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第二章 一元一次不等式与一元一次不等式组

发布时间:2014-03-10 18:59:49  

第二章 一元一次不等式与一元一次不等式组

1.不等关系

湖北省宜昌市第五中学 李绍山

一、学生知识状况分析

学生的知识技能基础:在小学,学生已经学过一些关于不等关系的相关知识,知道生活大量存在着不等关系的量,了解“大于”、“小于”等符号的用法和意义,能比较两数的大小,并能用数学的语言表达。

学生活动经验基础:在相关的知识学习过程中,经历了建立方程模型和函数关系解决一些实际问题的数学化过程,初步具备了将生活中的数学现象抽象为数学问题或数学模型的能力,为分析量与量之间的关系积累了一定的经验,并在学习过程中形成了一定的合作交流能力,为进一步展开不等式的学习奠定了基础。

二、教学任务分析

(一)教学目标:

1、知识与技能目标

①理解不等式的意义。

②能根据条件列出不等式。

③能用实际生活背景和数学背景解释简单不等式的意义。

2、过程与方法目标

经历由具体实例建立不等式模型的过程,进一步发展学生的符号感与数学化的能力。

3、情感与态度目标

感受生活中存在着的大量不等关系,通过用不等式解决实际问题,使学生进一步认识数学与人类生活的密切联系,激发学生学习数学的信心和兴趣。

(二)教学重点:

①通过探寻实际问题中的不等式关系,认识不等式。

②根据实际问题建立合理的不等关系。

三、教学过程分析

本节分为七个教学环节:第一环节引入新课、第二环节问题提出、第三环节活动探究、第四环节猜想归纳、第五环节运用巩固、第六环节课时小结、第七环节课后作业。

第一环节:创设情景,引入新课

活动内容:寻找相等的量和不等的量

师:我们学过等式,等式的定义是什么?

生:表示相等关系的式子叫等式。

师:我们知道相等关系的量可以利用等式来描述。同时,我们也知道现实生活中还存在许多反映不等关系的量。

师:比如,研究表明同学们每天睡觉的时间要不少于9小时;体育考试中合格的分数要不低于60分。请同学们也举一些不等关系的例子。

生1:每天我都比他早起5分钟。

生2:我的年龄不小于13岁。

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生3:我的体重不低于30公斤

(同学们各抒己见)

活动目的:通过这一活动,希望学生体会不等关系如相等关系一样处处存在,培养学生观察生活、乐于探究的品质。

活动效果:学生举出了许多反映不等关系的例子,不仅能从数字上,还能从实际生活中去体会不等关系。

第二环节:问题提出

师:如何用式子来表示不等关系呢?

师:展示投影片A

(1)某厂今年的产值是a元,预计明年年产值增长率高于20%,如果明年的产值是b元,那么b和a满足的关系式是 。

(2)如果某等腰三角形的底边用a cm表示,这边上的高为4 cm,如果这个三角形的面积不大于8 cm2,那么a应该满足的关系式为 。(注意:不大于的含义)

(3)铁路部门对旅客随身携带的行李有如下规定:每件行李的长、宽、高三边之和不得超过160cm。设行李的长、宽、高分别为 a cm、b cm、c cm, 请你列出行李的长、宽、高满足的关系式 。

活动目的:在总结前面学生举例的基础上,提出问题,引起学生进一步思考,初步尝试运用不等式表示不等关系。

活动效果:学生尝试运用不等式表示不等关系。

第三环节:活动探究

活动内容:

投影

B

某中学准备在学校饭厅新添一个通风口,四周用长为xm(x≤5)的装潢条镶

嵌(不计接缝),现有两种设计方案。如下图:

师:下面请大家讨论,按题意进行解答。(学生讨论、解答后,教师根据情况进行点评)

(1)问 题:

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(2)探 究:

投影C

通过测量一棵树围(树干的周长)可以计算出它的树龄。通常规定以树干离地面1.5米的地方作为测量部位,某树栽种时的树围为5㎝,以后树围每年增加约为3㎝,这棵树至少生长多少年其树围才能超过2.4m?(只列关系式)

师:请大家互相讨论后列出关系式

生:设这棵树至少生长x年其树围才能超过2.4m,得

3x+5>240

活动目的:通过运用不等式表示不等关系,加深对不等式的理解,会用不等式表示实际问题中的不等关系。

活动效果:初步掌握运用不等式表示不等关系。

第四环节:归纳定义

活动内容:

师:投影D

观察由上述问题得到的关系式,比如:≤1,>1.5,>,

3x+5>240, 它们的共同特点:都是用 连接的式子。

生:不等号

师:一般地,用符号“<”(或“≤”),“>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式。 (特别的,不等号还包含“≠”)

活动目的:通过学生自己总结出不等式的概念,培养学生总结归纳的能力。

活动效果:通过学生自己观察式子特点,理解不等式的定义。

第五环节:运用巩固

活动内容:练习设计

投影E

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1、用适当的符号表示下列关系:

(1)a 是非负数;

(2)直角三角形斜边 c 比它的两直角边 a、b 都长;

(3)x 与 17 的和比它的5倍小;

(4)两数的平方和不小于这两数积的2倍。

2、表达式①x≥0;②2a+4b≠3;③5m+2n;④x+y<0;⑤3x+2=9中的不等式有 (填序号)。

3、801班班长拿了56元钱去给班内20名优秀学生买奖品,奖品有两种:钢笔和笔记本。已知钢笔每支5元,笔记本每本3元,如果买x支钢笔,则列出关于x的不等式

是 。

4、某厂今年的产值为100万元,预计明后两年平均每年增长率为x%,如果按此速度发展,后年该厂产值将超过a万元,请用不等式表示a与x的关系式

活动目的:对本节知识进行巩固练习,及时反馈。

活动效果:学生会运用适当的不等号表示不等关系。

第六环节:课时小结

活动内容:师生相互交流,总结本节重难点。

投影E

本课我主要学会了 。

引导学生回答:能根据题意列出不等式,特别要注意“不大于”,“不小于”等词语的理解。通过不等关系的式子归纳出不等式的概念。

活动目的:归纳本课内容,培养学生的归纳意识及能力。

活动效果:学生能归纳自己的感受与收获。

第七环节:课后作业

习题2.1: 第1、2、3、4题 2

四、教学反思

不等式是现实世界中不等关系的一种数学表示形式,它是现阶段学生学习的重点内容,而且也是学生后续学习的重要基础。

本节课充分通过学生举例和老师的选例,让学生体会在现实生活中除了存在许多等量关系外,更多的是不等关系的存在,并通过感受生活中的大量不等关系,初步体会不等式是刻画量与量之间关系的重要数学模型。经历由具体实例建立不等式模型的过程,进一步发展学生的符号感与数学化的能力。

在教学中,要充分相信学生的潜力,让学生真正成为学习的主体,让学生的思维在数学课堂上尽情地驰骋,老师要做好课堂的引导者、参与者、合作者,与学生平等地进行交流与学习。

第二章 一元一次不等式与一元一次不等式组

2.不等式的基本性质

湖北省宜昌市第五中学 李绍山

一、学生知识状况分析

本章是在学生学习了一元一次方程、二元一次方程组和一次函数的基础上,开始研究简单的不等关系。学生已经掌握等式的基本性质,同时经历了解一元一次方程、二元一次方程组的研究

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过程及方法,为进一步学习不等式的基本性质奠定了基础。学习时可以类比七年级上册学习的等式的基本性质。

二、教学任务分析

不等式是现实世界中不等关系的一种数学表示形式,它不仅是现阶段学生学习的重点内容,而且也是学生后续学习的重要基础。经历通过类比、猜测、验证发现不等式基本性质的探索过程,初步体会不等式与等式的异同,掌握不等式的基本性质。

本节课教学目标:

(1)知识与技能目标:

①经历通过类比、猜测、验证发现不等式基本性质的探索过程,初步体会不等式与等式的异同。

②掌握不等式的基本性质,并能初步运用不等式的基本性质将比较简单的不等式转化为“x>a”或“x<a”的形式。

(2)过程与方法目标:

①能说出不等式为什么可以从一种形式变形为另一种形式,发展其代数变形能力,养成步步有据、准确表达的良好学习习惯。

②通过研究等式的基本性质过程类比研究不等式的基本性质过程,体会类比的数学方法。 ③进一步发展学生的符号表达能力,以及提出问题、分析问题、解决问题的能力。

(3)情感与态度目标:

①通过学生自我探索,发现不等式的基本性质,提高学生学习数学的兴趣和学好数学的自信心。

②尊重学生的个体差异,关注学生对问题的实质性认识与理解。

三、教学过程分析

本节课设计了五个教学环节:第一环节:情景引入,提出问题;第二环节:活动探究,验证明确结论;第三环节:例题讲解及运用巩固;第四环节:课堂小结;第五环节:布置作业。

第一环节:情景引入,提出问题

活动内容:利用班上同学站在不同的位置上比高矮。请最高的同学和最矮的同学“同时站在地面上”,“矮的同学站在桌子上”,“高的同学站到楼下一楼”三种不同的情况下比较高矮。问题1:怎样比才公平?

活动目的:让学生体会当两位同学同时增高相同的高度或同时减少相同的高度时,比较才是公平的,高的同学仍然高,矮的同学仍然矮,这是不可能改变的事实。

活动实际效果:学生对能自己参与的活动很感兴趣,体会到不相等的两个量的比较要在“公平”的情况下进行,即要加同时加,要减同时减。

第二环节:活动探究,验证明确结论

活动内容:

(1) 还记得等式的基本性质吗?请用字母表示它。不等式有类似的性质吗?先猜一猜。

(2) 用等号或不等号完成下面的填空。

如果2 < 3;那么

2 ×3 × 5; 2 ×3 × ;

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2 ×3 × (- 1);

2 ×3 × (- 5);

2 × (-3 × (-).

(3) 验证你的结论,用字母表示你所发现的结论。

(4) 与同伴交流你的结论,并展示。

生1:等式的基本性质1用字母可以表示为:?a?b,?a?c?b?c,

类似地得到,如果在不等式的两边都加上或都减去同一个整式,结果不等号方向不变。

字母表示为:∵a>b,∴a±c>b±c;或∵a>b,∴a±c<b±c。

生2:对于等式的基本性质2,用字母可以表示为: ?a?b,?a?c?b?c,a?c?b?c,其中c?0。经过前面的探索,可类似地得到:

如果不等式两边同时乘以(或除以)同一个正数,不等号方向不变;如果不等式两边同时乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向要发生改变。字母表示如下:

?a?b,c?0,?a?c?b?c,a?c?b?c

?a?b,c?0,?a?c?b?c,a?c?b?c

?a?b,c?0,?a?c?b?c,a?c?b?c

?a?b,c?0,?a?c?b?c,a?c?b?c

活动目的:通过等式的基本性质对比不等式的基本性质,由特殊的数值到字母代表数,从中归纳出一般性结论。进一步发展学生的符号表达能力,以及提出问题、分析问题、解决问题的能力。

活动实际效果:以问题的形式引导学生从对比中自己先猜想不等式的基本性质、再通过具体数值验算性质、最后自己总结归纳出性质并能用字母表示出来。因此在整个教学教程中,学生均处于主导地位,教师只是从旁引。这时,学生对于由自己推导出性质应该感到非常兴奋。

第三环节:例题讲解及运用巩固

活动内容:

1、在上一节课中,我们猜想,无论绳长l取何值,圆的面积总大于正方形的面积,即l2l2

?。你相信这个结论吗?你能利用不等式的基本性质解释这一结论吗? 4?16

2、将下列不等式化成“x?a”或“x?a”的形式:

(1)x?5??1 (2)?2x

练习设计:

1、将下列不等式化成“x?a”或“x?a”的形式:

(1)x?1?2 (2)?x??3 51 (3)x?3 62

2、已知x?y,下列不等式一定成立吗?

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(1)x?6?y?6 (2)3x?3y (3)?2x??2y (4)2x?1?2y?1

3、小明做这样一题:已知2x>3x,求x的范围。结果小明两边同时除以x,得到2>3。你知

道他错在哪?

活动目的:在讲解例题的过程中要求学生说出每一步变形的依据,加强学生对不等式的基本性质的理解。随堂练习学生独立完成,师生共同讲解,能说出一个不等式为什么可以从一种形式变形为另一种形式,养成步步有据、准确表达的良好学习习惯,并通过这种方式达到熟练掌握不等式的基本性质的目的。

活动实际效果:学生在讲解例题与练习的过程中,思维非常活跃,都非常踊跃的举手要求上黑板示范,并且每一步变形的依据都能够集体回答或个别举手回答正确,黑板上的演示过程也十分规范,达到预期教学目的。

第四环节:课堂小结

活动内容:学生自己总结今天这节课有什么收获,思考后对全班说出,与全班同学讨论交流。 活动目的:学生说出自己的收获与感想与全班交流,若有任何疑问可以当堂提出供大家讨论。教师要学会倾听并鼓励学生的回答,关注学生对问题的实质性认识与理解,尊重学生的个体差异,关注学生的学习情感和自信心的建立。

活动实际效果:学生自我总结本节课所学到的知识和重点注意的问题,畅所欲言自己的切身感受与实际收获,除了今天所学新的内容之外,还复习巩固了等式的基本性质,体会新旧知识的联系与区别。

第五环节:布置作业

习题2.2

四、教学反思

本节课通过复习等式的基本性质,类比得出不等式的基本性质雏形。教学中问题的设置通过与等式的基本性质相对比,引导学生自己先猜想不等式基本性质、再通过具体数值验算性质、最后自己总结归纳完善性质定理并能用字母表示出来。在接下来的讲解例题与练习的过程中,每一步变形的依据都能够集体回答或个别举手回答正确,黑板上的演示过程也十分规范。

在整个教学过程中,学生始终处于主导地位,不等式的基本性质主要由学生自己推导得出。

第二章 一元一次不等式与一元一次不等式组

3.不等式的解集

湖北省宜昌市第五中学 李绍山

一、学生知识状况分析

在前面,学生已经学过数轴和实数的相关知识,对数轴有一定的了解,掌握了数轴的画法,知道实数与数轴上的点一一对应,并且建立了一定的数形结合思想。一元一次方程的解具有唯一

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性,而不等式的解有无数个,这点对学生来说是全新的。在上节课,通过学习不等式的基本性质,学生可解一些简单的不等式,这为学习本节内容打下了基础。但对不等式解集的含义及表示方法,还需在教学中引导学生作进一步的学习探索。

二、教学任务分析

1、教材分析:

教材在此创设了丰富的实际问题情境,引出不等式的解的问题,进一步探索出不等式的解集,同时还要求在数轴上把不等式的解集表示出来,渗透了数形结合的数学思想,发展了学生符号表达的能力以及分析问题、解决问题的能力。教材中设置的“议一议”,意在引导学生回忆实数与数轴上的点的对应关系,认识数轴上的点是有序的,实数是可以比较大小的,体现了新教材循序渐进、螺旋上升的特点。

2、教学目标:

(1)知识与技能目标:

①能根据具体情境理解不等式的解与解集的意义。

②能在数轴上表示不等式的解集。

(2)过程与方法目标:

①培养学生从现实情况中探索、发现并提出简单的数学问题的能力。

②经历求不等式的解集的过程,通过尝试把不等式的解集在数轴上表示出来,引导学生体验用数轴表示不等式解集具有直观的优越性,增强学生数形结合的意识。

(3)情感态度与价值观目标:

通过从实际问题中抽象出数学模型、探索求不等式的解集的过程,让学生认识数学与人类生活的密切联系,体验数学活动充满了探究性和创造性。

3、教学重点:

(1)理解不等式的解与解集的概念。

(2)探索不等式的解集并能在数轴上表示出来。

4、教学难点:

不等式解集的数轴表示。

三、教学过程分析

本节课设计了七个环节,第一环节——复习旧知识;第二环节——情境引入;第三环节——课堂探究;第四环节——例题讲解;第五环节——随堂练习;第六环节——课堂小结;第七环节——布置作业。

第一环节:复习旧知识

活动内容:

师:我们已学习了不等式的基本性质,不等式的基本性质有哪些?它与等式的性质有何异同点?

生:答(略)。(多媒体呈现)

师:我们已学习了不等式的基本概念和性质。这节课我们来研究不等式的解的相关知识。 师:方程的解的定义是什么?

生:使得方程左右两边的值相等的未知数的值,叫做方程的解。

师:换句话说,方程的解是使得方程成立的未知数的值。

师:类似地,你认为什么是不等式的解?

生:能够使不等式成立的未知数的值就是不等式的解。

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师:确实,“能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解。”

活动目的:让学生回顾前一节及相关内容,为本节课教学做好知识准备,起到承上启下的作用。

活动效果:进一步复习巩固不等式的基本性质。

第二环节:创设情境,导入新课

活动内容:出示幻灯B

燃放某种礼花弹时,为了确保安全,人在点燃导火线后要在燃放前转移到10m以外的安全区域,已知导火线的燃烧速度为0.02 m/s,燃放者离开的速度为4 m/s,那么导火线的长度应为多少厘米?

引导分析:设导火线长度为x cm,燃放者转移到安全区域需要的时间最少为10(s),导火4

线燃烧的时间为x

0.02?100s ,要使燃放者转移到安全地带,必须有:10x> 0.02?1004。

解:设导火线的长度为x㎝,则:

10x> 0.02?1004

根据不等式的基本性质,可得

x>5

活动目的:实际生活情景引入,能激发学生的求知欲,具有实际生活意义。

活动效果:学生讨论激烈,学习热情高,较好的调动了学生的探索欲望,为后面的学习作好了铺垫。

第三环节:师生互动,课堂探究

(一)想一想:

师:出示幻灯片C

(1)x=-2、1、5、6、8是不等式x>5的解么?

(2)你还能说出几个不等式x>5的解吗?你认为不等式x>5的解有几个?它们有什么特点?

(3)不等式x2≤0的解有哪些?不等式x2≤-2呢?

生1:x=6、8是不等式x>5的解。x=-2、1、5不是不等式x>5的解。

生2:x=12、6.3、20是不等式x>5的解。不等式x>5的解有无数个。它们都比5大。 生3:不等式x2≤0的解是x=0;不等式x2≤-2无解。

(二)导入新知:

通过对以上问题情境的探究,引导学生认识到:不等式的解一般有无数个,但有时只有有限个,有时无解。在此基础上,给出不等式的解集和解不等式的定义:

一个含有未知数的不等式的所有解,组成这个不等式的解集,求不等式的解集的过程叫做解不等式。

(三)做一做:

师:出示幻灯片D

(1) 不等式 x + 1 > 5 的解集是;

(2) 不等式 x2 > 0 的解集是.

生3:x>4

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生4:x是所有非0实数。

(四)议一议:

分组讨论一:

既然不等式的解集在通常情形下有很多个符合条件的解,那么我们能否用一种直观的方法把不等式的解集表示出来呢?请同学们相互交流,发表自己的见解。

分组讨论二:

请同学们用自己的方式将不等式x>5的解集和不等式x-5≤-1的解集x≤4分别表示在数轴上,并与同伴进行交流。

在小组展示、交流质疑的基础上,引导学生掌握在数轴上表示不等式的解集的正确方法,并提醒学生注意:

1)指示线的方向,“>”向右,“<”向左.

2)有“=”用实心点,没有“=”用空心圈.

以上两个解集正确的表示方法为:

学习在数轴上表示不等式解集时,先鼓励学生用自己的方法表示,以发展他们的创新意识。

活动效果:本环节从生活实际情境引入,激发了学生的学习热情,通过解决设计的问题串,让学生获得了成功的感受。最后在数轴上表示不等式的解集,给了学生的创新空间。

第四环节:例题讲解

活动内容:出示幻灯片E

根据不等式的基本性质求不等式的解集,并把解集表示在数轴上。

(1)x-2≥-4 (2)2x≤8 -2x-2>-10

解:(1)x≥-2

(2)x≤4

(3)x<4

-3 -2 -1 0 1 0 1 2 3 4

活动目的活动效果

第五环节:随堂练习

活动内容:出示幻灯片F

1、判断正误:

(1)不等式x-1﹥0有无数个解

(2)不等式2x-3≤0的解集为x≥ 2 3

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2、将下列不等式的解集分别表示在数轴上:

(1)x>4 (2)x≤-1 (3)x≥-2 (4)x≤6

3、填空:

1)方程2x=4的解有( )个,不等式2x<4的解有( )个

2)不等式5x≥-10的解集是( )

3)不等式x≥-3的负整数解是( )

4)不等式x-1<2的正整数解是( )

活动目的:通过自主练习,巩固本节课所学知识。

活动效果:学生都能利用不等式的基本性质解简单的不等式,并能在数轴上表示不等式的解集。

第六环节:课时小结

活动内容:

师:本课你主要学会了 。

生:1、学会了什么是不等式的解,不等式的解集,解不等式的概念

2、会探索简单不等式的解集,并把解集表示在数轴上。

3、用数轴表示解集时的注意事项。

活动目的:回顾本节课所学内容,归纳本节课所学要点,巩固基本知识和基本技能,提高学生解决问题的能力。

活动效果:学生能用自己的语言较为准确地描述不等式解、解集、解不等式的概念,对在数轴上表示不等式解集的方法及注意事项都能准确表述。

第七环节:作业

习题2.3:第1、2、3、4题

四、教学反思

教师在教学过程中应充分领会教材,注重知识的衔接,在教学中充分体现数形结合思想的渗透,设置问题情境让他们有兴趣参与探究、学习,从而去思考。教学中重点放在不等式解集的探索过程。

在教学中要充分体现学生的积极参与和合作交流。通过教师的引入让学生体会采用类比方程的解得到不等式的解的定义,进一步通过问题情况的引入,积极参与交流探索,通过老师的引导,理解不等式的解和解集的意义。在学生自主练习、小组展示和交流质疑的过程中,能及时发现学生的不同见解及思维误区,并及时进行纠正指导。

在给予学生充分交流的同时,老师要积极参与,并不时纠正不正确的思维。在小组活动中,老师应给予学生充分的启发引导,对合作交流中出现的问题要及时更正,对困难学生要给予帮助,使小组合作学习更具有实效性。

第二章 一元一次不等式与一元一次不等式组

4.一元一次不等式(一)

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湖北省宜昌市第三中学 陈 志

一、学生知识状况分析

学生已经经历了不等式的基本性质、不等式的解集的学习,对不等关系已经有了初步的认识和体会。在本节的学习中可以类比一元一次方程的解法和对不等式的性质的利用加深对解不等式的理解。学生在学习中要能将本节内容与上节内容联系起来,强化数轴在解一元一次不等式中的作用,为后续学习解不等式组打下坚实的基础。

二、教学任务分析

本节课的教学内容是一元一次不等式的形成及其解集的表示,所以在教学中要注意让学生经历将所给的不等式转化为简单不等式的过程,并通过学生的讨论、交流使学生经历知识的形成和巩固过程。在解不等式的过程中,与上节课联系起来,重视将解集表示在数轴上,从而指导学生体会用数形结合的方法解决问题。

本课时的学习任务主要有两个:第一是让学生体会和经历一元一次不等式概念的形成过程;第二是让学生会解简单的一元一次不等式并能在数轴上表示其解集,最终实现提高学生分析问题、解决问题的能力的任务。

1.教学目标:

(一) 知识与技能:会解简单的一元一次不等式,并能在数轴上表示其解集。

(二) 过程与方法:让学生经历一元一次不等式的形成过程,通过类比理解一元一次

不等式的解法。

(三) 情感与态度:通过一元一次不等式的学习,提高学生的自主学习能力,激发学

生的探究兴趣。

2.教学重点:掌握简单的一元一次不等式的解法,并能将解集在数轴上表示出来。

3.教学难点:一元一次不等式的解法。

三、教学过程分析

本节课设计了六个教学环节:第一环节:复习提问,引入课题;第二环节:合作探究,解决问题;第三环节:例题解析;第四环节:练习提高;第五环节:课堂小结;第六环节:布置作业。

第一环节 创设情境,引入课题

活动内容1:复习提问:

(1) 不等式的三条基本性质是什么?

(2) 运用不等式基本性质把下列不等式化成x>a或x<a的形式。

①x-4<6 ②2x>x-5 ③1411x?4?6 ④?x??x 3535

(3) 什么叫一元一次方程?解一元一次方程的步骤是什么?

活动目的:通过问题,让学生回顾一元一次方程的概念和解一元一次方程的步骤,以及不等式的意义,不等式的基本性质和不等式的解集,为后面归纳一元一次不等式的概念及解法提供条件。同时让学生体会等式与不等式之间所蕴含的特殊与一般的关系。

活动的注意事项:学生分组讨论复习,派学生代表进行交流。在学生交流过程中,对回答完整的学生予以肯定,对学生出现的问题共同讨论反思。

活动内容2:

观察下列不等式:

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(1)6+3x>30 (2)x+17<5x (3)x>5 (4)

这些不等式有哪些共同点? x10 ?0.02?1004

活动目的:引导学生通过对上述不等式的观察、比较,发现其异同,结合一元一次方程的概念类比,学生不难得出一元一次不等式的概念。让学生意识到不等式也可以像方程那样去研究,培养其化归、转换的意识。

活动的注意事项:学生自行归纳总结,发言讨论,教师在总结学生发言的基础上板书一元一次不等式的定义:“左右两边都是整式,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是1的不等式,叫做一元一次不等式(linear inequality with unknown)”。并向学生强调一元一次不等式的主要特征。

活动内容3:巩固概念

想一想:在前面几节课中,你列出了哪些一元一次不等式?试举两例,并与同伴交流。 活动目的:让学生进一步理解一元一次不等式的概念,不仅会识别一元一次不等式,而且回味得到不等式的建模过程,体会一元一次不等式是最基本、最重要的不等式。

活动的注意事项:学生先独立思考,再进行交流。

第二环节 合作探究,解决问题

活动内容:

例1.解不等式3-x<2x+6,并把它的解集表示在数轴上。

提出问题:

1、 你能利用不等式的基本性质解决吗?试一试。

2、 在解不等式的过程中是否有与解一元一次方程类似的步骤?能否归纳解

一元一次不等式的基本步骤?

3、 在解一元一次不等式的步骤中,应注意什么?

活动目的:1.解一元一次不等式大致要分五个步骤进行:(1)去分母;(2)去括号;(3)移项;(4)合并同类项;(5)系数化1。在(1)和(5)中,如果乘数或除数是负数,要把不等号的方向改变。2.在数轴上表示不等式的解集时,要注意不等号以及端点的情况。 活动的注意事项:学生通过小组合作学习的方式探索用不等式的基本性质去求解并相互交流做法,通过观察、探讨、交流、归纳一元一次不等式的解法。

第三环节 例题解析

活动内容:

x-27-x

例2.解不等式2≥3,并把它的解集表示在数轴上。

解:去分母,得 3(x-2) ≥2(7-x)

去括号,得 3x-6≥14-2x

移项、合并同类项,得 5x≥20

两边都除以5,得 x≥4

这个不等式的解集在数轴上表示如下

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6

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活动目的:通过师生共同探讨,经历去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1(即化为“x>a”或“x<a”的形式)的过程。

活动的注意事项:老师分析解题过程,要求学生参与其中,共同探讨。

第四环节 练习提高

活动内容:随堂练习

1. 解下列不等式,并把它们的解集分别表示在数轴上;

x?1<3 2

x?14x?5 (3) x-4≥2(x+2) (4)< 23(1)5x<200 (2) ?

2.求不等式4(4x+1)≤24的正整数解。

活动目的:学生先独立对演算,再小组讨论,教师通过巡视及时发现问题解决问题,强化学生对一元一次不等式解法的过程与步骤的理解。

活动的注意事项:每小组派一个学生上台演算,其余学生自行独立计算,教师就演算进行讲评。

第五环节 课堂小结

(1) 通过本节课的学习,你学到了那些知识?(什么是一元一次不等式以及一元一次不等式

的解法。)

(2) 你学会了哪些数学方法?(类比的数学方法。)

(3) 你觉得在一元一次不等式的解题步骤中,应该注意些什么问题?(如果乘数或除数是负

数,不等号的方向要改变。)

活动目的:课后小结设计成问题的形式,是为了培养学生自主学习、自主思维的能力。通过师生共同总结,增强学生认识,加深学生印象,强化学生记忆。

活动的注意事项:给学生充分的时间相互交流,由学生用自己的语言进行表达,同时通过互相补充修正。

第六环节 布置作业

习题2.4

四、教学反思

本节课通过让学生回顾一元一次方程的同时为后面归纳一元一次不等式概念及解法做好准备。利用与等式(方程)对比进行教学,这样有利于学生认识不等式,体会知识之间的内在联系,加强学生对知识的整体认识,发展学生的辩证思维.

在一元一次不等式概念的教学中通过让学生回顾、观察、思考、归纳出一元一次不等式的概念, 发展学生分析问题,解决问题的能力,提高学生的学习能力.并让学生列举出前几节课中一元一次不等式,不仅让学生能准确识别一元一次不等式,而且让学生回味不等式的建模过程。

对于一元一次不等式解法的教学中采用小组合作学习的方法,首先鼓励学生运用不等式的性质和不等式的解集自主尝试求解,再小组交流解答过程,并进行适当的归纳总结。类比解方程的方法,并比较其异同。在教学过程中不能急于求成,不要包办代替学生的活动,给学生充分的时间思考、交流,适时给予恰当的引导。再通过范例与学生共同经历解一元一次不等式的过程。

第二章 一元一次不等式与一元一次不等式组

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4.一元一次不等式(二)

湖北省宜昌市第三中学 陈 志

一、学生知识状况分析

学生的知识技能基础:学生已经学习了一元一次不等式的概念和不等式的基本性质,知道解一元一次不等式的依据是不等式的三个基本性质,并且会解简单的一元一次不等式,而且能在数轴上表示其解集。

学生活动经验基础:在方程与方程组的知识学习过程中,学生已经经历了将生活中的数学现象抽象为数学问题或数学模型的形式,获得并积累了解决实际问题的数学经验的基础,同时在以前的学习中学生已经有了很多合作的过程,具备了一定的合作交流能力。

二、教学任务分析

本节课的教学任务是用不等式解决简单的实际问题,难度不大,可以采用通过教师出示问题,学生自主学习、互相交流、解决问题的方式处理,从而提高课堂教学效率。根据实际问题中的不等关系列不等式,对部分学生来说还会有一定的困难,可以采用学生尝试解决、师生交流、总结方法、巩固运用等环节予以解决。因此本课时的目标为:

(一)教学目标:

(1)知识与技能目标:

①进一步熟练掌握解一元一次不等式的解法;

②利用一元一次不等式解决简单的实际问题。

(2)过程与方法目标:

通过分析实际问题中的不等关系,建立不等式模型,通过对不等式的求解对实际问题的解决,训练学生的分析和建立数学模型的能力。

(3)情感与态度目标:

通过利用一元一次不等式解决实际问题,使学生认识数学与人类生活的密切联系,以激发学生学习数学的兴趣与信心。

(二)教学重点:一元一次不等式的应用。

(三)教学难点:将实际问题抽象成数学问题的思维过程。

三、教学过程分析

本节课设计了六个教学环节:第一环节:复习旧知,方法归纳;第二环节:合作探究,解决问题;第三环节:范例解析,方法归纳;第四环节:练习提高;第五环节:课堂小结;第六环节:布置作业。

第一环节 复习旧知,方法归纳

活动内容:

解下列不等式,并把它们的解集分别表示在数轴上。

(1)xxxx?2 ??1 (2)?3?2352

活动目的:通过对这两个一元一次不等式的求解,让学生回顾解一元一次不等 式的基本步骤以及在数轴上表示解集的方法。

活动效果:绝大多数学生都能独立地、正确地解决,但有一部分学生在用数轴 表示解集时还是把端点值的实心点画成空心圆圈,有的学生甚至把方向也画反了。老师在此应再次强调。

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教师引导学生归纳解一元一次不等式的一般步骤,让学生进一步明确解一元一次不等式的步骤与注意事项。

第二环节 合作探究,解决问题

活动内容:利用一元一次不等式解决简单的实际问题

某种商品进价为200元,标价300元出售,商场规定可以打折销售,但其利润不能少于5﹪.请你帮助售货员计算一下,此种商品可以按几折销售?

先独立思考,再小组交流解决方法。

活动目的:通过学生之间的合作、交流,让学生体会不等式在解决实际问题时的作用,并且发展了学生的合作、交流与数学语言的表达能力。

活动效果:学生发言踊跃,思维活跃,有算术计算的方法,有方程的方法,也有不等式的方法。

第三环节 例题解析,方法归纳

活动内容1:

[例3]一次环保知识竞赛共有25道题,规定答对一道题得4分,答错或不答一道题扣1分,在这次竞赛中,小明被评为优秀(85分或85分以上),小明至少答对了几道题?

解:设小明答对了x道题,则得4x分,另有(25-x)道要扣分,而小明评为优秀,即小明的得分应大于或等于85分,则

4x-(25-x) ≥85

解得: x≥22

所以,小明至少答对了22道题,他可能答对22,23,24或25道题。

活动目的:进一步让学生体会不等式在解决实际问题时的作用,并且要结合实际问题的意义作出最后的解答,同时也为学生的解题步骤起了一个示范的作用。

活动效果:有助于提高学生解题的规范性,同时为后面的方法归纳作了铺垫。

活动内容2:方法归纳

解一元一次不等式应用题的步骤:

(1)审题,找不等关系;

(2)设未知数;

(3)列不等关系;

(4)解不等式;

(5)根据实际情况,写出全部答案

活动目的:让学生通过讨论与交流,归纳出利用一元一次不等式解决实际问题的一般步骤,培养学生的数学建模的能力。

活动效果:通过类比列方程解应用题的步骤,学生基本上归纳得比较完整,只是最后求出了不等式的解集后,还要根据实际意义来得到最后答案,有些同学容易忽略。

第四环节 练习提高

活动内容:

1. 某种商品进价为400元,出售时标价500元,商场准备打折销售,但要保持利润不低于10﹪.则至多可打几折?

2.小明准备用26元钱买火腿肠和方便面,已知一根火腿肠2元钱,一盒方便面3元钱,他买了5盒方便面,他还可能买多少根火腿肠?

活动目的:通过学生独立对随堂练习的解答,及时发现问题、解决问题,让学生熟练解一

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元一次不等式,并能利用不等式解决一些实际问题。

活动效果:随机抽取学生上台演示,学生掌握情况良好。

第五环节 课堂小结

活动内容:通过本节课的学习,你学到了哪些知识?

(1)解一元一次不等式的一般步骤及注意事项;

(2)利用一元一次不等式可以解决一些实际问题。

活动目的:培养学生知识归纳与整理的习惯与能力,通过师生共同总结,增强学生认识,加深学生印象,强化学生记忆。

活动效果:学生各抒己见,畅所欲言,一般都能概括出上述两条来。

第六环节 布置作业

习题2.5

四、教学反思

1.调动学生自主学习,提高课堂教学效率

本节课通过复习解一元一次不等式引入新的问题,学生通过对新问题的讨论、交流与研究,明确了方法与注意事项,并为利用一元一次不等式解决实际问题作了铺垫。这样的程序符合学生的认知规律,教学取得了不错的效果。适时地由学生自己合作、交流,归纳出一般性的方法,提高了课堂教学效率,同时学生的自主学习能力得到培养,对于学生从整体上把握知识以及养成总结的习惯是大有帮助的。

2.分步实施,循序渐进,面向全体学生

本节课的重点是利用一元一次不等式解决实际问题,让学生体会数学与生活的紧密联系。教学内容对于学优生并不难,但对于中等生和学困生难度就较大。这节课运用分步实施的方法,每一步先让学生尝试解决,然后师生探究方法,再进行巩固练习,这样处理,对于中等生和学困生掌握不等式的运用是十分有利的,对于落实“面向全体学生”这一理念是十分必要的。

第二章 一元一次不等式与一元一次不等式组

5.一元一次不等式与一次函数(一)

湖北省宜昌市鸦鹊岭初级中学 李卫国

一、学生知识状况分析

学生的知识技能基础:学生已经学习了一次函数和一元一次不等式的有关知识,为本节探究一元一次不等式与一次函数的关系奠定了必要的知识基础。

学生活动经验基础:通过前面相关知识的学习,学生已经会利用一次函数和一元一次不等式解决一些简单的实际问题,感受到了用数学知识解决实际问题的必要性和作用;同时在以前的学习中,通过经历合作学习的过程,具有了一定的合作学习的经验,提升了合作与交流的能力。

二、教学任务分析

数学知识的学习是一个渐次梯进的过程,因而课堂教学既要关注整个数学教学的远期目标,

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也应与具体的课堂教学任务联系。本课是八下第一章第五节《一元一次不等式与一次函数》第一课时内容,从属于“数与代数”这一数学学习领域,因而务必服务于数与代数教学的远期目标,同时也应力图在学习中逐步达成学生的有关情感态度目标。教科书基于学生对一元一次不等式、一元一次方程和一次函数认识的基础上,提出了本课的具体学习任务,本节课的教学目标是:

1、理解一次函数图象与一元一次不等式的关系。

2、能够用图像法解一元一次不等式。

3、理解两种方法的关系,会选择适当的方法解一元一次不等式

三、教学过程分析

本节课设计了五个教学环节:第一环节:情境引入;第二环节:活动探究、合作学习;第三环节:运用巩固、练习提高;第四环节:课堂小结;第五环节:当堂作业。

第一环节:情境引入

活动内容:

上节课我们类比一元一次方程的解法,根据不等式的基本性质,学习了一元一次不等式的解法,本节课我们来学习一元一次不等式其它解法。

活动目的:以“旧”引“新”,由原有的知识为基础,利用初中生的好奇心理,激发学生探究新知的兴趣。

活动效果:学生在回忆中探索本课时的内容,从而降低了学生们“入室”的门槛。

第二环节:活动探究、合作学习

活动内容:

首先,我们来利用一次函数的图象求出相应的一元一次方程的解、一元一次不等式的解集。

1.导探激励

作出函数y=2x-5的图象,观察图象回答下列问题。

(1)x取哪些值时,2x-5=0? (3)x取哪些值时,2x-5>0?

(2)x取哪些值时,2x-5<0? (4)x取哪些值时,2x-5>

3?

学生活动:先独立思考5分钟,再小组交流2分钟,展示、评价和补充3分钟。

活动目的:通过作函数图象、观察函数图象,进一步理解一次函数的有关知识,让学生从整体上感受利用一次函数图像可以帮助解决一元一次方程、一元一次不等式的问题。

(1)当y=0时,2x-5=0。

∴x=55, ∴当x=时,2x-5=0。 22

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(2)要找2x-5>0的x的值,也就是函数值y大于0时所对应的x的值,从图象上可知,y>0时,图象在x轴上方,图象上任一点所对应的x值都满足条件,当y=0时,则有2x-5=0,解得555.当x>时,由y=2x-5可知 y>0。因此当x>时,2x-5>0; 222

5(3)同理可知,当x<时,有2x-5<0; 2x=

(4)要使2x-5>3,也就是y=2x-5中的y大于3,那么过纵坐标为3的点作一条直线平行于x轴,这条直线与y=2x-5相交于一点B(4,3),则当x>4时,有2x-5>3。

活动效果:通过小组交流学生可以发现,一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间有密切关系,当函数值等于0时即为方程,当函数值大于或小于某个实数时即为不等式。

2.想一想

活动内容:

如果y=-2x-5,那么当x取何值时,y>0?

学生活动:学生先独立思考3分钟,再小组内交流不同的方法2分钟,展示、评价和补充2分钟。

活动目的:通过具体问题让学生初步感受可以运用不等式帮助研究函数问题,体会一次函数与一元一次不等式相互渗透、相互作用,并尝试从不同角度思考解决问题的方法。 首先要画出函数y=-2x-5的图象,如图:

从图象上可知,图象在x轴上方时,图象上每一点所对应的y的值都大于0,而每一个的值所对应的x的值都在A点的左侧,即为小于-2.5的数,由-2x-5=0,得x=-2.5,所以当x取小于-2.5的值时,y>0。

也可:因为y=-2x-5,y>0也就是-2x-5>0,解不等式即得:x<-2.5

活动效果:通过完成这题进一步培养了学生的数形结合意识,掌握用图像法解一元一次不等式和构造不等式解决函数问题

3.达测深化

活动内容:先独立思考5分钟,再小组交流方法2分钟,最后全班展示4分钟。

兄弟俩赛跑,哥哥先让弟弟跑9 m,然后自己才开始跑,已知弟弟每秒跑3 m,哥哥每秒跑4 m,列出函数关系式,画出函数图象,观察图象回答下列问题:

(1)何时哥哥分追上弟弟?

(2)何时弟弟跑在哥哥前面?

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(3)何时哥哥跑在弟弟前面?

(4)谁先跑过20 m?谁先跑过100 m?

活动目的:感知不等式、函数、方程的不同作用与内在联系。

[解]设兄弟俩赛跑的时间为x秒.哥哥跑过的路程为y1,弟弟跑过的路程为y2,根据题意,得

y1=4x y2=3x+9

函数图象如图:

从图象上来看:

(1)9s时哥哥追上弟弟

(2)当0<x<9时,弟弟跑在哥哥前面;

(3)当x>9时,哥哥跑在弟弟前面;

(4)弟弟先跑过20m,哥哥先跑过100m;

从图象上直接可以观察出(1)、(2)小题,在回答第(3)题时,过y 轴上20这一点作x轴的平行线,它与y1=4x,y2=3x+9分别有两个交点,每一交点都对应一个x值,哪个x的值小,说明用的时间就短.同理可知谁先跑过100 m.

活动效果:绝大部分学生都能画出函数图象,并能借助函数图象完成上述问题。也可用列方程找到哥哥追上弟弟的时间,也可直接解不等式解决问题。

第三环节:运用巩固、练习提高

1. 已知y1=-x+3,y2=3x-4,当x取何值时,y1>y2?你是怎样做的?与同伴交流.

活动内容:学生独立解答4分钟,展示及评价2分钟。

活动目的:一方面对上环节中解决此类问题的方法进行巩固,另一方面,让学生在自主学习的过程中进一步体验一元一次不等式与一次函数的图象之间的结合是解决此类问题核心所在.

解:如图所示:

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当x取小于7的值时,有y1>y2. 4

活动效果:学生在解答上述问题时,表现出极大的兴趣, 90%的学生能够顺利完成.

第四环节:课时小结

活动内容:自由发言2分钟

通过本节课的学习,你有哪些收获?

活动目的:让学生通过自我反思性活动增强对相关知识和方法的理解水平。感受到数学的作用。

第五环节:布置作业

活动内容:学生独立完成8分钟

习题2.6 1、2

四、教学反思

1、 本节课的教学过程中应注意引导学生初步体会从整体中把握部分的思维方法,渗透函

数、方程、不等式思想和数形结合等重要的数学思想。

2、 教学过程中要为学生提供展示自己的平台,教师要善于发现学生分析问题解决问题的独

到见解和策略的多样性,以及思维的误区,及时给予激励性评价,以及组织小组合作学习,帮助学生形成积极主动的求知态度。

3、注意改进的方面:

在小组学习过程中,应给学生充分的独立思考的时间,交流时注意每个学生都要发言。教师参与小组讨论,适时指导,使小组合作学习更具实效性。

第二章 一元一次不等式与一元一次不等式组

5.一元一次不等式与一次函数(二)

湖北省宜昌市鸦鹊岭初级中学 李卫国

一、学生知识状况分析

学生的知识技能基础:学生在八年级上学期已经学习过一次函数,会求一次函数的表达式和画一次函数的图象,在本章上一节课中,又学习了一元一次不等式与一次函数的关系,结合一元一次不等式与一次函数的图象解决实际问题,具备了一定的数形结合意识。

学生活动经验基础:在相关知识的学习过程中,学生已经会利用一元一次不等式与一次函数

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的关系解决一些简单的实际问题,感受到了一元一次不等式与一次函数的关系解决问题的重要性和作用;同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程,具有了一定的小组合作学习的经验,具备了一定的合作与交流的能力。

二、教学任务分析

数学教学由一系列相互联系而又渐次梯进的课堂组成,因而具体的课堂教学也应满足于整个数学教学的远期目标,或者说,数学教学的远期目标,应该与具体的课堂教学任务产生实质性联系。本节课是八下第一章第五节《一元一次不等式与一次函数》第二课时的内容,从属于“数与代数”这一数学学习领域,因而务必服务于数与代数教学的远期目标,同时也应力图在学习中逐步达成学生的有关情感态度目标。教科书基于学生对一元一次不等式与一次函数的关系认识的基础之上,提出了本课的具体学习任务,本节课的教学目标是:

1、掌握一元一次不等式与一次函数的关系,会运用不等式解决函数有关问题。

2、通过具体问题初步体会一次函数的变化规律与一元一次不等式解集的联系。

3、感知不等式、函数、方程的不同作用与内在联系,并渗透“数形结合”思想。

三、教学过程分析

本节课设计了五个教学环节:第一环节:回顾思考;第二环节:合作探究;第三环节:巩固练习;第四环节:课堂小结;第五环节:当堂作业。

第一环节:回顾思考

活动内容:

上节课我们初步感知了一元一次不等式、一次函数和一元一次方程的关系,并用其解决了一些简单的实际问题,今天我们继续用它们的关系来解决较为复杂的实际问题。首先请同学们完成下列问题:

1、若y1=-2x-2,y2=3x+3,试确定当x取何值时,y1<y2 。你是怎样做的?

2、某商品原价60元,现优惠25%,则现价是 元

3、某商品原价200元,现打七五折,则现价是 元

学生活动:独立思考4分钟+展示2分钟

活动目的:让学生在回顾旧知的基础上接触新知,有利于学生的自然过渡,减小梯度。 活动效果:学生对旧知掌握好。

第二环节:合作探究

活动内容(一):

1.[例1]某单位计划在新年期间组织员工到某地旅游,参加旅游的人数估计为10~25人,甲、乙两家旅行社的服务质量相同,且报价都是每人200元.经过协商,甲旅行社表示可给予每位游客七五折优惠;乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游费用?其余游客八折优惠.该单位选择哪一家旅行社支付的旅游费用较少?

请大家先猜想一下,你选哪家旅行社?再通过计算验证

学生活动:先独立思考5分钟,再小组交流2分钟,展示、评价和补充4分钟。

根据学生交流,展示、评价及补充情况,教师适时点拔思路和给出规范解答过程

分析:首先我们要根据题意,分别表示出两家旅行社关于人数的费用,然后才能比较。而且比较情况只能有三种,即大于,等于或小于.

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解:设该单位参加这次旅游的人数是x人,选择甲旅行社时,所需费用为y1元,选择乙旅行社时,所需的费用为y2元,则

y1=200×0.75x=150x

y2=200×0.8(x-1)=160x-160

当y1=y2时,150x=160x-160,解得x=16;

当y1>y2时,150x>160x-160,解得x<16;

当y1<y2时,150x<160x-160,解得x>16.

因为参加旅游的人数为10~25人,所以当x=16时,甲乙两家旅行社的收费相同;当17≤x≤25时,选择甲旅行社费用较少,当10≤x≤15时,选择乙旅行社费用较少.

由此看来,选哪家旅行社不仅与旅行社的优惠政策有关,而且还和参加旅游的人数有关,那么在以后的旅行中,大家一定不要想当然,而是要精打细算才能做到合理开支,现在,你学会利用一元一次不等式与一次函数解决决策型应用题吗?

师生共同梳理利用一元一次不等式与一次函数解决决策型应用题的步骤

活动目的:此处主要是想让学生经历运用不等式解决实际问题的过程,关注学生在解决问题的过程中的方法,途径及规范格式,师生共同梳理利用一元一次不等式与一次函数解决决策型应用题的步骤,以起到示范作用。

活动效果:学生对与生活密切联系的问题比较感兴趣,兴趣是最好的老师,所以在小组交流的过程中,都积极的参与并能大胆提出自己见解,对同学的解题过程也给予了合理评价和中肯的建议。

活动内容(二):

2.下面,我们要到商店走一趟,看看商家又是如何吸引顾客的,借助刚才的经验,我们又应该想何对策呢?

[例2]某学校计划购买若干台电脑,现从两家商场了解到同一型号电脑每台报价均为6000元,并且多买都有一定的优惠。

甲商场的优惠条件是:第一台按原价收费,其余每台优惠25%。那么甲商场的收费y1(元)与所买的电脑台数x之间的关系是 。

乙商场的优惠条件是:每台优惠20%。那么乙商场的收费y2(元)与所买的电脑台数x之间的关系是 。

(1)什么情况下到甲商场购买更优惠?

(2)什么情况下到乙商场购买更优惠?

(3)什么情况下两家商场的收费相同?

学生活动:先独立思考4分钟,再小组交流2分钟,展示、评价和补充4分钟。

根据学生展示、评价及补充情况,教师适时点拔思路和给出规范解答过程

解:设要买x台电脑,购买甲商场的电脑所需费用y1元,购买乙商场的电脑所需费用为y2

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元.则有

y1=6000+(1-25%)(x-1)×6000=4500x+1500

y2=80%×6000x=4800x

(1)当y1<y2时,有4500x+1500<4800x

解得,x>5

即当所购买电脑超过5台时,到甲商场购买更优惠;

(2)当y1>y2时,有4500x+1500>4800x.

解得x<5.

即当所购买电脑少于5台时,到乙商场买更优惠;

(3)当y1=y2时,即4500x+1500=4800x

解得x=5.

即当所购买电脑为5台时,两家商场的收费相同.

活动目的:此处主要是强化作用,让学生经历运用不等式解决实际问题的过程,进一步体会不等式和函数是刻画现实世界的有效数学模型。

活动效果:学生表现得在运用不等式解答问题时,借助函数建立不等关系还是有困难,规范解题不够合理,仍需在作业过程中教师给予适当的指导。

第三环节:巩固练习

活动内容:

红枫湖门票是每位45元,20人以上(包含20人)的团体票七五折优惠,现在有18位游客买20人的团体票

(1)比买普通票总共便宜多少钱?

(2)不足20人时,多少人买20人的团体票才比普通票便宜?

学生活动:先独立思考4分钟,展示、评价和补充2分钟。

活动目的:给学生提供进一步巩固对建立方程模型的基本过程和方法的熟悉机会。 解:略.

活动效果:多数学生能达到要求

第四环节:课堂小结

活动内容:

本节课我们进一步巩固了不等式在现实生活中的应用,通过这节课的学习,我们学到了不少知识,真正体会到了学有所用.

活动目的:让学生进一步体会了应用不等式解决现实生活中的问题的作用。

第五环节:布置作业

习题2.7第1、2题.

四、教学反思

1、在一元一次方程的应用中,学生虽然已经接触过一些和例题相类似的应用问题,但在本节需要借助函数关系建立不等式,因此做一做和例题这类应用问题对学生来说可能会有一定难度,教学时要引导学生如何分析此类问题,教给学生方法,渗透数形结合的思想。

2、教学过程中要充分展示学生的思维,及时发现学生分析问题解决问题的独到见解,以及思维的误区,适时引导。通过小组合作学习与评价,帮助学生形成积极主动的求知态度。

3、这堂课让学生感受数学与实际结合的魅力,充分体现了数学是解决现实问题的工具作用,

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教师角色定位准确,在学生自己通过分析、实践、探究、总结等活动的基础上加以引导,培养了学生发现问题,提出问题和解决问题的能力。

第二章 一元一次不等式与一元一次不等式组

6.一元一次不等式组(一)

湖北省宜昌市第三中学 陈 志

一、学生知识状况分析

在本章前面几节课中,学生学习了一元一次不等式概念,掌握了解一元一次不等式的基本技能。在相关知识的学习过程中,学生会利用一元一次不等式解决一些简单的现实问题,感受到了不等式在生活中的广泛应用;同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程,具有了一定的合作学习的经验,具备了一定的合作与交流的能力;学生已初步掌握了类比思想、化归思想和数形结合思想,认识到类比、化归和借助数形结合的直观在思考、解决数学问题中的优越性,这对本课的学习是有益的,但还要注意加强学习的主动性和探究性。

二、教学任务分析

“一元一次不等式组”是从已有的知识构建回顾出发,遵从情景引入的理念,灵活地、创设性的处理教材的一节课。我们知道求未知数取值范围的问题是普遍存在的,在涉及两个以上数量间的大小关系时,不等式组是解决这些问题的有力工具,因此必须学会求解一元一次不等式组的解集,可见本课时在这一章中具有举足轻重的作用。

本课时教学为学生提供个性化的学习时间和空间,鼓励学生利用类比思想和数形结合思想自主探究,合作交流,大胆表述,满足学生多样化的学习要求。此外,二元一次方程组与一元一次不等式组,两者既有联系又有差异,因此,在教学中一要注重类比,做好从方程组到不等式组的迁移;二要重视化归、数形结合等数学思想方法的渗透。

教科书基于学生对不等式以及对方程组的概念已基本掌握的基础之上,提出了本课的具体学习任务和本节课的教学目标是:

1.理解一元一次不等式组及其解的意义,加强运算的熟练性和准确性,培养思维的全面性;

2.初步感知利用一元一次不等式解集的数轴表示求不等式组的解和解集的方法。

3.能运用不等式组解决简单的实际问题,培养学生独立思考的习惯和合作交流意识;

4.初步认识数学与人类生活的密切联系及其对人类历史发展的作用。

三、教学过程分析

本节课设计了五个教学环节:第一环节:情境引入;第二环节:活动探究、合作学习;第三环节:运用巩固、练习提高;第四环节:课堂小结;第五环节:布置作业。

第一环节:情境引入

活动内容:

解下列不等式,并把解集在数轴上表示出来:

1. 2x-1>x+1

2. x+8<4x-1

3. 2x+3≥x+11

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4.2x?5-1<2-x 3

活动目的:

复习一元一次不等式的解法。此外,这四个练习其实就是例题1的两个不等式组中的四个不等式,所得的结果可在例题1中直接引用,前后互为呼应,既复习了旧知识又为新课作了铺垫。这几个练习由浅入深,也可充分调动各层次学生的学习积极性。

活动效果:

在引导学生解一元一次不等式的同时,教师将学生所完成的情况利用展台的作用,对学生的完成情况及时的展示并加以肯定,以达到增强学生自信,并为后面的学习打下坚实的基础。同时教师利用课件及时展示正确的解答过程,以达到及时纠正部分学生的错误。

第二环节:活动探究、合作学习

活动内容:

对比方程组的概念,你能将上述你解的不等式进行组合吗?你能将它们的的解集表示在同一条数轴上吗?你能给你所组成的形如“方程组”的式子取个名字吗?试试看。

此时学生可以进行独立思考,小组讨论,交流,最后进行归纳总结。

交流一:解不等式组:

?2x-1?x?1 ① ?x?8?4x-1 ②?

你能求出这个一元一次不等式组的解集吗?如果把每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来,你可以看出它们的公共部分了吗?你能写出这个一元一次不等式组的解集了吗?

交流二:解不等式组:

2x+3≥x+11 ①

2x?5-1<2-x ② 3

你能求出这个一元一次不等式组的解集吗?如果把每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来,你可以看出它们的公共部分了吗?你能写出这个一元一次不等式组的解集了吗?

活动目的:

通过学生之间的交流,讨论,一个是加强学生之间的合作交流学习的目的,另一个是想通过学生自己的归纳总结,引导学生对两个一元一次不等式解集在同一条数轴上进行观察、发现,从而探究出出这个一元一次不等式组的解集,利用数形结合思想突破本节课的难点。

活动效果:

通过学生之间的讨论和交流,让学生自己总结出结论,可以达到学生对新知识一个更加深刻的印象。同时,教师根据学生总结出来的结论,及时用课件或在黑板上板书出正确的结论,以达到学生自己纠正错误的效果。

(板书或展示内容)

(1)一元一次不等式组的概念:一般地,关于同一未知数的几个一元一次

不等式合在一起,就组成一个一元一次不等式组。

(2)一元一次不等式组的解集的概念:一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分,叫做这个一元一次不等式组的解集。

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(3)解不等式组:求不等式组解集的过程,叫做解不等式组。

第三环节:运用巩固、练习提高

活动内容:

1.某校今年冬季烧煤取暖时间为4个月,如果每月比计划多烧5吨煤,那么取暖用煤总量将超过100吨;如果每月比计划少烧5吨煤,那么取暖用煤总量不足68吨。该校计划每月烧煤多少吨?

问题:你能列出一个不等式组吗?你能尝试找出符合上面一元一次不等式组的未知数的值吗?

2.解不等式组:

3.书上随堂练习部

活动目的:

通过学生自己的动手操作,一方面使学生能够体会数学的学习是运用于生活的,另一发面,通过学生解不等式组,可以达到巩固新知识的目的.

活动效果:

考察学生对一元一次不等式组解法的理解和应用,加深对数形结合思想的理解,使学生更好地进行知识的迁移。此外,教师通过对学生练习的检查,及时发现问题并纠正。

第四环节:课堂小结

活动内容:

学生小结本节内容。

活动目的:

及时反思,便于学生将数学知识体系化,同时从能力、情感态度、数学思想等方面关注学生对课堂的整体感受。

活动效果:

学生的学习自主性和学习积极性有所提高。

第五环节:布置作业

活动内容:

课本习题2.8。

活动目的:

加强学生对新知识的巩固。

活动效果:

作业不在于多,而在于精,以切实减轻学生的课业负担,这四个小题已经涵盖了一元一次不等式组解集的四种情况。

分。

四、教学反思

本课一开始即通过解答四个不等式来复习不等式的解法,虽然看似在复习阶段用了较多时间,但却是“磨刀不误砍柴工”。因为这四个练习其实就是例题1的两个不等式组中的四个不等式,所得的结果可在例题1中直接引用,前后互为呼应,既复习了前面的知识,所得的结果又可为后面的新课直接利用,为新课作了铺垫。同时,这几个练习由浅入深,也可充分调动各层次学生的学习积极性。此外,通过这个练习及后面的例题1的关系可引导学生得出解答一元一次不等式组的基本方法是先解这个一元一次不等式组中的每一个不等式,再求出各个不等式解集的公共部分即得一元一次不等式组的解集,突出了本课的重点。可以说这一组练习达到了“四赢”的结果,这是本课的第一个亮点。

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充分利用数形结合来求各个不等式解集的公共部分即求一元一次不等式组的解集,从而突破了本课的难点,这是本课的第二个亮点,也是本课最突出的亮点。

经过精心挑选的课后作业,涵盖了一元一次不等式组解集的四种情况,体现了“作业不在于多,而在于精,切实减轻学生的课业负担”这一理念,这是本课的又一亮点。

本课要注意的地方是根据课堂的实际情况,如果同学们掌握得较快,时间允许,在做练习时可通过评讲随堂练习第二题,把一元一次不等式组解集的四种情况全部讲清,利于中等生和学困生完成课后作业,提高他们学习数学的兴趣。

第二章 一元一次不等式与一元一次不等式组

6.一元一次不等式组(二)

湖北省宜昌市第三中学 陈 志

一、学生知识状况分析

学生在前一节课中初步理解了不等式组的概念,对不等式组的解法已经有一定的掌握,对其特点有所了解;在学习过程中,学生经历了合作学习的过程,具有了新旧知识类比学习的经验,为本节课的学习奠定了感性认识与理性认识的基础。

二、教学任务分析

引导学生紧密联系不等式研究不等式组,让学生理解组成不等式组的每个不等式的地位相同,缺一不可;引导学生充分应用“数形结合”的思想解决不等式组的问题;课堂上让学生独立思考,通过观察,探讨,引导学生去发现与归纳不等式解集的特点。

教科书基于学生对一元一次不等式组的概念已基本掌握的基础之上,提出了本课的学习任务和本节课的教学目标是:

(一)知识认知要求

1.会解由两个或两个以上一元一次不等式组成的不等式组并能用数轴求得解集;

2.总结解一元一次不等式组的步骤及情形。

(二)能力训练要求

通过总结解一元一次不等式组的步骤,培养学生的类比推理能力和不完全归纳能力。

(三)情感与价值观要求

1.培养学生独立思考的习惯,加强运算的熟练性与准确性.

2.培养学生的合作交流意识与创新意识,为学生在今后生活和学习中更好运用数学作准备。

三、教学过程分析

本节课由四个教学环节组成,它们是:(1)创设情境,导入新课;(2) 合作交流,探究新知;(3)巩固练习,同化知识;(4) 师生交流,归纳小结;(5)作业布置.其具体内容与分析如下:

第一环节、创设情境,导入新课

活动内容:

问题:现有两根木条a和b,a长7cm,b长3cm,如果要再找一根木条x,用这三根木条钉成一个三角形木框,请动手试一试:

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1.当x是14cm时,能与a和b钉成三角形木框吗?

2.当x是9cm时,能与a和b钉成三角形木框吗?

3.当x是4cm时,能与a和b钉成三角形木框吗?

4.在什么条件下,长度为3cm,7cm,xcm的三条线段可以围成三角形?

活动目的:

引导学生进行试验、观察、发现,激发学生的好奇心和求知欲,让学生亲自动手,亲身体验,加深学生理解x并不是可以取任意值,要钉成三角形,x的取值有一定的范围,让学生深深感受到数学是与生活实际密不可分的。

活动效果:

学生根据“三角形中两边之和大于第三边,两边之差小于第三边”,列出木条的长度x必须满足的两个不等式,教师强调x要同时满足这两个不等式,由此复习一元一次不等式组及一元一次不等式组的解的概念。此环节学生亲自动手,主动发现,充分体现了“教师是学生数学学习活动的组织者、引导者与合作者”而学生则是“学习活动的主人”这一课程理念。

第二环节、合作交流,探究新知

活动内容:

解下列不等式组:

?5x?2?3(x?1)?x?1(1)(1)?1?x?3?5(1)?? 1.? 2.?1 3. ? 4. ?2 3(2)(2)(2)(2)x?2?4x?1?7?x??x?5?4x?1??2?7x?8?9x?2?3x?2?x?1(1)

请大家认真观察一下这四组解,你发现了什么?

活动目的:

1.认真讨论解的情况;

2.从每个不等式的解集,到这个不等式组的解集,认真观察,互相交流,找出规律。 活动效果:

通过学生之间的交流和讨论,对照各组解的情况如下: ?x???⑴由??x???35?x??x?2?x?14?2得x≥4;⑶由得,无解;⑷ 由得-4<x<1; 得x? ⑵由?2??43?x?6?x??4??x?43

此时,教师让学生说说自己组的讨论结果,并代表本组作总结性的发言.最后教师引导学生得出以下结论:

由(2)得,两个不等式的解集中不等号的方向都是大于号,在数字

等号取大于等于号;

由(1)得,两个不等式的解集中不等号的方向都是小于号,在不等式组的解集中不等号的方向取小于,而数字取比较小的数字5和4中取大数4,不24; 3

由(4)得,两个不等式的解集中不等号的方向有大于也有小于,数字-4<1,并且是x>-4,x<1,最后的结果中是x取大于小数而小于大数,即-4<x<1.

由(3)得,两个不等式的解集中不等号的方向有大于也有小于,并且是x>6,x<2,因为6>2,即x应取大于6而小于2的数,而这样的数根本不存在,所以原不等式组的解集为无解.

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最后,教师利用课件将此结论理论化,并用课件展示出来:

两个一元一次不等式所组成的不等式组的解集有以下四种情形.

设a<b,那么

(1)不等式组??x?a的解集是x>b; x?b?

?x?a(2)不等式组?的解集是x<a; x?b?

(3)不等式组??x?a的解集是a<x<b; x?b?

?x?a(4)不等式组?的解集是无解。 x?b?

这是用式子表示,也可以用语言简单表述为:

同大取大;同小取小;大小小大取中间;大大小小题无解。

第三环节、巩固练习,同化知识:

活动内容:

1.解下列不等式组

?1?2(x?1)?x?3?5??2(1)? (2) ?3x?1?8xx?2?????35

2.补充练习:解下列不等式组 ?x

?1?x?3(x?2)?4??(x?4)?1 (1)?1?2x ( 2)?2??x?1??x?2?x?3?3??23

活动目的:

让学生利用本节课的结论,将不等式组的解集直接表示出来。

活动效果:

大部分学生能掌握解不等式组的方法,少数学生对总结的结论运用上有难度。教师鼓励学生充分利用数轴解不等式组,逐步提高归纳总结的能力。

第四环节、师生交流,归纳小结

活动内容:

1.这节课你有什么收获?

2.你能用自己的语言概括吗?

3.这节课用到了我们数学中的什么数学思想?

活动目的:

提高学生表达能力,培养学生课后归纳反思的良好学习习惯。

活动效果:

培养了学生的归纳总结的能力。

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第五环节、作业布置

活动内容:

习题2.9的1,2,3

活动目的:

加强学生对新知识的巩固。

活动效果:

通过作业让学生进一步了解知识的来龙去脉,巩固本节课所学知识。

四、教学反思

本节课重在培养学生独立思考的习惯及合作交流的意识。在每一个教学环节中都有独立思考、小组讨论、小组交流及归纳总结,从而发展了学生的感性认识与理性认识,为学生后续的学习奠定了良好基础。

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