法规律】考查特殊角的三角函数值和解直角三角形的应用,属于基本的解直角三角形问题.

【易错点分析】特殊角的三角函数值记忆错误和无法建立方程.

【关键词】解直角三角形 【推荐指数】★★☆☆☆

【题型】原创题

32. (2011四川内江,20,9分)放风筝是大家喜爱的一种运动.星期天的上午小明在大洲广场上放风筝.如图他在A处时不小心让风筝挂在了一棵树的树梢上,风筝固定在了D处,此时风筝线AD与水平线的夹角为30°.为了便于观察,小明迅速向前边移动边收线到达了离A处7米的B处,此时风筝线BD与水平线的夹角为45°.已知点A、B、C在同一条直线上,∠ACD=90°.请你求出小明此时所收回的风筝线的长度是多少米?(本题中风筝

?

1.414?1.732,最后结果精确到1米)

【解】设BC=CD=x米,得

7?x?x,解得x?7(3?1) 2

∴AD-BD=2x-2x=(2?2)?7(?1)?6(米) 2

【思路分析】这是一个实际问题,转化成直角三角形,用解直角三角形的知识来解决.由于两个直角三角形都没有已知的边长,所以还需通过方程来进行转化.最后要求小明收回的风筝线的长度为AD减去BD.

【方法规律】通过作垂线,构造出直角三角形,进而解决问题.

【易错点分析】不能找出等量关系,列出方程求解.

【关键词】解直角三角形 【难度】★★★☆☆ 【题型】变式题、新题

在一次数学活动中,李明利用一根拴有小锤的细线和一个半圆形量角器制作了一个测角仪,去测量学校内一座假山的高度CD.如图5,已知李明距假山的水平距离BD为12m,他的眼睛距地面的高度为1.6m,李明的视线经过量角器零刻度线OA和假山的最高点C,此时,铅垂线OE经过量角器的60°刻度线,则假山的高度为

A.

1.6)m

C.

1.6)m

C B.

1.6)m D.

A O

E

B

【解析】如下图,过点A作AF⊥CD于F,则AF=BD=12m,FD=AB=1.6m.再由OE∥CF可知∠C=∠AOE=60°.所以,在Rt△ACF中,CF=

+1.6)m.

C 图5 D AF=

那么CD=CF+FD=

tan60A O

E

B

【答案】A

【点评】通过作高将问题转化为解直角三角形问题是解答关键,其间需要具有良好的阅读理解能力,能将对应线段和角之间的关系理清. D

11 、如图9,小红同学用仪器测量一棵大树AB的高度,在C处测得∠ADG?30?,在E处测得∠AFG?60?,CE?8米,仪器高度CD?1.5米,求这棵树AB的高度(结果保留两位有效数字,≈1.732).

A

C ? 60? E G B

【解析】在Rt△ADG中,可设AG=x,利用已知角的三角函数可用x表示出DG的长,在Rt△AFG中,根据∠AFG的正切函数可用x表示出FG的长,因为DG-FG=DF,所以可列方程求出x的长,AG再加上仪器的高度即为大树的高.

【答案】解:设AG=xm,在Rt△ADG中,∠ADG=30°,∴

在Rt△AED中,∠AFG=60°,AG=x,

x,∵DG-FG=DF,DF=CE=8

x=8,解得

6.93, ∴AB=AG+BG=6.93+1.5≈8.4.

答:大树AB的高约为8.4米.

【点评】本题考查直角三角形的解法,首先构造直角三角形,再借助角边关系、三角函数的定义解题.

(2012湖北随州,20,9分)在一次暑假旅游中,小亮在仙岛湖的游船上(A处),测得湖西岸的山峰太婆尖(C处)和湖东岸的山峰老君岭(D处)的仰角都是45°,游船向东航行100米后(B处)

1.732,结果精确到米)。

解析:设太婆尖高h1米,老君岭高h2米。可分别在直角三角形中利用正切值表示出水平线段的长度,再利用移动距离为AB=100米,可建立关于h1、h2的方程

组,解这个方程组求得两山峰高度。

答案:设太婆尖高h1米,老君岭高h2米,依题意,有 )

h1?h1??tan30?tan45??100???h2?h2??100????tan45tan60

h1? 第20题图100?50(?1)?50(1.732?1)?136.6?137(米) ??tan60?tan45

h2?100100?tan45??tan30?31?3

?3(3?1)?50(3?3)?50(3?1.732)?236.6?237(米)

答:太婆尖高度为137米,老君岭高度为237米。

点评:本题考查了直角三角形的解法。解题的关键是要首先构造直角三角形,再借助角边关系、三角函数的定义解题.

(2012浙江省绍兴,19,8分)如图1,某超市从一楼到二楼的电梯AB的长为16.50米,按坡角∠BAC为32°.

(1)求一楼与二楼之间的高度BC(精确到0.01米);

(2)电梯每级的水平级宽均是0.25米,如图2.小明跨上电梯时,该电梯以每少上升2级的高度运行,10秒后他上升了多少米(精确到0.01米)?

备用数据:sin32°=0.5299,cos32°=0.8480,tan32°

=0.6249.

【解析】(1)在Rt△ABC中,已知∠BAC=32°,斜边AB的长为16.50米,根据锐角三角函数的定义即可求得一楼与二楼之间的高度BC.(2)先计算1级电梯的高,再根据10秒钟电梯上升了20级可计算10秒后他上升的高度.

【答案】解:(1)∵sin∠BAC=BC,∴BC=AB×sin32° AB

=16.50×0.5299≈8.74米.

(2)∵tan32° ,

∴级高=级宽×tan32°=0.25×0.6249=0.156225,

∵10秒钟电梯上升了20级,∴小明上升的高度为:20×0.156225米.

【点评】正确地构造出直角三角形,然后根据直角三角形的性质求解,是解决此题的关键. (2012山东泰安,13,3分)如图,为测量某物体AB的高度,在D点测得A点的仰角为30o,朝物体AB方向前进20米到达点C,再次测得A点的仰角为60o,则物体的高度为( )

B.10米

【解析】设AB高为x米,在Rt△ABD中,∠D=30o,所以

,在Rt△ABC中,∠ACB=60o,所以

BC=AB=x,因为BD-BC=CD

x=20,解得

3

33

即物体的高为

.

【答案】A.

【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用,分别在两个直角三角形中,设出未知数,由锐角三角函数把与已知线段在同一条直线上的两条未知线段表示出来,然后构建方程,解方程即可求出未知线段的长.

(2012贵州贵阳,19,10分)小亮想知道亚洲最大的瀑布黄果树夏季洪峰汇成巨瀑时的落差.如图,他利用测角仪站在C点处测得∠ACB=68°,再沿BC方向走80m到达D处,测得∠ADC=34°,求落差AB.(测角仪高度忽略不计,结果精确到1m,可以使用计算器)

解析: 由已知可得△ACD是等腰三角形,故得AC=CD=80,在Rt△ACB中解直角三角形可求AB.

解:∵∠ACB=68°, ∠D=34°,

∴∠CAD=68°-34°=34°,

∴∠ CAD=∠D,

∴AC=CD=80.

在Rt△ABC中,AB=AC×sin68°=80×sin68°=74,

∴瀑布的落差约为74m.

点评:解直角三角形在实际生活中的应用是中考热点之一,解题时,首先是根据题意画出图形(已经画图的则需要弄懂图形所表示的实际意义),解直角三角形时就结合图形分清图形中哪个是直角三角形,已知锐角的对边、邻边和斜边.此外还应正确理解俯角、仰角等名词术语.

第19题图 B A

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