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2.4 一元二次方程根与系数的关系

发布时间:2014-03-12 15:47:21  

2.4一元二次方程根与系数的关系

1.一元二次方程的一般形式是什么?

ax ? bx ? c ? 0(a ? 0)
2
2

2.一元二次方程的求根公式是什么?

3.一元二次方程的解的情况怎样确定?
? ? b 2 ? 4ac

? b ? b ? 4ac 2 x? (b ? 4ac ? 0) 2a

? ? 0 ? 两个不相等的实数根 ? ? 0 ? 两个相等的实数根 ? ? 0 ? 没有实数根

解下列一元二次方程
(1)x2-12x+11=0 ; 解: (x-11)(x-1)=0 x1=11 , x2=1

找到 规律 了吗?

(2)x2-9=0 (3)4x2+20x+25=0 解:(x+3)(x-3)=0 解:(2x+5)2=0 x1=3, x2=-3 x1=x2=-2.5

求出两根之和与两根之积? x1+x2=12 x1 · x2=11 x1+x2=0 x1 ·x2=-9 x1+x2=-5 x1 ·x2=25/4

请你猜想出x1 + x2 , x1 · x2与 一元二次方 程 的系数 有什么关系吗?

猜想:

如果一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0)
2

的两个根分别是
b x1 ? x2 ? ? a

x1

、x2

,那么:

c x1 ? x2 ? a

证明你们的猜想 已知:如果一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) x2 x1 的两个根分别是 、 。 b c x1 ? x2 ? 求证: x1 ? x2 ? ? a a
2

证明: x1 ? x2
?

?

?b?

b 2 ? 4ac ? b ? b 2 ? 4ac ? 2a 2a

? 2b b ?? 2a a
?b? b 2 ? 4ac ?b? )?( 2a b 2 ? 4ac ) 2a

x1 ? x2 ? ( ?

?? b ?2

?

?

b 2 ? 4ac 4a 2

?

2

?

c a

一元二次方程根与系数的关系
(韦达定理)
若方程ax 2 ? bx ? c ? 0(a ? 0)的两根为x1 , x2 , b c 则x1 ? x2 ? ? , x1 ? x2 ? a a

推 论 1

特别地:
2

若方程x ? px ? q ? 0的两根为x1 , x2, 则:x1 ? x2 ? ? p, x1 ? x2 ? q

一元二次方程根与系数的关系
(韦达定理)
若方程ax ? bx ? c ? 0( a ? 0)的两根为x1 , x2 ,
2

b c 则x1 ? x2 ? ? , x1 ? x2 ? a a

推 论 2

以两个数x1 , x2为根的一元二次 方程(二次项系数为1)是 x ? (x1 ? x2)x ? x1 ? x2 ? 0
2

韦达(1540——1603)是法国数学家,最早发现

代数方程的根与系数之间有这种关系,因此,人们把这个 关系称为韦达定理。韦达最重要的贡献是对代数的推进, 他最早系统地引入代数符号,推进了方程论的发展。韦达 用“分析”这个词来概括当时代数的内容和方法。他创设了 大量的代数符号,用字母代替未知数,系统阐述并改良了 三、四次方程的解法,著有《分析方法入门》、《论方程 的识别与订正》等多部著作。

例1设x1,x2是一元二次方程5x2-7x-3=0的两个根,

1 1 求 ?1?x ? x , ?2? ? x1 x2 7 3 解: x ? x ? , x ? x ? ? 1 2 1 2 5 5
2 1 2 2

7 2 3 ? 79 ? x ? x ? x1 ? x2 ? 2 x1 x2? ( ) ? 2 ? ( ? ) 5 5 25 1 1 x1 ? x2 7 ? 3? 7 ? ? ? ??? ? ?? x1 x2 x1 x2 5 ? 5? 3
2 1 2 2

?

?

2

2 ?1 )( x ) 的值吗? X1 -X ) 你能求出 ( x1( ? 1 2 2

例2 已知一个一元二次方程的二次项系数是3,

1 它的两个根分别是 ,1,请写出这个方程. 3

解:设这个方程为 3 x

2

? bx ? c ? 0
? b ? ?4 ?c ? 1

b ?? ? 3 c ? 3

1 4 ?1 ? 3 3 1 1 ?1 ? 3 3
2

∴这个方程为

3x ? 4 x ? 1 ? 0

巩固训练:
1、口答下列方程两根的和与两根的积(不解方程)

(1)x2-3x+1=0

(2)3x2-2x=2

(3)2x2+3x=0

(4)3x2=1

2、已知方程x 2 ? (2m ? 1) x ? m ? 0 的两根之和 与两根之积相等,那么m的值为( B ) A.1 B.-1 C. 2 D. -2 -3
2 2 x ? ax ? 2b ? 0 的两根和为4,积为 3、方程

-3,则a=

8

,b=



例3 已知方程 x2-(k+1)x+3k=0 的一个根是2,求它的 另一个根和 k 的值.
解:设方程的另一个根为 x1

把 x=2代入方程,得 4-2(k+1)+3k=0,
解这个方程,得 由韦达定理,得 即 ∴ k=-2, x1 · 2=3k , 动动脑, 还有其 他解法 吗

2x1=-6, x1=-3.

答:方程的另一个根是-3,k 的值是-2.

练一练: 已知 x1,x2 是方程3x2+px+q=0的两个根,分别根据下列条件 求出p和q的值.
(1) x1=1, x2=2
(2) x1=3, x2=-6 (3) x1= -√7, x2=√ 7 (4) x1=-2+√5 ,x2=-2-√ 5 P = -9 , q = 6 P = 9 , q = -54 你会 做吗?

P = 0 , q =-21
P = 12, q =-3

提示:应用韦达定理得 x1+x2= - p/3 ; x1x2= q/3

1、当k为何值时,方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1。
解:设方程两根分别为x1,x2(x1>x2),则x1-x2=1 ∵ (x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2 由根与系数的关系得x1+x2=

k ?1 2 k ?3 ∴( ) ?4 ?1 2 2

k ?1 2

x1x2=

k ?3 2

解得k1=9,k2= -3 当k=9或-3时,由于△≥0,∴k的值为9或-3。

2、设x1,x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根,且 x12+x22=4,求k的值。
解:由方程有两个实数根,得
1 2

? ? 4(k ? 1) 2 ? 4k 2 ? 0

即-8k+4≥0

?k ?

由根与系数的关系得x1+x2= 2(k-1) , x1x2=k2 ∴ X12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4 由X12+x22 =4,得2k2-8k+4=4

解得k1=0 , k2=4

经检验, k2=4不合题意,舍去。 ∴ k=0

小结

你有什么收获?

若方程ax 2 ? bx ? c ? 0( a ? 0)的两根为x1 , x2 , b c 则x1 ? x2 ? ? , x1 ? x2 ? a a 特别地: 推


推 论 2

若方程x ? px ? q ? 0的两根为x1 , x2,
2

1

则:x1 ? x2 ? ? p, x1 ? x2 ? q

以两个数x1 , x2为根的一元二次 方程(二次项系数为1 )是 x2 ? (x1 ? x2)x ? x1 ? x2 ? 0


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