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17.4一元二次方程的根与系数的关系第一课时

发布时间:2014-03-19 17:59:39  

17.4一元二次方程的根 与系数的关系

1.一元二次方程的一般形式是什么?

ax ? bx ? c ? 0(a ? 0)
2
2.一元二次方程的求根公式是什么?

3.一元二次方程的根的情况怎样确定?

? b ? b ? 4ac 2 x? (b ? 4ac ? 0) 2a
2

? ? 0 ? 两个不相等的实数根

? ? b 2 ? 4ac

? ? 0 ? 两个相等的实数根 ? ? 0 ? 没有实数根

填写下表:

方程

两个根

两根 之和

两根 之积

a与 b 之间 关系

a与 c 之间 关系
c a

x1 x2 x1 ? x2
x 2 ? 3x ? 4 ? 0

?4 1 3 x 2 ? 5x ? 6 ? 0 2
2

?3 5
3 ? 2

?4 6
1 2

b x1 ? x2 ? a

?3 5

?4

6
1 2

2 x ? 3x ? 1 ? 0

1 ? 2

?1

3 ? 2

猜想: 如果一元二次方程ax 2 ? bx ? c ? 0(a ? 0)
的两个根分别是 x1、x2 , 那么你可以发现 b c x1 +x2 、 x1 ?x2与- 、 有什么关系? a a

猜想:
如果一元二次方程
的两根为x1、x2,则: b ? 4ac ? 0
2

ax2+bx+c=0(a、b、c是常数且a≠0)

x1+x2和x1.x2与系数a,b,c 的关系.

b x1 ? x 2 ? ? a

c x1 ? x2 ? a

?b ? b 2 ? 4ac ?b ? b 2 ? 4ac 证明:x1 ? x2 ? ? 2a 2a ?b ? b ? 4ac ? b ? b ? 4ac ?2b ?b ? ? ? 2a 2a a
2 2

?b ? b ? 4ac ?b ? b ? 4ac x1 ? x2 ? ? 2a 2a 2 2 b ? ? b ? 4ac ? 4ac c ? ? 2 ? 2 4a 4a a
2 2

任何一个一元二次方程的根与系数的关系:

(韦达定理)
如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是X1 , X2 ,

b 那么X1 + X2= a

,

c X1 · X2 = a

注:能用根与系数的关系的 前提条件为b2-4ac≥0

一、直接运用根与系数的关系
例1、不解方程,求下列方程两根的和与积.

(1) x ? 6 x ? 15 ? 0
2

(2)3x ? 7 x ? 9 ? 0
2

(3)5 x ? 1 ? 4 x

2
知识源于悟

在使用根与系数的关系时,应注意:

⑴不是一般式的要先化成一般式;

b ⑵在使用X1+X2=- 时, a
注意“- ”不要漏写.

二、求关于两根的对称式或代数式的值 2 例2、设 x1 , x2是方程 2x ? 4x ? 3 ? 0 的两个
根,利用根与系数的关系,求下列各式的值.

(1) x ? x
2 1

2 2

1 1 ( 2) ? x1 x2
2 1 2 2 1 2

(3)(x1 ? 1)(x2 ? 1) (4) x x ? x x x2 x1 2 (5) ? (6)(x1 ? x2 ) x1 x2

关于两根几种常见的求值 2 2 2 1.x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 2 x1 x 2

1 1 x1 ? x2 4. ? ? x1 x2 x1 x2 2 x1 x2 x12 ? x2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 2 x1 x2 5. ? ? ? x1 x2 x2 x1 x1 x2

2.(x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x 2 3.(x1 ? 1)(x2 ? 1) ? x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1
2

2

6. x1 ? x2 ?

( x1 ? x 2 ) ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2
2

三、构造新方程

练习、甲、乙二人解同一个一元二次
方程时,甲看错了常数项所求出的根 为1,4;乙看错了一次项系数所求出

的根是-2,-3。则这个一元二次方程 2 为__________________ x -5x+6=0

四、求方程中的待定系数
变式:方程 mx ? 2mx ? m

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