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一元二次方程应用题经典题型汇总

发布时间:2014-03-26 17:34:00  

思致超越 知行合一

一元二次方程应用题经典题型汇总

同学们知道,学习了一元二次方程的解法以后,就会经常遇到解决与一元二次方程有关的生活中的应用问题,即列一元二次方

程解应用题,不少同学遇到这类问题总是左右为难,难以下笔,事实上,同学们只要能认真地阅读题目,分析题意,并能学会分解题目,各个击破,从而找到已知的条件和未知问题,必要时可以通过画图、列表等方法来帮助我们理顺已知与未知之间的关系,找到一个或几个相等的式子,从而列出方程求解,同时还要及时地检验答案的正确性并作答.现就列一元二次方程解应用题中遇到的常见的十大典型题目,举例说明.

一、增长率问题

例1 恒利商厦九月份的销售额为200万元,十月份的销售额下降了20%,商厦从十一月份起加强管理,改善经营,使销售额

稳步上升,十二月份的销售额达到了193.6万元,求这两个月的平均增长率.

解 设这两个月的平均增长率是x.,则根据题意,得200(1-20%)(1+x)2=193.6,

即(1+x)2=1.21,解这个方程,得x1=0.1,x2=-2.1(舍去).

答 这两个月的平均增长率是10%.

说明 这是一道正增长率问题,对于正的增长率问题,在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义,即可利用公式m(1+x)2

=n求解,其中m<n.对于负的增长率问题,若经过两次相等下降后,则有公式m(1-x)2=n即可求解,其中m>n.

二、商品定价

例2 益群精品店以每件21元的价格购进一批商品,该商品可以自行定价,若每件商品售价a元,则可卖出(350-10a)件,

但物价局限定每件商品的利润不得超过20%,商店计划要盈利400元,需要进货多少件?每件商品应定价多少?

解 根据题意,得(a-21)(350-10a)=400,整理,得a2-56a+775=0,

解这个方程,得a1=25,a2=31.

因为21×(1+20%)=25.2,所以a2=31不合题意,舍去.

所以350-10a=350-10×25=100(件).

答 需要进货100件,每件商品应定价25元.

说明 商品的定价问题是商品交易中的重要问题,也是各种考试的热点.

三、储蓄问题

例3 王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”,到期后将本金和利息取出,并将其中的500元

捐给“希望工程”,剩余的又全部按一年定期存入,这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%,这样到期后,可得本金和利息共530元,求第一次存款时的年利率.(假设不计利息税)

解 设第一次存款时的年利率为x.

则根据题意,得[1000(1+x)-500](1+0.9x)=530.整理,得90x2+145x-3=0.

解这个方程,得x1≈0.0204=2.04%,x2≈-1.63.由于存款利率不能为负数,所以将x2≈-1.63舍去.

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答 第一次存款的年利率约是2.04%.

说明 这里是按教育储蓄求解的,应注意不计利息税.

四、趣味问题

例4 一个醉汉拿着一根竹竿进城,横着怎么也拿不进去,量竹竿长比城门宽4米,旁边一个醉汉嘲笑他,你没看城门高吗,

竖着拿就可以进去啦,结果竖着比城门高2米,二人没办法,只好请教聪明人,聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿,二人一试,不多不少刚好进城,你知道竹竿有多长吗?

解 设渠道的深度为xm,那么渠底宽为(x+0.1)m,上口宽为(x+0.1+1.4)m. 则根据题意,得1(x+0.1+x+1.4+0.1)·x=1.8,整理,得x2+0.8x-1.8=0. 2

解这个方程,得x1=-1.8(舍去),x2=1.

所以x+1.4+0.1=1+1.4+0.1=2.5.

答 渠道的上口宽2.5m,渠深1m.

说明 求解本题开始时好象无从下笔,但只要能仔细地阅读和口味,就能从中找到等量关系,列出方程求解.

五、古诗问题

例5 读诗词解题:(通过列方程式,算出周瑜去世时的年龄).

大江东去浪淘尽,千古风流数人物;

而立之年督东吴,早逝英年两位数;

十位恰小个位三,个位平方与寿符;

哪位学子算得快,多少年华属周瑜?

解 设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x,则十位数字为x-3.

则根据题意,得x2=10(x-3)+x,即x2-11x+30=0,解这个方程,得x=5或x=6.

当x=5时,周瑜的年龄25岁,非而立之年,不合题意,舍去;

当x=6时,周瑜年龄为36岁,完全符合题意.

答 周瑜去世的年龄为36岁.

说明 本题虽然是一道古诗问题,但它涉及到数字和年龄问题,通过求解同学们应从中认真口味.

六、象棋比赛

例6 象棋比赛中,每个选手都与其他选手恰好比赛一局,每局赢者记2分,输者记0分.如果平局,两个选手各记1分,领司

有四个同学统计了中全部选 手的得分总数,分别是1979,1980,1984,1985.经核实,有一位同学统计无误.试计算这次比赛共有多少个选手参加.

解 设共有n个选手参加比赛,每个选手都要与(n-1)个选手比赛一局,共计n(n-1)局,但两个选手的对局从每个选手的角

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1n(n-1)局.由于每局共计2分,所以全部选手得分总共为n(n-1)分.显然(n-1)与2度各自统计了一次,因此实际比赛总局数应为

n为相邻的自然数,容易验证,相邻两自然数乘积的末位数字只能是0,2,6,故总分不可能是1979,1984,1985,因此总分只能是1980,于是由n(n-1)=1980,得n2-n-1980=0,解得n1=45,n2=-44(舍去).

答 参加比赛的选手共有45人.

说明 类似于本题中的象棋比赛的其它体育比赛或互赠贺年片等问题,都可以仿照些方法求解.

七、情景对话

例7 春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游,推出了如图1对话中收费标准.

某单位组织员工去天水湾风景区旅游,共支付给春秋旅行社旅游费用27000元.请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游?

解 设该单位这次共有x名员工去天水湾风景区旅游.因为1000×25=25000<27000,所以员工人数一定超过25人.

则根据题意,得[1000-20(x-25)]x=27000.

整理,得x2-75x+1350=0,解这个方程,得x1=45,x2=30.

当x=45时,1000-20(x-25)=600<700,故舍去x1;

当x2=30时,1000-20(x-25)=900>700,符合题意.

答:该单位这次共有30名员工去天水湾风景区旅游.

说明 求解本题要时刻注意对话框中的数量关系,求得的解还要注意分类讨论,从中找出符合题意的结论.

八、等积变形 图

1

例8 将一块长18米,宽15米的矩形荒地修建成一个花园(阴影部分)所占的面积为原来荒地面积的三分之二(.精确到0.1m)

(1)设计方案1(如图2)花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路.

(2)设计方案2(如图3)花园中每个角的扇形都相同.

以上两种方案是否都能符合条件?若能,请计算出图2中的小路的宽和图3中扇形的半径;若不能符合条件,请说明理由.

解 都能.(1)设小路宽为x,则18x+16x-x2=23×18×15,即x2-34x+180=0,

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解这个方程,得x

,即x≈6.6.

(2)设扇形半径为r,则3.14r2=2×18×15,即r2≈57.32,所以r≈7.6. 3

B说明

等积变形一般都是涉及的是常见图形的体积,面积公式;其原则是形变积不变;或形变积也变,但重量不变,等等.

图2 QCP

图4 www.czsx.com.cn九、动态几何问题 图3

例9 如图4所示,在△ABC中,∠C=90°,AC=6cm,BC=8cm,点P

从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动,点

Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动.

(1)如果P、Q同时出发,几秒钟后,可使△PCQ的面积为8平方厘米?

(2)点P、Q在移动过程中,是否存在某一时刻,使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半.若存在,求出运动的时间;若

不存在,说明理由.

解 因为∠C=90°,所以AB10(cm).

(1)设xs后,可使△PCQ的面积为8cm2,所以 AP=xcm,PC=(6-x)cm,CQ=2xcm.

则根据题意,得1·(6-x)·2x=8.整理,得x2-6x+8=0,解这个方程,得x1=2,x2=4. 2

所以P、Q同时出发,2s或4s后可使△PCQ的面积为8cm2.

(2)设点P出发x秒后,△PCQ的面积等于△ABC面积的一半.

则根据题意,得111(6-x)·2x=××6×8.整理,得x2-6x+12=0. 222

由于此方程没有实数根,所以不存在使△PCQ的面积等于ABC面积一半的时刻.

说明 本题虽然是一道动态型应用题,但它又要运用到行程的知识,求解时必须依据路程=速度×时间.

十、梯子问题

例10 一个长为10m的梯子斜靠在墙上,梯子的底端距墙角6m.

(1)若梯子的顶端下滑1m,求梯子的底端水平滑动多少米?

(2)若梯子的底端水平向外滑动1m,梯子的顶端滑动多少米?

(3)如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离,那么滑动的距离是多少米?

解 =8(m).

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(1)若梯子顶端下滑1m,则顶端距地面7m.设梯子底端滑动xm.

则根据勾股定理,列方程72+(6+x)2=102,整理,得x2+12x-15=0,

解这个方程,得x1≈1.14,x2≈-13.14(舍去),

所以梯子顶端下滑1m,底端水平滑动约1.14m.

(2)当梯子底端水平向外滑动1m时,设梯子顶端向下滑动xm.

则根据勾股定理,列方程(8-x)2+(6+1)2=100.整理,得x2-16x+13=0.

解这个方程,得x1≈0.86,x2≈15.14(舍去).

所以若梯子底端水平向外滑动1m,则顶端下滑约0.86m.

(3)设梯子顶端向下滑动xm时,底端向外也滑动xm.

则根据勾股定理,列方程 (8-x)2+(6+x)2=102,整理,得2x2-4x=0,

解这个方程,得x1=0(舍去),x2=2.

所以梯子顶端向下滑动2m时,底端向外也滑动2m.

说明 求解时应注意无论梯子沿墙如何上下滑动,梯子始终与墙上、地面构成直角三角形.

十一、航海问题

例11 如图5所示,我海军基地位于A处,在其正南方向200海里A

处有一重要目标B,在岛上有一补给码头;小到C匀速巡航.一艘补B的正东方向200海里处有一重要目标C,小岛D恰好位于AC的中点,岛F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向,一艘军舰从A出发,经B

给船同时从D出发,沿南偏西方向匀速直线航行,欲将一批物品送往军舰.

(1)小岛D和小岛F相距多少海里?

(2)已知军舰的速度是补给船的2倍,军舰在由B到C的途中与补

相遇时补给船航行了多少海里?(精确到0.1海里)

解(1)F位于D的正南方向,则DF⊥BC.因为AB⊥BC,D为AC的中点,所以DF=

相距100海里. Bwww.czsx.com.cn图5 给船相遇于E处,那么12AB=100海里,所以,小岛D与小岛F

(2)设相遇时补给船航行了x海里,那么DE=x海里,AB+BE=2x海里,EF=AB+BC-(AB+BE)-CF=(300-2x)海里.

在Rt△DEF中,根据勾股定理可得方程x2=1002+(300-2x)2,整理,得3x2-1200x+100000=0.

解这个方程,得x1=200

118.4,x2=

. 所以,相遇时补给船大约航行了118.4海里.

说明 求解本题时,一定要认真地分析题意,及时发现题目中的等量关系,并能从图形中寻找直角三角形,以便正确运用勾股

定理布列一元二次方程.

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十二、图表信息

例12 如图6所示,正方形ABCD的边长为12,划分成12×12个小正方形格,将边长为n(n为整数,且2≤n≤11)的黑白两色正方形纸片按图中的方式,黑白相间地摆放,第一张n×n的纸片正好盖住正方形ABCD左上角的n×n个小正方形格,第二张纸片盖住第一张纸片的部分恰好为(n-1)×(n-1)个小正方形.如此摆放下去,直到纸片盖住正方形ABCD的右下角为止.

请你认真观察思考后回答下列问题:

(1)由于正方形纸片边长n的取值不同,?完成摆放时所使用正方形纸片的张数也不同,请填写下表:

(2)设正方形ABCD被纸片盖住的面积(重合部分只计一次)为S1,未被盖住的面积为S2. ①当n=2时,求S1∶S2的值;

②是否存在使得S1=S2的n值?若存在,请求出来;若不存在,请说明理由. 解(1)依题意可依次填表为:11、10、9、8、7. (2)S1=n2+(12-n)[n2-(n-1)2]=-n2+25n-12.

①当n=2时,S1=-22+25×2-12=34,S2=12×12-34=110. 所以S1∶S2=34∶110=17∶55. ②若S1=S2,则有-n2+25n-12=

图6

1

×122,即n2-25n+84=0, 2

解这个方程,得n1=4,n2=21(舍去).

所以当n=4时,S1=S2.所以这样的n值是存在的.

说明 求解本题时要通过阅读题设条件及提供的图表,及时挖掘其中的隐含条件,对于求解第(3)小题,可以先假定问题的存在,进而构造一元二次方程,看得到的一元二次方程是否有实数根来加以判断.

十三、探索在在问题

例13 将一条长为20cm的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形. (1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm2,那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少? (2)两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗? 若能,求出两段铁丝的长度;若不能,请说明理由. 解(1)设剪成两段后其中一段为xcm,则另一段为(

20-x)cm.

?x?

则根据题意,得??

?4?

2

?20?x?+???4?

2

=17,解得x1=16,x2=4,

当x=16时,20-x=4,当x=4时,20-x=16, 答 这段铁丝剪成两段后的长度分别是4cm和16cm.

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22?y?(2)不能.理由是:不妨设剪成两段后其中一段为ycm,则另一段为(20-y)cm.则由题意得???4??20?y?+???4?=12,整

理,得y2-20y+104=0,移项并配方,得(y-10)2=-4<0,所以此方程无解,即不能剪成两段使得面积和为12cm2.

说明 本题的第(2)小问也可以运用求根公式中的b2-4ac来判定.若b2-4ac≥0,方程有两个实数根,若b2-4ac<0,方程

没有实数根,本题中的b2-4ac=-16<0即无解.

十四、平分几何图形的周长与面积问题

例14 如图7,在等腰梯形ABCD中,AB=DC=5,AD=4,BC=10.点E?在下底边BC上,点F在腰AB上.

(1)若EF平分等腰梯形ABCD的周长,设BE长为x,试用含x的代数式表示△BEF的面积;

(2)是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分?若存在,求出此时BE的长;若不存在,请说明理由;

(3)是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1∶2的两部分?若存在,求此时BE的长;若不存在,请说明

理由.

解(1)由已知条件得,梯形周长为12,高4,面积为28.

过点F作FG⊥BC于G,过点A作AK⊥BC于K.

则可得,FG=AD12?x×4, 5

BE·FG=-G K ECwww.czsx.com.cn图7 所以S△BEF=1225

x2+x2+24x(7≤x≤10). 5(2)存在.由(1)得-2524x=14,解这个方程,得x1=7,x2=5(不合题意,舍去), 5

所以存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长与面积同时平分,此时BE=7.

(3)不存在.假设存在,显然有S△BEF∶S多边形AFECD =1∶2,

即(BE+BF)∶(AF+AD+DC)=1∶2.则有-25x2+1628x=, 53

整理,得3x2-24x+70=0,此时的求根公式中的b2-4ac=576-840<0,

所以不存在这样的实数x.即不存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1∶2的两部分.

说明 求解本题时应注意:一是要能正确确定x的取值范围;二是在求得x2=5时,并不属于7≤x≤10,应及时地舍去;三是

处理第(3)个问题时的实质是利用一元二次方程来探索问题的存在性.

十五、利用图形探索规律

例15 在如图8中,每个正方形有边长为1 的小正方形组成:

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(1)观察图形,请填写下列表格:

正方形边长 黑色小正方形个数

正方形边长 黑色小正方形个数

2

4

6

8

? ?

1

3

5

7

? ?

图8

n(奇数)

n(偶数)

(2)在边长为n(n≥1)的正方形中,设黑色小正方形的个数为P1,白色小正方形的个数为P2,问是否存在偶数..n,使P2=5P1?若存在,请写出n的值;若不存在,请说明理由.

解(1)观察分析图案可知正方形的边长为1、3、5、7、?、n 时,黑色正方形的个数为1、5、9、13、2n-1(奇数);正方形的边长为2、4、6、8、?、n 时,黑色正方形的个数为4、8、12、16、2n(偶数).

(2)由(1)可知n为偶数时P1=2n,所以P2=n2-2n.根据题意,得n2-2n=5×2n,即n2-12n=0,解得n1=12,n2=0(不合题意,舍去).所以存在偶数n=12,使得P2=5P1.

说明 本题的第(2)小问是属于存在性问题,求解时,可以先假设结论存在,进而从中找到数量关系,使问题获解. 综上所言,列一元二次方程解应用题是列一元一次方程、二元一次方程组解应用题的延续和发展,列方程解应用题就是先把实际问题抽象为方程模型,然后通过解方程获得对实际问题的解决.列一元二次方程解应用题的关键是:找出未知量与已知量之间的联系,从而将实际问题转化为方程模型,要善于将普通语言转化为代数式,在审题时,要特别注意关键词语,如“多少、快、慢、和、差、倍、分、超过、剩余、增加、减少”等等,此外,还要掌握一些常用的公式或特殊的等量关系,如特殊图形的面积公式、行程问题、工程问题、增长率问题中的一些特殊关系等等.

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