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第6章 实数知识点及典型例题

发布时间:2014-03-28 17:02:55  

第6章 实数

(一) 平方根

1、平方根的含义:如果一个数的平方等于a,那么这个数就叫做a的平方根。

2

即x?a,解得:x?(a≥0),x叫做a的平方根。正数a的平方根用?a表示, 其中a叫做正平方根,也称为算术平方根,?a叫做a的负平方根,也称为算术平方根的相反数。 注意点:

(1)一个正数有两个平方根,它们互为相反数:记作?a(根指数2省略)

0有一个平方根,为0,记作?0,负数没有平方根。

?0,负数没有算术平方根。

(2)平方与开平方互为逆运算 开平方:求一个数a的平方根的运算。

(3)熟记:112?121,122?144,132?169,142?196,152?225,162?256,172?289,182?324,192?361

(4

a≥0)

a≥0)表示非负数a的算术平方根。二次根式的要求:

①根指数为2 ②被开方数可以是数,也可以是单项式、多项式、分式等,但必须是非负数。

(5)二次根式中字母的取值范围:二次根式有意义的条件:被开方数大于或等于0。

二次根式无意义的条件:被开方数小于0,二次根式做分母时: 被开方数大于0.

例1:求下列各数的平方根:

(1)81 (2)16 25 (3)21 4

2 (4)0.49 例2:下列各数有平方根吗?如果有,求出它的平方根;如果没有,要说明理由。 (1)-64 (2)0 (3)??14? (4)10 ?2

例3:求下列各数的算术平方根:

(1)25 (2)49 64 (3)0.81 (4)

例4:求下列各式的值:

(1) (2)?(4)236 12111? 416(3)?.0001

例5:(1)已知正方形的边长为5cm,求这个正方形的面积;

(2)已知正方形的面积是25cm2,求这个正方形的边长。

2例6:判断下列语句是否正确,正确的打“√”,错误的画“×”,并将错误改正。 (1)7是??7?的算术平方根; (

(3)36等于?6; (

2)(2)?25的平方根是?5;( ) ) ) (4)的平方根是?2;( (5)6是??6?的平方根; ( )(6)是10的一个平方根; (

) ) (7)正数的平方比它的算术平方根大。(

例7:求下列各式中x的值:

(1)x?144 22(2)81x?64?0

第1页 主编:叶庆福

例8:的平方根是几? 例9

:若x、y为实数,且y?

1

,

x?2

2、平方根的性质(即二次根式的性质)

(1)双重非负性:①被开方数为非负数,即a≥0;②二次根式的值为非负数,即a≥0

?a(a≥0)

(2)两个性质:性质1:(a)= a(a≥0) 性质2

?a??

?a(a<0)?

2

性质1:语言叙述:一个非负数的算术平方根的平方等于它本身。

或叙述为:一个非负数先开算术平方根再平方等于这个数本身。

性质2:语言叙述:一个数先平方再开算术平方根等于这个数的绝对值。

证明:性质1:设x2?a①则x? 把x?

x?2

=a

2

把x?=a

性质2?x2

(x≥0),两边平方得:2?x

?a

由性质1得:a2?x2(x≥0)所以x?a??

??a

(a≥0)?a

?a??

??a(a<0)

注:(1)性质1

的逆用:a?2

(a≥0)(a<0)

(a≥0)

(2) 非负数定理的运用:几个非负数和为0,则这几个非负数均为0。

2

(3

不同点:①从运算顺序来看:

2先开方后平方

即2表示一个正数a

②从取值范围来看::a≥0

22

a的平方的算术平方根;

a可以是正数、0、负数。

③从运算结果看:(a)= a(a≥0)

?a(a≥0)

?a??

?a(a<0)?

2

联系:①当被开方数都是非负数,即a≥0时?

②当a<0时?a??a 例1:求下列各数的平方根:

(1)81 (2)

2

?a

16

25

(3)2

1 4

(4)0.49 (5)??14? (6)10 (7)0

?2

2

例2:求下列各数的算术平方根:

(1)25

(2)

49 64

(3)0.81

(4)

第2页 主编:叶庆福

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