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整式乘除与因式分解知识点强化记忆及典型例题

发布时间:2014-03-28 15:04:47  

第8章 整式乘除与因式分解知识点强化记忆

(一). 整数指数幂的有关公式与乘法公式

a?a1、a?mnm?n(m,n是整数)表述: 同底数幂相乘,底数不变,指数相加.

m?nmnm?n证明:?am?an?(a?a?a?????a)(a?a?a?????a)?a?a?a?????a?a?a?a?a(m,n是整数) ???????????????????

m个an个a(m?n)个a

a?a2、a÷mnm-n(m,n是整数)表述: 同底数幂相除,底数不变,指数相减.

m个a?????a?a?????amnm-nm?na÷a?a(m,n是整数) 证明:∵am?an? ∴?a?a?????a?a?????a?a???????a(m?n)个a???

n个a

3、(a)?a(m,n是整数)表述: 幂的乘方,底数不变,指数相乘. mnmn

?a????????a证明:∵(a)?a?????a

n个ammnmmmn个m???????m?m?????m?amn ∴(am)n?amn(m,n是整数)

4、(ab)?ab(n是整数)表述:积的乘方等于各因式乘方的积. nnn

(ab)?????(ab)?(a?a???????a)?(b?b???????b)?ab ∴(ab)?ab(n是整数) 证明:∵(ab)?(ab)????????????????

n个(ab)n个an个bnnnnnn

5、a?1(a≠0)表述:任何不等于0的数的0指数幂都等于1.

说明: ∵a?a?a

6、a?p?nnn?n0?a0,又an?an?1 ∴我们约定:a0?1(a≠0) 1(a≠0,p为正整数)表述: 任何不等于0的数的-p次幂,等于这个数的p次幂的倒数。 pa

mnam11mnm?n?a?(n?m)?a?p

说明: ∵设m?n,n?m?p,则a?a?n?n?m?p,又?a?a?aaaa

∴我们约定:a

?p?1(a≠0,p为正整数)pa

anan

7、()?n(n是整数)表述:分式的乘方等于分子分母分别乘方。 bb

第1页 主编:叶庆福

n个a?????anaaaa?a?????aananan

证明:∵()???????n(n是整数)∴ ()?n(n是整数)bbbbbbb?b?????b ?????b

n个b

anananan

?1nn?n证法二:∵()?(ab)?ab?n(n是整数)∴ ()?n(n是整数)bbbb 注:证法二说明分式的乘方()n可以转化为积的乘方(ab)。

8、平方差公式:(a?b)(a?b)?a?b表述:两个数的和与两个数差的积等于这两个数的平方差。 证明: (a?b)(a?b)?a?ab?ab?b?a?b

9、完全平方和公式:(a?b)?a?2ab?b

表述: 两个数和的平方,等于它们的平方和,加上它们的乘积的2倍

证明: (a?b)?a?ab?ab?b?a?2ab?b

10、完全平方差公式:(a?b)?a?2ab?b

表述:两数差的平方,等于它们的平方和,减去它们的乘积的2倍.

证明: (a?b)?a?ab?ab?b?a?2ab?b

11、十字交叉法公式:十字左边相乘等于二次项系数,右边相乘等于常数项,

交叉相乘再相加等于一次项系数。(ax?b)(cx?d)?acx?(ad?bc)x?bd.

证明: (ax?b)(cx?d)?ax?cx?ax?d?b?cx?bd?acx?(ad?bc)x?bd.

特例:(x?a)(x?b)?x?(a?b)x?ab,.

12、立方和公式:(a?b)(a?ab?b)?a?b.2233222ab?1n2222222222222222 表述:两数和,乘它们的平方和与它们的积的差,等于这两个数的立方和。

证明: (a?b)(a?ab?b)?a?ab?ab?ab?ab?b?a?b.

13、立方差公式:(a?b)(a?ab?b)?a?b. 22332232222333

第2页 主编:叶庆福

表述:两数差,乘它们的平方和与它们的积的和,等于这两个数的立方差。 证明: (a?b)(a?ab?b)?a?ab?ab?ab?ab?b?a?b.

(二)完全平方公式推广

1、项数推广:

(1)(a?b?c)?a?b?c?2ab?2ac?2bc

语言描述:三数和的平方,等于这三个数的平方和加上每两项的积的2倍。

证明:(a?b?c)2?[(a?b)?c]2?(a?b)2?2(a?b)c?c2

22222222222232222333 ?a?2ab?b?2ac?2bc?c?a?b?c?2ab?2ac?2bc

2(2)(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd

语言描述:四数和的平方,等于这四个数的平方和加上每两数的积的2倍。

22证明:(a+b+c+d)2=[(a+b)+(c+d)]=(a+b) 2+2(a+b)(c+d)+(c+d)

22222 = a+2ab+b+2(ac+ad+bc+bd)+ c+2cd+d= a2+b2+c2+d+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd

推广:几个数的和的平方,等于这几个数的平方和加上每两数的积的2倍。

注:①三数和、四数和的平方要求学生会推导,考试时大题应书写完整推导过程。

②如何计算“差”类问题:

2 222例:计算:(a-b+c)2= [a+(-b)+c]= a+(-b)+c+2a(-b)+2(-b)c+2ac=a2+b2+c2-2ab-2bc+2ac

2、次数推广:

计算并观察规律:

(a+b) 3= (a+b) 2 .(a+b)= (a+2ab+b)(a+b) =a +ab+2ab+2ab+ ab+b=a +3ab+3ab +b 22322223 3223

2222432232232234. (a+b) 4= (a+b) 2 (a+b)2= (a+2ab+b)(a+2ab+b) =a +2ab+ab+2ab+ 4ab+2ab +ab+2ab +b

n=a +4ab+6ab +4ab+b432234 规律:(a+b)=的展开式中

①每项的次数均为n

②按以上方式排列,正好是第一个字母的降幂排列,同时,也是第二个字母的升幂排列

③系数满足“杨辉三角”。

0 (a+b)=1 1

1(a+b)=a+b 1 1

2 (a+b)= a2+2ab+b2 1 2 1

33223(a+b)= a +3ab+3ab +b 1 3 3 1

4432234 (a+b)= a +4ab+6ab +4ab+b 1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

6 例:问(a+b)的展开式是什么?

6 分析:(a+b)的展开式各项应为:

第3页 主编:叶庆福

a ab ab ab ab ab b

对应系数为: 1 6 15 20 15 6 1

6 6542332456 解:(a+b) =a +6ab +15 ab +20 ab+15 ab+6 ab+ b

5例:求(a-b) 的展开式

5 54322345解:∵(a+b) =a +5ab +10 ab +10 ab+5 ab+b

5 554322345 ∴(a-b) =[a+(-b)]=a +5a(-b)+10 a(-b) +10 a(-b)+5 a(-b)+(-b)

54322345 =a -5ab +10 ab -10 ab+5 ab-b

(四) 整式的乘除有关法则

(1)单项式乘以单项式:把系数,同底数幂分别相乘,作为积的因式,对于只在一个单项式里含有的字母,

则连同它的指数作为积的一个因式。

(2)单项式乘以多项式:用单项式和多项式的每一项分别相乘,再把所得的积相加。

(3)多项式乘以多项式:先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘,再把所得的积相加。

(4) 单项除单项式:把系数,同底数幂分别相除,作为商的因式,对于只在被除式里含有字母,

则连同它的指数作为商的一个因式。

(5)多项式除以单项式:先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加。

注:不重不漏,按照顺序,注意常数项、负号 . (1)(2)(3)本质就是乘法分配律。

(五) 因式分解

1.因式分解:把一个多项式化为几个整式的积的形式,叫做因式分解,也叫做把这个多项式分解因式. 注:

(1)分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为止.

(2)弄清因式分解与整式乘法的内在的联系:互逆变形,因式分解是把和差化为积的形式,而整式乘法则是把积化为和差形式。

2.分解因式的常用方法有:

(1)提公因式法: 如多项式am?bm?cm?m(a?b?c),

其中m叫做这个多项式各项的公因式, m既可以是一个单项式,也可以是一个多项式.

注:提公因式法关键:找出公因式。

公因式三部分:① 系数(数字)一各项系数最大公约数;② 字母--各项含有的相同字母;

③ 指数--相同字母的最低次数;步骤:第一步是找出公因式;第二步是提取公因式并确定另一因式.需注意,提取完公因式后,另一个因式的项数与原多项式的项数一致,这一点可用来检验是否漏项.

另外注意:① 提取公因式后各因式应该是最简形式,即分解到“底”;② 如果多项式的第一项的系数是负的,一般要提出“-”号,使括号内的第一项的系数是正的.

6542 33245 6

第4页 主编:叶庆福

(2)运用公式法: 即用下面的公式直接写出结果.

a2?b2?(a?b)(a?b),a2?2ab?b2?(a?b)2,a3?b3?(a?b)(a2?ab?b2)

平方差公式: 两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的积。a、b可以是数也可是式子 完全平方公式:两个数平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍,等于这两个数的(或差)的平方.

(3)十字相乘法:对于二次项系数为l的二次三项式x?px?q, 寻找满足ab=q,a+b=p

的a,b,如有,则x2?px?q?(x?a)(x?b);对于一般的二次三项式ax?bx?c(a?0),寻找满足 a1a2=a,c1c2=c,a1c2+a2c1=b的a1,a2,c1,c2,如有,则ax?bx?c?(a1x?c1)(a2x?c2). 注:十字左边相乘等于二次项系数,右边相乘等于常数项,交叉相乘再相加等于一次项系数。

(4)分组分解法:把各项适当分组,先使分解因式能分组进行,再使分解因式在各组之间进行.

分组时要用到添括号:括号前面是“+”号,括到括号里的各项都不变符号;括号前面是“-”号,括到括号里的各项都改变符号.

(5)拆项、裂项法

(6)求根公式法:如果ax?bx?c?0(a?0),有两个根x1、x2 ,那么ax22222?bx?c?a(x?x1)(x?x2).

3.分解因式的步骤:

(1)先看各项有没有公因式,若有,则先提取公因式;

(2)再看能否使用公式法与十字交叉法;

(3)用分组分解法,即通过分组后提取各组公因式或运用公式法与十字交叉法来达到分解的目的;

(4)如前面(1)(2)(3)方法均不行,再考虑用拆项、裂项法与求根公式法。

注意:①因式分解与整式乘法的区别;

②完全平方公式、平方差公式中字母,不仅表示一个数,还可以表示单项式、多项式.

4.因式分解的要求:

(1)分解对象是多项式,分解结果必须是积的形式,且积的因式必须是整式,否则不是因式分解;

(2)因式分解必须是恒等变形;

(3)相同因式的乘积要写成乘方的形式。如(a?b)(a?b)要写成(a?b)形式。

(4)因式分解的结果必须分解到每个因式在有理数范围内或实数范围不能再分解为止.

2

第5页 主编:叶庆福

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