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勾股定理习题17.1

发布时间:2014-03-12 19:03:15  

练习:

分析:注意x可能是斜边,也可能是直角边。 当x做为斜边时,也可能是直角边。

分析:根据勾股定理:a2+b2=c2。 当两直角边均扩大为原来的2倍时,有:

(2a)2+(2b)2=4(a2+b2)=4c2=(2c) 2

分析:设直角三角形的斜边为c,另一条直角边为b, 则有c2-b2=122, 等式可变形为: (c-b)(c+b)=144

因为144=2×2×2×2×3×3 , 也就是说,144存在很多因数
即144的因式c-b和c+b有很多组合,其中包含不只一组整数解。

分析:楼梯一共有两个方向需要铺地毯,即俯视和左视方向 从左视的角度需要的地毯长度为3米 所以至少需要: 3米+4米=5米

分析:根据勾股定理:AC2+BC2=AB2。 所以 AB2+AC2+BC2=2AB2=8 分析:依题意可设直角三角形的三边分别为:2n-2, 2n, 2n+2; 则其周长为:2n-2+2n+2n+2=6n;

根据勾股定理:(2n-2)2+n2=(2n+2)2 4n2-8n+4+n2=4n2+8n+4 n2-16n=0 n-16=0 n=16 6n=96

解:设任意锐角三角形的三边a,b,c 猜想:锐角三角形任意两边的平方和大于第三边,即 a2+b2>c2

解:设任意钝角三角形的两条钝角边为a,b,第三边为c 猜想:钝角三角形两条钝角边的平方和小于第三边的平方,即 a2+b2<c2

练习:
1.如果梯子的底端离建筑物9米,那么15米长的梯子可以到 达建筑物的高度为______ 2. Rt△ABC中,BC=3,AC=4,以AB为直径的半圆面积为____. 3. 在Rt△ABC中,AB=c,BC=a,∠B=90 °. (1)已知a=5,b=12,求c; (2)已知a=20,c=29,求b. 4.如图,欲测量松花江的宽度,沿江岸取B,C两点,在江对 岸取一点A,使AC垂直江岸,测得BC=50米,∠B=60°, 则江面的宽度为______.

5.有一个边长为1米正方形的洞口,想用一个圆形盖去盖住 这个洞口,则圆形盖半径至少为_____米。

6. Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,则斜边上的高CD为____。

1.如果梯子的底端离建筑物9米,那么15米长的梯子可以到 达建筑物的高度为______

分析:如图,根据勾股定理, 梯子可以到达建筑物的高度为: 2. Rt△ABC中,BC=3,AC=4,以AB为直径的半圆面积为____. 分析:根据勾股定理,AB2=BC2+AC2=9+16=25 ∴AB=5

3. 在Rt△ABC中,AB=c,BC=a,∠B=90 °. (1)已知a=5,b=12,求c; (2)已知a=20,c=29,求b.

解:如图:

4.如图,欲测量松花江的宽度,沿江岸取B,C两点,在江对 岸取一点A,使AC垂直江岸,测得BC=50米,∠B=60°, 则江面的宽度为______. 分析:如图:∵ ∠B=60° ∴ ∠BAC=30° Rt△ABC中,AB=2BC=100米 根据勾股定理,AC2=AB2-BC2=1002-502=7500 5.有一个边长为1米正方形的洞口,想用一个圆形盖去盖住 这个洞口,则圆形盖半径至少为_____米。 分析:如图:设圆形半径为r 根据勾股定理,r2+r2=12 即2r2=1;

6. Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,则斜边上的高CD为____。 分析:如图:设圆形半径为r 在Rt△ABC中,根据勾股定理: AB2=AC2+BC2=9+16=25; A

B=5 BD=AB-AD=5-AD 在Rt△ACD中,根据勾股定理: CD2=AC2-AD2=9-AD2 在Rt△BCD中,根据勾股定理: CD2=BC2-BD2=16-(5-AD)2=16-25+10AD-AD2=-AD2+10AD-9 ∴9-AD2=-AD2+10AD-9 10AD=18 AD=1.8 CD2=AC2-AD2=9-3.24=5.76 CD=2.4

练习:
1.直角三角形的斜边比一直角边长2 cm,另一直角边长为 6 cm,则它的斜边长( ) A.4 cm B.8 cm C.10 cm D.12 cm

2. 直角三角形两条直角边的差为3,积为12,则斜边为______. 3.如图,以Rt△ABC的三边为边作正方形,其面积分别为S1、 S2、S3,且S1=4,S2=8,则AB长为_____. 4.等腰三角形的腰长为10,底长为12,底边上的高为____
5. 如图, 直角梯形ABCD,AD∥BC,斜腰DC长10 cm,∠D=120°, 则另一腰AB是_____cm(结果不取近似值). 7 .如图,△ABC中,∠C=90°,AB垂直平分 线交BC于D若BC=8,AD=5,则AC等于____.

1.直角三角形的斜边比一直角边长2 cm,另一直角边长为 6 cm,则它的斜边长( ) A.4 cm B.8 cm C.10 cm D.12 cm 分析:设斜边为x cm,则一条直角边为(x-2) cm 根据勾股定理,有 x2-(x-2)2=62 x2-(x2-4x+4) =36 x2-x2+4x-4 =36 4x =40 x =10 2. 直角三角形两条直角边的差为3,积为12,则斜边为______. 分析:设两条直角边分别a,b(a≥b),斜边为c 根据勾股定理,a2+b2=c2 依题意:a-b=3, ab=12 则有:a2+b2=a2+b2-2ab+2ab=(a-b)2+2ab=32+2×12=33

3.如图,以Rt△ABC的三边为边作正方形,其面积分别为S1、 S2、S3,且S1=4,S2=8,则AB长为_____.
分析:S1=BC2=4;S2=AC2=8 根据勾股定理,AB2=BC2+AC2=4+8=12 4.等腰三角形的腰长为10,底长为12,底边上的高为____ 分析:如图:AC=AB=10,BC=12,CD=BC/2=6 AD是底边BC上的高,

在Rt△ACD中,根据勾股定理,得:
AD2=AC2-CD2=100-36=64 ∴AD=8

5. 如图, 直角梯形ABCD,AD∥BC,斜腰DC长10 cm,∠D=120°, 则另一腰AB是_____cm(结果不取近似值). 分析:如图:过D作梯形的高DE,则DE=AB 在Rt△CDE中,∠CDE=∠D-90°=30° ∴CE=CD/2=5 cm 根据勾股定理,有:AB2=DE2=CD2-CE2=102-52=75

解:作法:(如图)在数轴上找出表示5的点A,则OA=5, 过点A作直线l垂直于OA,在l上取点B,使AB=4,

7 .如图,△ABC中,∠C=90°,AB垂直平分 线交BC于D若BC=8,AD=5,则AC等于____.
分析:如图:∵点D在AB的垂直平分线上 ∴BD=AD=5 CD=BC-BD=8-5=3

在Rt△ACD中,∠C=90°,根据勾股定理,得 AC2=AD2-CD2=52-32=16 AC=4

习题17.1(P28) 1.设直角三角形的两条直角边长分别为a和b,斜边长为c. (1) 已知a=12, b=5, 求c;
(2) 已知a=3, c=4, 求b; (3) 已知c=10, b=9, 求a. 解:根据勾股定理: (1)c2=a2+b2=144+25=169 ; c=13 (2)b2=c2- a2=16- 9=7 ; c= (2)a2=c2- b2=100- 81=19 ; c=

2.一木杆在离地面3 m处折断,木杆顶端落在离木杆底 端4 m处. 木杆折断之前有多高?
解:(如图)根据勾股定理: 折断部分长为:

3.如图,一个圆锥的高AO=2.4,底面半径OB=0.7, AB的长是多少? 解:(如图)在Rt△AOB

中,根据勾股定理: AB2=AO2+OB2=5.76+0.49=6.25 AB=2.5

4.已知长方形零件尺寸 (单位:mm)如图,求两孔中心 的距离(结果保留小数点后一位)。 解:(如图)BC=60-21=39 AC=40-21=19 在Rt△ABC中,根据勾股定理: AB2=AC2+BC2=1521+361=1882 5.如图,要从电线杆离地面5 m处向地面拉一条长为7 m 的钢缆。求地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离。 (结果保留小数点后一位)

解:(如图)根据勾股定理: 所以,距离约为4.9m.

解:作法:(如图)在数轴上找出表示4的点A,则OA=4,
过点A作直线l垂直于OA, 在l上取点B,使AB=2,

7.在△ABC中,∠C=90°,AB=c. (1)如果∠A=30°,求BC,AC; (2)如果∠A=45°,求BC,AC; 解:在△ABC中,∠C=90° 根据勾股定理,有:

(2)当∠A=45°,AC=BC 根据勾股定理,有:AB2=AC2+BC2=2AC2=2BC2

8.在△ABC中,∠C=90°,AC=2.1,BC=2.8.求: (1)△ABC 的面积; (2)斜边AB; (3)高CD. 解:(如图)

(2)根据勾股定理,有:

9.已知一个三角形工作尺(单位:mm)如果,计算高 l 的长(结果取整数)。 解:(如图)根据勾股定理:

∴高l的长约为82 mm.

10.有一个水池,水面是一个边长10尺的正方形,在水 池正中央有一根芦苇,它高出水面1尺。如果把这根芦 苇拉向水池一边的中点,它的顶端恰好到达池边的水 面。水的深度与这根芦苇的长度分别是多少? 解: (如图)作△ABC,CD是AB上的高; 则芦苇的长为:AB=BC;水深为:BD AD=1尺 BD=AB – AD=BC – 1 (尺) 在Rt△BCD中,根据勾股定理,得:

BD2+CD2=BC2,即(BC – 1)2+25=BC2 BC2 – 2BC+1+25=BC2,BC=13 (尺) BD=AB – AD=BC – AD=13 – 1= 12 (尺) 所以水的深度为12尺,这根芦苇的长度为13尺。

11.如图,在Rt△ABC中,∠C =90°,∠A =30°, AC=2,求斜边AB的长。 解:在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A =30°

AB=2BC 根据勾股定理,有: AB2 – BC2=AC2,即4BC2 – BC2=4
AB2 – BC2=AC2,即4BC2 – BC2=4

12.有5个边长为1的正方形,排列形式如图。请把它们 分割后拼接成一个大正方形。

解:如图: 拼接后的面积S不变,即 S=5×1×1=5

∴可分割并拼接如图。

13.如图,分别以等腰Rt△ACD的边AD,AC,CD为直 径画半圆。求证:所得两个月形图案AGCE和DHCF的 面积之和(图中阴影部分)等于Rt△ACD的面积 。 解:如图:在等腰Rt△ACD中,AD=2AB=2BD=2BC AC=CD;AD2=AC2+CD2=2AC2=2CD2

14.如图,△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,△ACB 的顶点A在△ECD的斜边DE上,求证:AE2+AD2=2AC2 证明:如图:连接BD ∠ACE+∠ACD=90° 又∠BCD+∠ACD=90° ∴∠ACE=∠BCD 在△ACE和△BCD中

在Rt△ADB中,根据勾股定理: AB2=BD2+AD2=AE2+AD2 ∴ AE=BD AB2=AC2+BC2=2AC2

∴△ACE?△BCD(SAS) 在直角Rt△ABC中,根据勾股定理: ∠BDC=∠AEC=45° ∴ AE2+AD2=2AC2 ∠ADB=∠AEC+∠ADC=90°

P25 例1,例2 3.

如图,一个圆锥的高AO=2.4,底面半径OB=0.7, AB的长是多少? 解:(如图)在Rt△AOB中,根据勾股定理: AB2=AO2+OB2=5.76+0.49=6.25 AB=2.5
解:作法:(如图)在数轴上找出表示4的点A,则OA=4, 过点A作直线l垂直于OA, 在l上取点B,使AB=2,


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