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《 轴对称图形与等腰三角形》专题练习5

发布时间:2014-03-11 18:57:24  

安徽滁州市第五中学胡大柱 打造中国一流的学习资料

《轴对称图形与等腰三角形》专题练习5

1.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,AD=AC,BE=BC,D、E两点在AB边上,求∠DCE的度数。

2.过等腰三角形的一个顶点的直线,把等腰三角形分成的两个小三角形,如果这两个小三角形也是等腰三角

形,试求这个等腰三角形的各角的度数(分4种情况计算)。

3.在△ABC中,AB=AC,在AB上取一点D,在AC延长线上取一点E,使BD=CE,DE交BC于F。求证DF=EF。

4.如图,△ABC、△DEC均为等边三角形,点M为线段AD的中点,点N为线段BE的中点,求证:△CNM为等边三 角形。

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5.已知:三角形ABC中,∠A=90°,AB=AC,D为BC的中点,

(1)如图,E,F分别是AB,AC上的点,且BE=AF,求证:△DEF为等腰直角三角形。

(2)若E,F分别为AB,CA延长线上的点,仍有BE=AF,其他条件不变,那么,△DEF是否仍为等腰直角三角

形?证明你的结论。

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《第轴对称图形与等腰三角形》专题练习5

1.解:∵AD=AC,

∴∠ACD=∠4。

又∠ACD=∠2+∠3,∠4=∠1+∠B,

∴∠3+∠2=∠1+∠B,①

∵BE=BC,

∴∠5=∠ECB。

∵∠5=∠3+∠A,∠ECB=∠1+∠2,

∴∠1+∠2=∠3+∠A,②

∴①+②,得2∠2=∠A+∠B。

∵∠ACB=90°,

∴∠A+∠B=90°,

∴2∠2=90°。

∴∠2=45°,

即∠DCE=45°。

2.解:一共有4种可能如下:

图1 图2 图3 图4

(1)AB=AC, AD=BD=CD;

则∠BAD=∠B=∠C=∠CAD,

利用三角形内角和定理,可知∠B+∠BAD+∠CAD+∠C=180°,

解得∠B=∠BAD=∠CAD=∠C=45°,∠BAC=90°;

(2)AB=AC=BD,AD=DC;

则∠B=∠C,∠DAC=∠C,∠BAD=∠BDA,所以∠BDA=2∠C,

根据∠B+∠C+∠BAC=180°,可得2∠B+3∠B=180°,

解得∠B=36°,则有∠C=36°,∠BAC=108°;

(3)AB=AC,AD=BD=

BC;

则∠ABC=∠

C

ABD

=∠A,∠BDC=∠C,

利用外角性质有∠BDC=2∠A,再利用三角形内角和定理可得5∠A=180°, 解得∠A=36°,则∠ABC=∠C=72°;

(4)AB=AC,AD=BD,CD=BC。

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3.证明:作DG∥AC,交BC于G,则∠DGB=∠ACB,从而∠DGF=∠ECF(等角的补角相等)。

∵AB=AC,∴∠B=∠ACB。

∴∠DGB=∠B,DG=BD=CE

在△DFG与△EFC中,∠DGF=∠ECF,∠DFG=∠EFC(对顶角相等)

又∵DG=CE,∴△DFG≌△EFC(AAS)

∴DF=EF。

4.先证△ACD≌△BCE 得AD=BE ,∠DAC=∠EBC , 再证△ACM≌△BCN 得CM=CN ,并证 ∠MCN=60°。

5.证明:①连结AD。

∵AB=AC ,∠BAC=90°,D为BC的中点,

∴AD⊥BC, BD=AD,

∴∠B=∠DAC=45°。

又BE=AF,

∴△BDE≌△ADF(SAS)

∴ED=FD ,∠BDE=∠ADF。

∴∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EDA+∠BDE=∠BDA=90°。

∴△DEF为等腰直角三角形 。

②若E,F分别是AB,CA延长线上的点,如图所示。

连结AD。

∵AB=AC,∠BAC=90°, D为BC的中点 ,

∴AD=BD, AD⊥BC ,

∴∠DAC=∠ABD=45°

∴∠DAF=∠DBE=135°

又AF=BE,

∴△DAF≌△DBE (SAS)。

∴FD=ED , ∠FDA=∠EDB,

∴∠EDF=∠EDB+∠FDB=∠FDA+∠FDB=∠ADB=90°。

∴△DEF仍为等腰直角三角形 。

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