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2013年中考数学知识点:四边形——平行四边形

发布时间:2014-03-17 17:37:41  

平行四边形

平行四边形是一种极重要的几何图形.这不仅是因为它是研究更特殊的平行四边形——矩形、菱形、正方形的基础,还因为由它的定义知它可以分解为一些全等的三角形,并且包含着有关平行线的许多性质,因此,它在几何图形的研究上有着广泛的应用.

由平行四边形的定义决定了它有以下几个基本性质:

(1)平行四边形对角相等;

(2)平行四边形对边相等;

(3)平行四边形对角线互相平分.

除了定义以外,平行四边形还有以下几种判定方法:

(1)两组对角分别相等的四边形是平行四边形;

(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形;

(3)对角线互相平分的四边形是平行四边形;

(4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.

例1 如图2-32所示.在

分.

ABCD中,AE⊥BC,CF⊥AD,DN=BM.求证:EF与MN互相平

分析 只要证明ENFM是平行四边形即可,由已知,提供的等量要素很多,可从全等三角形下手.

证 因为ABCD是平行四边形,所以 ADBC,ABCD,∠B=∠D.

又AE⊥BC,CF⊥AD,所以AECF是矩形,从而

AE=CF.

所以

Rt△ABE≌Rt△CDF(HL,或AAS),BE=DF.又由已知BM=DN,所以

△BEM≌△DFN(SAS),

ME=NF. ①

又因为AF=CE,AM=CN,∠MAF=∠NCE,所以

△MAF≌△NCE(SAS),

所以 MF=NF. ②

由①,②,四边形ENFM是平行四边形,从而对角线EF与MN互相平分.

例2 如图2-33所示.Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于D,BG平分∠ABC,EF∥BC且交AC于F.求证:AE=CF.

分析 AE与CF分处于不同的位置,必须通过添加辅助线使两者发生联系.若作GH⊥BC于H,由于BG是∠ABC的平分线,故AG=GH,易知△ABG≌△HBG.又连接EH,可证△ABE≌△HBE,从而AE=HE.这样,将AE“转移”到EH位置.设法证明EHCF为平行四边形,问题即可获解.

证 作GH⊥BC于H,连接EH.因为BG是∠ABH的平分线,GA⊥BA,所以GA=GH,从而 △ABG≌△HBG(AAS),

所以 AB=HB. ①

在△ABE及△HBE中,

∠ABE=∠CBE,BE=BE,

所以 △ABE≌△HBE(SAS),

所以 AE=EH,∠BEA=∠BEH.

下面证明四边形EHCF是平行四边形.

因为AD∥GH,所以

∠AEG=∠BGH(内错角相等). ②

又∠AEG=∠GEH(因为∠BEA=∠BEH,等角的补角相等),∠AGB=∠BGH(全等三角形对应角相等),所以

∠AGB=∠GEH.

从而

EH∥AC(内错角相等,两直线平行).

由已知EF∥HC,所以EHCF是平行四边形,所以

FC=EH=AE.

说明 本题添加辅助线GH⊥BC的想法是由BG为∠ABC的平分线的信息萌生的(角平分线上的点到角的两边距离相等),从而构造出全等三角形ABG与△HBG.继而发现△ABE≌△HBE,完成了AE的位置到HE位置的过渡.这样,证明EHCF是平行四边形就是顺理成章的了. 人们在学习中,经过刻苦钻研,形成有用的经验,这对我们探索新的问题是十分有益的. 例3 如图2-34所示.ABCD中,DE⊥AB于E,BM=MC=DC.求证:∠EMC=3∠BEM. 分析 由于∠EMC是△BEM的外角,因此∠EMC=∠B+∠BEM.从而,应该有∠B=2∠BEM,这个论断在△BEM内很难发现,因此,应设法通过添加辅助线的办法,将这两个角转移到新的位置加以解决.利用平行四边形及M为BC中点的条件,延长EM与DC延长线交于F,这样∠B=∠MCF及∠BEM=∠F,因此, 只要证明∠MCF=2∠F即可.不难发现,△EDF为直角三角形(∠EDF=90°)及M为斜边中点,我们的证明可从这里展开.

证 延长EM交DC的延长线于F,连接DM.由于CM=BM,∠F=∠BEM,∠MCF=∠B,所以 △MCF≌△MBE(AAS),

所以M是EF的中点.由于AB∥CD及DE⊥AB,所以,DE⊥FD,三角形DEF是直角三角形,DM为斜边的中线,由直角三角形斜边中线的性质知

∠F=∠MDC,

又由已知MC=CD,所以

∠MDC=∠CMD,

∠MCF=∠MDC+∠CMD=2∠F.

从而

∠EMC=∠F+∠MCF=3∠F=3∠BEM.

例4 如图2-35所示.矩形ABCD中,CE⊥BD于E,AF平分∠BAD交EC延长线于F.求证:CA=CF.

分析 只要证明△CAF是等腰三角形,即∠CAF=∠CFA即可.由于∠CAF=45°-∠CAD,所以,在添加辅助线时,应设法产生一个与∠CAD相等的角a,使得∠CFA=45°-a.为此,延长DC交AF于H,并设AF与BC交于G,我们不难证明∠FCH=∠CAD.

证 延长DC交AF于H,显然∠FCH=∠DCE.又在Rt△BCD中,由于CE⊥BD,故∠DCE=∠DBC.因为矩形对角线相等,所以△DCB≌△CDA,从而∠DBC=∠CAD,因此,

∠FCH=∠CAD. ①

又AG平分∠BAD=90°,所以△ABG是等腰直角三角形,从而易证△HCG也是等腰直角三角形,所以∠CHG=45°.由于∠CHG是△CHF的外角,所以

∠CHG=∠CFH+∠FCH=45°,

所以 ∠CFH=45°-∠FCH. ②

由①,②

∠CFH=45°-∠CAD=∠CAF,

于是在三角形CAF中,有

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