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第16章: 二次根式知识点及典型例题

发布时间:2014-03-28 15:04:56  

第17章:二次根式

第一课时:二次根式的概念与性质

知识点1:二次根式的定义:

(1)

a≥0)的式子叫做二次根式。

(2)

a≥0)表示非负数a的算术平方根

(3) 二次根式的要求

① 根指数为2

② 被开方数可以是数,也可以是单项式、多项式、分式等,但必须是非负数 类型一:二次根式的识别

例1

:已知式子 其中一定是二次根式的是 ①②④ 。

知识点2:二次根式中字母的取值范围:

(1) 二次根式有意义的条件:被开方数大于或等于0。

(2) 二次根式无意义的条件:被开方数小于0

(3) 二次根式做分母时: 被开方数大于0.

类型一:求字母的取值范围

例1:x取何值时,下列各式有意义?

(?1

x?61?x?2解得x≥5且x≠6.

1?有意义x?6

解得1<x≤3且x≠22?x?5≥0解:(1)由题意知??x?6≠0 所以当x≥5且x≠6?3?x≥0? (2)由题意知?2x?1>0

?x?2≠0?

所以当 1<x≤3且x≠221?有意义x?2类型二:根据字母隐含的的取值范围,求代数式的值(较难) 例2

:若x、y为实数,且y?

x2?4≥0,即x2≥4,

4?x2≥0, 即x2≤4,

所以x2?4,又因为x?2≠0,所以x?2,y?1

4

801班数学课堂讲义 第1 页

解:由题意知:x2?4≥0且4?x2≥0?x2?4,

1 又?x?2≠0,?x?2?y?4

3???2

知识点3:二次根式的性质:

(1)双重非负性:①被开方数为非负数,即a≥0;②二次根式的值为非负数,即a≥0

2(2)两个性质:性质1:(a)= a(a≥0)

语言叙述:一个非负数的算术平方根的平方等于它本身。

或叙述为:一个非负数先开平方再平方等于这个数本身。

?a(a≥0) 性质2

?a?? ??a(a<0)

语言叙述:一个数先平方再开平方等于这个数的绝对值。

证明:性质1:设x2?a①则x?

把x?x?2=a

2 把x?=a

性质2?x(x≥0),两边平方得:2?x2

(a≥0)

(a<0)?a 由性质1得:a2?x2(x≥0)所以x?a????a

(a≥0)?a ?a????a(a<0)

类型一:简单的计算与化简

例1:计算与化简

2;(4?

??8?1解:(1)2=22?2?4?3=12.??8?8(? 1?

(x≥0)

(x<0)?x?3 (4x?3???3?x

类型二:在实数范围内因式分解

例2:在实数范围内因式分解。

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(1)a2?3(2)16b2?11

解:(1)a2?3=a2?2?(aa

(2)16b2?11?(4b)2?2?(4b?b注:性质1

的逆用:a?2(a≥0)

类型三:利用非负数定理进行的较复杂的计算

2例3:已知实数x、y、z

满足2x?y?z?z?1?0, 4

求x+y+z的值。

1(z?)2?02

11因为2x?y≥0(z?)2≥0 且 2x?y??(z?)2=022

?x???x?y?04111??所以?2y?z?0解得?y??1所以x?y?z???(?)??0442?z??0?z??2?2解:原式化为:2x?y?

注:非负数定理:几个非负数和为0,则这几个非负数均为0.

类型四:根据字母的取值范围、字母隐含的的取值范围、图象或三角形三边关系等

?a(a≥0)?a??进行较复杂的化简 ?a(a<0)?例4

(2?x?3)

解:?2?x?3?x?0,x?2?0,x?3?0

?原式=x?x?2?x?3?x?(x?2)?(3?x)?3x?5

注: x?3=?(x?3)?3?x

例5

2

?2x?1要脱掉绝对值符号

必须知道2x?1是大于0,还是小于0.

2x?3≥0 所以2x≥3,从而2x?1?0

又?2x?1=2x?1

?原式=(2x?1)?(2x?3)?2x?1?2x?3?2

例6:实数a,b

在数轴上数轴上位置如图所示,化简a?b801班数学课堂讲义 第3 页

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