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初级中学说课指导:坐标轴的平移

发布时间:2014-03-22 18:04:21  

辽宁事业单位微信:lnsydw

教材分析

1、坐标变换是化简曲线方程,以便于讨论曲线的性质和画出曲线的一种重要方法。这一节教材主要讲坐标轴的平移,要求学生在正确理解新旧坐标之间的关系的基础上掌握平移公式;并能利用平移公式对新旧坐标系中点的坐标和曲线的方程进行互化。这就是本节课的教学目的之一。

2、本教材的重点是平移公式的推导及其简单应用。为了解决重点,教学中先以圆(x-3)2+(y-2)2=52化为x'2+y'2=52这个例子引入来说明,虽然点的位置没有改变曲线的位置、形状和大小没有改变,但是由于坐标系的改变,点的坐标和曲线的方程也随着改变,而且适当地变换坐标系,曲线的方程就可以化简,以此指明平移坐标轴的意义和作用,并由此引出平移的定义,导出平移公式。在推导平移公式时,先从特殊到一般,通过观察、归纳、猜想和推导,得出平移公式,还引导学生运用代数中刚学过的复数的几何意义来证明,既开阔视野,沟通学科知识,又培养学生的思维能力,同时还可通过一组练习,让学生正用、逆用、变用平移公式,达到进一步加深理解、熟练掌握公式的目的,进而培养学生的发现、推理能力和教学思想方法。

3、本节教材的难点是平移公式两种形式何时运用,学生易产生混淆,教学中应通过实例让学生自己领会,并及时加以小结,掌握其规律,加强公式的记忆并培养灵活运用知识的能力。

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4、本节寓德于教的要点,主要是通过事物变化过程的内在联系,认识变与不变的矛盾对立统一规律,对学生进行辩证唯物主义的教育。

二、教学过程

(一)提出问题

教师先在黑板上画出图形,让学生观察、思考并提问以下问题:

1、如图,点O'和○O'关于坐标系xoy的坐标和方程各是什么?点O'和○O'关于坐标系x'o'y'的坐标和方程各是什么?两个方程,那一个较为简单?

(学生回答,教师在黑板上板书:)

直角坐标系 点O'的坐标 ○O'的方程

<在xoy中 (3,2); (x-3)2+(y-2)2=52

在x'o'y'中 (0,0) x'2+y'2=52

两个方程,显然后一个方程简单。

(二)引入新课

(继续提问)

1、从上面的例子可以看出什么?

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(答) (1)对于同一点或同一曲线,由于 选取的坐标系不同,点的坐标功曲线的方程也不同。

(2)把一个坐标系变换为另一个适当的坐标系,可以使曲线的方程简化,便于研究曲线的性质。

教师继续提出新的话题,即如何把一个坐标系变换为另一个适当的坐标系呢?我们再从上面的例子来观察坐标系

xoy与x'o'y'有何异同点呢?(提问)

(答)(1)坐标轴的方向和长度单位都相同--不变

(2)坐标系的原点的位置不同--变

(教师归纳) 这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移,简称移轴。 (让学生打开课本阅读移轴的定义,教师在黑板上板书)

(板书) 坐标轴的平移

(三)讲授新课

(板书)1、坐标轴平移的定义

2、坐标轴平移公式

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思路:(1)以特殊到一般,在已画出的图形上任取四个点(分别在第

一、二、三、四系限或坐标轴上)让学生分别写出在新、旧坐标系里的坐标,并观察、分析出它们的关系。

(答) 坐标平面上任意一点在原坐标系中坐标和在新坐标系中的坐档,归纳出来有如下关系:

(板书) 原系横坐标x=新系横坐标 x'+3

原系纵坐标y=新系纵坐标y'+2

现在把(3,2)推广到一般(h,k)能否得出 x=x'+h

y=y'+k

这个公式呢?(让学生自己动手证明)

思路(2)第一步用有向线段的数量表示x,y,h,k,x',和y', 第二步据图进行推导

第三步由推出的公式 x=x'+h (1)再推出 x'=x-h

y=y'+k y'=y-h

小结:这两个公式都叫做平移(移轴)公式。同学们还可以运用代数中学过的向量加、减法则,建立复平面来证明(留给学生课后自己作练习)

3、平移公式的应用

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(1)利用平移公式求在新坐标内点的新坐标

例与练:①平移坐标轴,把原点平移到O'(-4,3),求A(0,0), B(4,-5)的新坐标;C(5,-7) , D(4,-6)的旧坐标。

②平移坐标轴,把原点平移到O'( )使A(2,4)的新坐标为(3,2); B(-4,0)的旧坐标为(0,3)

(2)利用平移公式化简方程

例与练:(课本例)平移坐轴,把原点移到O'(2,-1),求下列曲线关于新坐标系的方程,并画出新旧坐标轴和曲线。

(x-2)

① x=2 ②y=-1 ③ (x+2)2 /9+(y+1)2/4=1

分析:解①②时 用分别把x=2,y=-1代入公式

(2) 得x'=0 y'=0(比课本中的解法简单)而在解③时,却要用公式(1)分别用x=+2,y=y'-1代入原方程得出新方程x'/9+y'/4=1 (引导学生正确作出图)

小结: 从例中可以看出,要把方程(x-2)2/9+ (y+1)2/4

化为简单的方程x'2/9+y'2/4 =1 ,可把 x-2=x' y+1=y',得出应

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把坐标原点平移到(2,-1),由此可推广,形如(x-h)2/a2+(y-k)2/b2的方程如何化简。

选择题1.坐标轴平移后,下列各数值中发生变化的是( )

(A)某两点的距离 (B)某线权中点的坐标

(C)某两条直线的夹角 (D)某三角形的面积

答案选(C) 从此题可看出,坐标轴平移后,与坐标有关的量发生变化,但图形本身的几何性质不变。

选择题2:曲线x2+y2+2x-4y+1=0在新坐标系中的方程是

x'2+y'2=4,则新坐标系原点在旧坐标系中的坐标是( )

(A) (-1,2) (B) (1,-2) (C)2,-1) (D) (-2,1)

分析:把x2+y2+2x-4y+1=0配方为(x+1)2+(y-2)2=4

由x+1=x'===h=-1 y-2=y'===k=2 故应选(A)

(四)教师小结:今天讲的主要内容是坐标轴平移的意义,平移公式及其简单应用。移轴的目的在几何上是使曲线图形的中心(或顶点)与原点重合,使图形"居中",而在代数上则是将一般二元二次方程通过代数变形(变量代换),消去其中的一次项,从而使方程简化,这个问题,下一节课将作更具体深入的研究与探讨。

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平移公式的两种形式何时应用较好方便,一般说来,由点的旧坐标求其新坐标时用(2)较方便,而由曲线的原方程求其新方程时用(1)较方便,但这也不是固定不变的,如例2中把方程x=2化为新方程,直接代入(2),马上就可求出x'=0这个新方程。

平移坐标轴,可以简化曲线的方程,但不含改变曲线原来的性质与不变,可以看出其中的辩证关系和内在规律。

(五)布置作业(略)

三、课后附记

1、本节课曾在福州市教育学院组织的青年教师培训班的观摩课上讲授,反映较好,从学生的作业反馈及下节课的复习提问,利用坐标轴的平移化简二元二次方程中,引用平移公式进行运算,学生都能较熟练掌握,在半期考中,关于平移公式的应用题得分率在90%以上,说明本节课的效果较好,但因本教材在整个圆锥曲线教材内容中占的分量不重,公式较少使用,容易出现反生与遗忘,因此在平时教学中可适时加以引用。

2、本节课的设计遵照"一体三重五环节"的福八中数学教学的特色,重视发挥学生的主体与教师的主导作用,重视"过程"的教学,尽量做到:提出问题,循循诱导;疏通思路,耐心开导;解题练习,精心指导;存在不足,热情辅导;掌握过程,尽心引导;真正体现重情善导的教风与特色。

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