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八年级数学下册_20.3菱形的判定_(1)_课件_华东师大版

发布时间:2014-03-10 18:59:49  

今天你预习了吗?

知 识 回 顾
菱形的定义:

有一组邻边相等的平行四 边形是菱形

菱形的性质有: ? 边: 四边相等 ? 角: 对角线平分一组对角 ? 对角线: 对角线互相垂直平分 菱形的特殊性质有: 1.两条对角线互相垂直 2.四条边都相等 3.每条对角线平分一组对角

判定定理1:有一组邻边相等的平 行四边形是菱形 D B O ∵ 平行四边形ABCD AB=BC ∴四边形ABCD是菱形 C 判定定理2:对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ∵ ABCD, AC⊥BD ∴四边形ABCD是菱形 判定定理3:四条边都相等的四边形是菱形 ∵AB=BC=CD=AD ∴四边形ABCD是菱形
判定定理4:每条对角线平分一组对角的四边形是菱形 ∵AC平分∠BAD和 ∠ BCD,BD平分∠ABC和∠ADC ∴四边形ABCD是菱形

A

问:如何证明判定定理2和判定定理3呢?

探 索





已知: ABCD中,对角线AC、BD 互相垂直, 求证:四边形ABCD是菱形.

证明:在 ABCD 中,OA=OC 又∵AC⊥BD, ∴ BD所在直线是线段AC的垂直 平分线, ∴ AB=BC, ∴ 四边形ABCD是菱形

例 1已知:矩形ABCD的对角线AC的 垂直平分线与边AD、BC分别交于 点E、F, 求证:四边形AFCE是菱形 证明 ∵ 四边形ABCD是矩形, ∴ AE∥FC ∴ ∠1=∠2 ∵ EF平分AC, ∴ AO=OC. 又∵ ∠AOE=∠COF=90°, ∴ △AOE≌△COF ∴ EO=FO, ∴ 四边形AFCE是平行四边形 又∵EF⊥AC, ∴ 四边形AFCE是菱形

A

B C

已知:AB=BC=CD=DA D 求证:四边形ABCD是菱形 证明:∵AB=CD,BC=AD ∴四边形ABCD是平行四边形 ∵AB=CD ∴四边形ABCD是菱形 (有一组邻边相等的平行四边形是菱 形)

拓展
由菱形的性质:“每条对角线平分一组对 角”,我们还可以得到判定菱形的方法: 每条对角线平分一组对角的四边形是菱形.
对此感兴趣的同学,可以试着用逻辑推理的方法 进行证明.

? 菱形的证明方法: 判定定理1:有一组邻边相等的平行四边形是菱形 判定定理2:对角线互相垂直的平行四边形是菱形

判定定理3:四条边都相等的四边形是菱形
判定定理4:每条对角线平分一组对角的四边形是菱形

P116练习 见前面 1. 证明:四条边都相等的四边形是菱形.

2. 将一张矩形的纸对折再对折,然后沿着 图中的虚线剪下,打开,你发现这是一个 什么样的图形呢?说说你的理由.

解:是菱形,因为这 个四边形的对角线相 互垂直平分。

1、下列说法正确的是( D )
A、邻角相等的四边形是菱形 B、有一组邻边相等的四边形是菱形 C、对角线互相垂直的四边形是菱形 D、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形

牛刀小试
? 下列条件中,不能判定四边形ABCD为菱 形的是( ). ? A、AC⊥BD ,AC与BD互相平分 ? B、AB=BC=CD=DA ? C、AB=

BC,AD=CD,且AC ⊥BD ? D、AB=CD,AD=BC,AC ⊥BD A D
O B

C

2、已知:如图,在平行四边形ABCD 中,AE平分∠BAD,与BC相交于点 E,EF//AB,与AD相交于点F. 求证:四边形ABEF是菱形.
A D

B E

例2、如图,在四边形ABCD是平行四边形,对角线 AC、BD相交于点O,且AO=3,BO=4,AB=5。 求证:四边形ABCD是菱形。 A 证明:∵ AO=3,BO=4,AB=5 ∴AB2=AO2+BO2 ∴△OAB是直角三角形 ∴AC⊥BD 又∵四边形ABCD是平行四边形 ∴四边形ABCD是菱形(对角线互相垂直的平行 四边形是菱形) B O C D

A

B
C 3.判断对错: (1)对角线互相垂直的四边形是菱形。 (2)对角线垂直且平分的四边形是菱形。 (3)对角线垂直的矩形是菱形。 (4)对角线垂直且相等的四边形是菱形。 (5)有一条对角线平分一组对角的四边形 是菱形。

D

( ) ( ) ( ) ( ) (



已知: 如图,AD是△ABC的一条角平分线,DE∥AC 交AB于点E,DF∥AB交AC于点F. 求证:四边形AEDF是菱形.
证明:∵ DE∥AC交AB于点E,DF∥AB 交AC于点F
∴四边形AEDF是平行四边形且 ∠EDA=∠DAF ∵ AD是△ABC的一条角平分线 ∴∠EAD=∠DAF

(第 1 题)

∴∠EDA=∠EAD
∴EA=ED(等角对等边) ∴四边形AEDF是菱形.(有一组邻边相等的 平行四边形是菱形)

2。如图:△ABC中,AB=AC,点D是BC 的中点,DE⊥AC于E,DG⊥AB于G, EK⊥AB于K,GH⊥AC于H,EK和GH相 交于点F。求证:四边形DEFG是菱形.
证明:∵ DE⊥AC于E, GH⊥AC于H ∵ DG⊥AB于G, EK⊥AB于K ∴四边形DEFG是平行四边形 ∵ AB=AC∴∠B=∠C ∵点D是BC的中点∴BD=CD ∴DE∥GH
(第 2 题)

∴DG∥EK

∵ DG⊥AB于G, DE⊥AC于E∴∠BGD=∠CED=90度

在⊿BGD和⊿CED中,∵ ∠BGD=∠CED, ∠B=∠C,BD=CD
∴ ⊿BGD≌⊿CED(AAS) ∴DG=DE

∴四边形DEFG是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形)

3. 如图,菱形ABCD的周长为2p,对角线AC、 BD交于O,AC+BD=q,求菱形ABCD的面积. (提示: 利用两数和的平方公式 (a+b)2=a2+2ab+b2与勾股定理)

(第 3 题)

挑战自我 已知如图,在△ABC,∠ACB=900, AD是角平分线,点E、F分别在AB 、AD上,且AE=AC,EF∥BC。 求证:四边形CDEF 是菱形 A
1 2

F
O

E

B

C

D

作 业
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