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与三角形有关的线段

发布时间:2013-09-26 08:31:15  

全等三角形的判定 (SAS)

画△ABC,使AB=3cm,AC=4cm。
这样画出来的三角形与同桌所画的三角形进行比 较,它们互相重合吗? 若再加一个条件,使∠A=45°,画出△ABC

画法: 画∠MAN= 45° 1.
2. 在射线AM上截取AB= 3cm 3. 在射线AN上截取AC=4cm 4.连接BC 则△ABC就是所求的三角形 把你们所画的三角形剪下来与同桌所画的三角形进行 比较,它们能互相重合吗?

再任意画 一个 △ ABC 和 △ DEF , 使 AB=DE ,
AC=DF , ∠A=∠D , 把画好的△ABC和△DEF比 较,它们全等吗?
A B C D

E F

△ABC≌△DEF

由前边的作图比较过程,我们可以得出什么结论?

两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全 等。简写成“边角边”或“SAS”
A

用符号语言表达为: 在△ABC与 △DEF中

? ?∠A=∠D ? AC=DF
AB=DE

B

C
D

E

F

∴△ABC≌△DEF(SAS)

例2、如图,有一池塘,要测池塘两端A、B
的距离,可先在平地上取一个可以直接到达 A和B的点C,连接AC并延长到D,使CD=CA.连 接BC并延长到E,使CE=CB.连接DE,那么量 出DE的长就是A、B的距离.为什么?

分析:如果能证明 △ABC≌△DEC ,就可 以得出AB=DE. 在△ABC和△DEC中, CA=CD , CB=CE .如果能得出 ∠ACB=∠DCE, △ABC和 △DEC就全等了

证明:

A

B

在△ABC和△DEC中

C
D

? ∠ACB=∠DCE ? ? CB=CE
CA=CD ∴△ABC≌△DEC(SAS) ∴AB=DE

E

已知:如图, AB=CB ,∠ ABD= ∠ CBD 。 问AD=CD, BD 平分∠ ADC 吗? 证明:在△ABD与△CBD中 A B C
AB=CB ? ∠ABD=∠CBD ? BD=BD ? ∴△ABD≌△CBD(SAS) ∴AD=CD ∠ADB=∠CDB 即BD平分∠ADC

D

由前边两个题目可以看出: 因为全等三角形的对应角相等, 对应边相等,所以,证明分别属于两 个三角形的线段相等或角相等的问题, 常常通过证明两个三角形全等来解决。

探究
?

两边和它们的夹角对应相等的两个三角 形全等。由“两边及其中一边的对角对 应相等”的条件能判定两个三角形全等 吗?为什么?
动画演示

这说明:有两边和其中一 边的对角对应相等的两个 三角形不一定全等。

例: 已知有4个三角形,它们有如下的关
系: A1B1=A2B2=A3B3=AB, ∠B1=∠B2=∠B3=∠B, B1C1<B2C2=BC<B3C3 . 问△ABC与其余三个三角形中的哪一个 全等.

【解】我们把甲、乙、丙三个三角形移动后覆盖在△ABC 上,使得A1B1,A2B2,A3B3和AB重合,∠B1、∠B2、 ∠B3和∠B重合,C1和C2、C3将落在直线BC上,其中: (1)由于B1C1<BC,所以点C1在C的左侧,可知△A1B1C1 和△ABC不全等; (2)由于B3C3>BC,所以点C3在点C的右侧, 可知△A3B3C3和△ABC也不全等; (3)由于B2C2=BC,所以点C2和点C重合,于是B2C2与 BC重合,A2C2和CA也重合,则可知△A2B2C2与△ABC 重合,即 △A2B2C2≌△ABC .

1

、如图,B点在A点的正北方向。两车从路段AB的一 端A出发,分别向东、向西进行相同的距离,到达C、 D两地。此时C,D到B的距离相等吗?为什么?
B

【证明】∵在△BAD和△BAC中, BA=BA

∠BAD=∠BAC
AD=AC
D A C

则△BAD≌△BAC (SAS). 即BD=BC

2、如图,点E、F在BC上,BE=CF, AB=DC, ∠B=∠C,求证: ∠A=∠D
【证明】∵BF=BE+EF CE=CF+FE

A

D

而BE=CF ∴BF=CE 在△ABF和△DCE中,

B

E

F

C

BF=CE

∠B=∠C
AB=DC 则△BAD≌△BAC (SAS).

即∠A=∠D

已知:如图,AD∥BC,AD=CB. 求证:AB=CD.

A
【提示】连结AC, 由 △ABC≌△CDA 故 AB=CD.

D

B

C

课堂小结:
1. 三角形全等的条件,两边和它们的夹角对应相等 的两个三角形全等 (边角边或SAS) 2. 用尺规作图:已知两边及其夹角的三角形

布置作业:
课本104页3、4题 同步练习


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