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16.22二次根式的乘除(第2课时)

发布时间:2014-03-11 18:57:21  

复习提问

1.什么叫二次根式?

式子 a (a ? 0)叫做二次根式。
2.两个基本性质:

? a ?=a
2

a

2

(a≥ 0) a (a≥ 0) = ∣ a∣ = -a (a<0)

复习提问

3.二次根式的乘法:

a ? b ? ab (a≥0,b≥0)
算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根

ab ? a ? b (a ? 0, b ? 0)
积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根.
思考:二次根式的除法有没有类似的法则呢? 请试着自己举出一些例子.

计算下列各式,观察计算结果,你发现什么规律?

4 ? ?1?. ? ? 9 ? 16 ? ?2?. ?? 49 ?

2 ? ?, 3 ?

4 ? ?, 7 ?
a b

4 ? ?? 9 ? 16 ? ?? 49 ?

2 ? ? 3 ?

4 ? 9

4 9

4 ? ? 7 ?

16 16 ? 49 49

2 2 (3) = 3 3 a ? 规律: b

2= 2 5 5

?a ? 0, b ? 0?

两个二次根式相除,等于把被开方数相除, 作为商的被开方数

a ? b

a b

?a ? 0, b ? 0?
3 1 ? 2 18

两个二次根式相除,等于把被开方数相除, 作为商的被开方数 例4:计算

?1?

解:

24 3

?2?

?1?

24 ? 3

24 ? 8? 3

4? 2 ? 2 2
? 3? 9

?2?

3 1 3 1 3 ? ? ? ? ? 18 2 18 2 18 2

?3 3

试一试

32 (1) 2 计算:
1 7 ?3? 4 ? 5 10
解: ?1? 32 ? 32 ? 16 ? 4

50 (2) 10
1 1 (4)2 1 ? 5 2 6

50 50 ? 2? ? ? 5 2 2 10 10 1 7 21 10 (3)原式= 4 5 ? 10= ? = 6 如果根号前 有系数,就 5 7
2 1 1 2 3 6 ( 4)原式= 1 ? = ?6 = 5 2 6 5 2 5

把系数相除, 仍旧作为二 次根号前的 系数。

a ? b

a b

?a ? 0, b ? 0?
( 2) 1

两个二次根式相除,等于把被开方数相除, 商的算术平方根等于被除式的算术平方根 除以除式的算术平方根。 作为商的被开方数 25 x 例5:化简 3 3 ?3?

(1)

100

16

9y

2

解:

3 3 3 ?1? ? ? 100 100 10 19 3 19 19 (2) 1 = = = 16 16 4 16

?3?

25 x 25 x 5 x ? ? 9y 9y 3y
2 2

注意: 如果被开方数是 带分数,应先化 成假分数。

练习一:
7 (1) 2 9

81 (2) x ? 0? 2 ? 25 x
0.09 ×169 ( 4) 0.64 ×196

16b 2 c (3) ? a ? 0, b ? 0 ? 2 a

2 2 81 81 9 c 7 25 25 5 16 b c 16 b c 4 b 4× b 13 0 . 09 × 169 0 . 09 × 169 0 . 3 39 解:( 3 ( 1) 22 = = = ( 2 ) = = ) = = = c 2 ( 4) = = 9 9= a 3 2 92 5 x 25 x a a a 25 0.64 ×196 0.8 ×14 112 0.x 64 ×196

a a a a 把分母中的根号化去 , 使分母变成有理数 ,这个过 ? ? ? a ? 0, b ? 0? b 程叫做分母有理化。 b b b
例6:计算 解:

?1?

3 5

3 2 ?2? 27

?3?

8 2a

?1? 解法1..

3 3 15 15 15 3? 5 ? ? ? ? ? 5 25 5 5? 5 5 25

3 3? 5 15 解法2.. ? ? 5 5? 5 5
3 2 3 2 ?2? ? ? 27 3 3 2? 3 6 ? 3 3? 3

在二次根式的运算中, 最后结果一般要求
(1)分母中不含有二次根式.

?3?

8 ? 2a

8 ? 2a 4 a 2 a ? ? 2a a 2a ? 2a

(2) 最后结果中的二次根式 要求写

成最简的二次根式 的形式.

1.被开方数不含分母 2.被开方数不含能开得尽 方的因数或因式

练习:把下列各式化简(分母有理化):
-4 2 (1) 3 7
(2) 2a a+ b

(3) 3 40

2

-4 2 ? 7 -4 2 -4 14 = (1) 解: = ; 3 7? 7 21 3 7

2a a+b (2) = = a + b ? a+ b a+ b a+b
2 a a+ b

2a

2 ? 10 5 20 2 5 (3) = = = = = 3 ? 2 10 6 10 ? 10 60 30 3 40 60

2

2

注意:要进行根式化简,关键是要搞清楚分 式的分子和分母都乘什么,有时还要先对分 母进行化简。

练习二:
1.在横线上填写适当的数或式子使等式成立。 ( 2 )= 4 (1) 8 ?

(2) 2 5? ( 5 )= 10

3 2 (3) a-1 ? ( a-1)= a-1 (4) = 6
2.把下列各式的分母有理化:

?

3

?

-8 3 (1) 8
3.化简:

3 2 (2) 27

(3)

5a 10a

(4)

2y 2 4 xy

(1)- 19 ÷ 95

1 3 (2) 9 ÷ (- 48 2

1 2 ) 4

-3 m>5 __ 。 成立的条件是 __________ -5 1、解:要使等式成立,m必须满足
? m-3 ? 0 ?m?5 ? ? m-5>0

m-3 . 14 、等式 = 成立的条件 m-5 m-5

m-3

思考题:

1 2、已知实数 a、b满足 4a-b+11+ b-4a-3=0, 3

a b 1 求 2a ? ( ÷ )的值。 b a b

2、解:要使原式有意义,必须 1 ?4a ? b ? 11 ? 0 ? ? ?a ? , 解得 ? 4 ?1 b ? 4a ? 3 ? 0 ? ? ?b=12 ?3

1 ? ?a ? 因为 ? 4 ?b ? 12

课堂小结:
1. 利用商的算术平方根的性质化简二次根式。 2. 二次根式的除法有两种常用方法: (1)利用公式: a
b = a ( a ≥0,b > 0) b

(2)把除法先写成分式的形式,再进行分母有理 化运算。 3. 在进行分母有理化之前,可以先观察把能化简的 二次根式先化简,再考虑如何化去分母中的根号。


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