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圆的对称性(1)垂径定理

发布时间:2014-03-10 18:59:46  

圆对称性(1) 垂径定理

想一想

1
驶向胜利 的彼岸

圆的对称性

圆是轴对称图形吗? 如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称 轴? 你是用什么方法解决上述问题的? 圆是中心对称图形吗? 如果是,它的对称中心是什么? O 你能找到多少个对称中心? 你又是用什么方法解决这个 问题的?


想一想

2
驶向胜利 的彼岸

圆的对称性

圆是轴对称图形. 圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无 数条对称轴. 可利用折叠的方法即可解决上述问题. 圆也是中心对称图形.


O

它的对称中心就是圆心.
用旋转的方法即可解决这个 问题.

读一读

3
驶向胜利 的彼岸

圆的相关概念

圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧. 以A,B两点为端点的弧.记作 ⌒ ,读作“弧AB”. AB 连接圆上任意两点间的线段叫做弦(如弦AB).
B A



经过圆心弦叫做直径(如直径AC). M 直径将圆分成两部分,每一部分都叫做 ⌒ 半圆(如弧ABC). O 小于半圆的弧叫做劣弧,如记作 ⌒ (用 AB C 两个字母). ⌒ D 大于半圆的弧叫做优弧,如记作 AMB (用三个字母).

做一做

4
驶向胜利 的彼岸

垂径定理
AB是⊙O的一条弦. 作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.

右图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
C

A

M└


O

你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说 说你的想法和理由. B 小明发现图中有: ③AM=BM, 由 ① CD是直径 可推得 ⌒ ⌒ ④ AC=BC, ② CD⊥AB

D

⌒ ⑤AD=BD.



做一做

5
驶向胜利 的彼岸

垂径定理

连接OA,OB, 则OA=OB. 如图,小明的理由是: 在Rt△OAM和Rt△OBM中, ∵OA=OB,OM=OM, ∴Rt△OAM≌Rt△OBM. C ∴AM=BM. A B ∴点A和点B关于CD对称. M└ ∵⊙O关于直径CD对称,


O

∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B ⌒ ⌒ ⌒ 重合, ⌒ AC和BC重合, AD和BD重合.

D

⌒ =BC, ⌒ AD ⌒=BD. ∴AC



想一想

6
驶向胜利 的彼岸

垂径定理三种语言
C

定理 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.
A

M└


如图∵ CD是直径, CD⊥AB, B
O

∴AM=BM,

⌒ =BC ⌒, AC ⌒ ⌒ AD=BD.

D

老师提示: 垂径定理是 圆中一个重 要的结论,三 种语言要相 互转化,形成 整体,才能运 用自如.

做一做

7

⌒ AmB

垂径定理的逆定理
AB是⊙O的一条弦,且AM=BM. 过点M作直径CD.

驶向胜利 的彼岸

右图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
C

A





M


O

⌒ ⑤AD=BD. D 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的弧.

你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说 你的想法和理由. B 小明发现图中有: ②CD⊥AB, 由 ① CD是直径 可推得 ⌒ ⌒ ④ AC=BC, ③ AM=BM



想一想

8
驶向胜利 的彼岸

垂径定理的逆定理
如图,在下列五个条件中:

⌒ ⌒ ① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM, ④

AC=BC,

⌒ ⌒ 只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论. ⑤AD=BD.
C

A

M└


B O

你可以写出相应的命题吗? 相信自己是最棒的!

D

C

想一想

9

A

垂径定理及逆定理
条件 ①② ①③ ①④ ①⑤ ②③ ②④ ②⑤ ③④ 结论 命题

M └ ●O D

B

③④⑤ 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧. ②④⑤ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧. ②③⑤

平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的 ②③④ 另一条弧.
①④⑤ 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧. ①③⑤ 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且 ①③④ 平分弦和所对的另一条弧. ①②⑤ 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦, ①②④ 并且平分弦所对的另一条弧. ①②③ 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.

③⑤
④⑤

随堂练习 10

挑战自我垂径定理的推论
如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相 等吗? 老师提示: 这两条弦在圆中位置有两种情况: 1.两条弦在圆心的同侧
O

2.两条弦在圆心的两侧
A


A C



B D

O

B D

C

垂径定理的推论

圆的两条平行弦所夹的弧相等.

试一试P93 11

挑战自我画一画

驶向胜利 的彼岸

如图,M 为⊙ O内的一点 , 利用尺规作一条弦 AB, 使AB过点M.并且AM=BM.
M ●O


试一试

12
驶向胜利 的彼岸

挑战自我填一填
1、判断:

⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条 弧. ( ) ⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另 一条弧. ( )

⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.(




⑷圆的两条弦所夹的弧相等,则这两条弦平行. (

⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. (



试一试

13
驶向胜利 的彼岸

? 挑战自我画一画 AB

2.已知:如图,⊙O 中,弦AB∥CD,AB<CD, 直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F. 图中相等的线段有 : . 图中相等的劣弧有: .
C A O F B M E D

N

试一试

14
驶向胜利 的彼岸

挑战自我画一画

3、已知:如图,⊙O 中, AB为 弦,C 为 AB的中点,OC交AB 于D ,AB = 6cm , CD = 1cm. 求⊙O 的半径OA.
A D O C

B

试一试

15
驶向胜利 的彼岸

挑战自我画一画

4.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、 H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.
A H G D

B

E

· 0

F

C

独立作业

16

挑战自我

驶向胜利 的彼岸

P69:习题3.1

1题

祝你成功!

下课了!

结束寄语
?

不学自知,不问自晓,古今 行事,未之有也.


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