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17.4一元二次方程的根与系数的关系第二课时

发布时间:2014-03-19 17:59:35  

17.4一元二次方程的根

与系数的关系

1.方程 x ? 3kx ? 2k ?1 ? 0 的两根互
2

为倒数,求k的值。
解:设方程的两根分别为 x1 和 x2 , x1 ? x2 ? 2k ?1 则: 而方程的两根互为倒数 即: x1 ? x2 ? 1 所以: 2k ? 1 ? 1 得: k ? 1

2. 已知方程 5x ? kx ? 6 ? 0 的一个根
2

是2,求它的另一个根及k的值. 2 解:设方程 5x ? kx ? 6 ? 0 的两个根 x1 ? 2 。 分别是 x1 、x2 ,其中 6 x1 ? x2 ? 2 x2 ? ? 所以: 5 3 即: x ? ? 5 3 k 由于 x1 ? x2 ? 2 ? (? 5 ) ? ? 5 得:k=-7 3 答:方程的另一个根是 ? 5 ,k=-7
2

3. 方程 x2?(m?1)x?2m?1?0 求 m 满足什么条件时 , 方

程的两根互为相反数?方程的两根互为倒数?方
程的一根为零?
解:??(m?1)2?4(2m?1)?m2?6m?5 ①∵两根互为相反数 ∴两根之和m?1?0,m??1,且??0

∴m??1时,方程的两根互为相反数.

②∵两根互为倒数 ??m2?6m?5, ∴两根之积2m?1?1 m?1且??0, ∴m?1时,方程的两根互为倒数. ③∵方程一根为0,
1 ∴两根之积2m?1?0 m ? 且??0, 2 1 ∴ m ? 2 时,方程有一根为零.

引申:1、若ax2?bx?c?0 (a?0 ??0) (1)若两根互为相反数,则b?0; (2)若两根互为倒数,则a?c; (3)若一根为0,则c?0 ; (4)若一根为1,则a?b?c?0 ; (5)若一根为?1,则a?b?c?0; (6)若a、c异号,方程一定有两个实数根.

提高训练
1.以方程X +3X+2=0的两个根的相反数为根 的方程是( ) B A、y2+3y-2=0 B、 y2-3y+2=0
2

C、y +3y+2=0
换元法:

2

D、

y -3y-2=0

2

设y=-x,则x=-y,将其代入X +3X+2=0,
得y -3y+2=0 ,即为所求方程。
2

2

提高训练
2.已知方程X +kX+k+2=0的两个根是X1、X2, 且X12+X22 = 4,求k的值。
解:由根与系数的关系得: X1+X2=-k, X1.X2=k+2 ∵ △= K2-4(k+2) 当k=4时, △<0
2

又X12+ X2 2 = 4
即(X1+ X2)2 - 2 X1X2=4 K2- 2(k+2)=4

当k=-2时,△>0
∴ k=-2

K2-2k-8=0
解得:k=4 或k=-2

提高训练
3.已知关于x的方程3x2-5x-2=0(1),且关于y的方程的 两根是方程(1)的两根的平方,则关于y的方程是 __________ 37 4

y2 ?

9

y?

9

?0

分析:

由y1+y2=x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=

4 y1y2=x12x22=(x1x2)2= 9 37 4 2 y ? y? ?0 9 9

37 9


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