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北师版数学(八年上)

发布时间:2014-03-28 17:02:59  

义务教育课程标准实验教科书数学八年级 上册

练习册

第一章 勾股定理

单元总览

勾股定理是平面几何有关度量的最基本定理之一,它从边的角度进一步刻画了直角三角形的特征,学习勾股定理及其逆定理是进一步认识和理解直角三角形的需要,也是后续有关几何度量运算和代数学习必要的基础,因而勾股定理具有学科的基础性和广泛的运用.我们不应只满足于掌握勾股定理及其逆定理,并运用它们解决具体问题,还要经历勾股定理及其逆定理的探究过程,在探究过程中进一步丰富数学活动经验,发展推理能力和分析问题、解决问题的能力,同时感受勾股定理的文化价值.

本章知识结构图:

化归

1 探索勾股定理(1)

一、目标导航

教学目标:

①经历用数格子的办法探索勾股定理的过程,进一步发展学生的合情推理意识,主动探究的习惯,进一步体会数学与现实生活的紧密联系.

②探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系,进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力. 二、基础过关

1.如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c,那么它们的关系是,即直角三角形两直角边的_______ . 2.在Rt△ABC中,∠C=90°,若a=5,b=12,则c=. 3.如图,在下列横线上填上适当的值:

6

8

x

15

15

y

y

40404141

4041

5m

55

x=

y= y= m= m= m= n= n= n= n=

1

a3?, c=10,则a=,b=_______. b4

5.已知,甲、乙从同一地点出发,甲往东走了90m,乙往南走了120m,这时甲、乙两人相距 .

6.一个长方形的一条边长为3cm,面积为12cm2,那么它的一条对角线长为 .

7.一直角三角形的三边是三个连续的正整数,则此直角三角形的周长为.

8.如图,阴影部分的面积为( )

A.3 B.9 C.81 D.100

9.直角三角形两直角边分别为5cm和12cm,则其斜边的高为( ) 4.在Rt△ABC中,∠C=90°,若

60cm 13

10.如图,在四边形ABCD中,∠BAD=90°,∠DBC=90°,AD=3,AB=4,BC=12,则CD为( )

A.5 B.13 C.17 D.18 A.6cm B.8cm C.80cm 13 D.

D

A

B C

8题图 10题图

11.如图,某人欲垂直横渡一条河,由于水流的影响,他实际的上岸点C偏离了想要到达的点B有140m(即BC=140m),其结果是他在水中实际游了500m,求河宽为多少米?

A

12.已知等腰△ABC,AB=AC,腰长是13cm,底边是10cm,求:

(1)高AD的长;(2)△ABC的面积S?ABC.

13.在△ABC中AB=15,AC=13,高AD=12,求△ABC的周长.

三、能力提升

14.已知一个直角三角形的斜边与一条直角边的和为8,差为2,试求这个直角三角形三边 2

的长.

15.如图,在一棵树的10米高处有两只猴子,一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处.另一只爬到树顶D后直接跃到A处,距离以直线计算,如果两只猴子所经过的距离相等,则这棵树高 米.

四、聚沙成塔

我国明朝数学家程大位(1533-1606)写过一本数学著作《直指算法统宗》,其中有一道与荡秋千有关的数学问题是用《西江月》词牌写的:

平地秋千未起,踏板一尺离地;

送行二步与人齐,五尺人高曾记.

仕女佳人蹴,终朝笑语欢嬉;

良工高士素好奇,算出索长有几?

3

1 探索勾股定理(2)

一、目标导航

知识目标:掌握勾股定理和它的简单应用.

能力目标:经历运用割补的方法说明勾股定理是正确的过程,在数学活动中发展学生的探究意识和合作交流的习惯.

二、基础过关

1.直角三角形的两边长分别是3cm、4cm,则第三边长是.

2.等腰直角三角形的斜边长是12cm,它的面积是cm2.

3.一个长350m,宽120m的长方形公园ABCD,如果某人要从公园的一角A走到另一角C,那么他至少要走 米.

4.如图,以直角三角形三边为直径的三个半圆面积A、B、C?之间的关系是:___________.

5.如图,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A,B,C,D的面积之和为 cm2.

C

D

C

A A A C

B7cm B

4题图 5题图 6题图 10题图

6.如图,一棵大树在一次强台风中在离地面5米处折断倒下,倒下部分与地面成30○夹角,这棵大树在折断前的高度为( )

A.10米 B.15米 C.25米 D.30米

7.已知有不重合的两点A和B,以点A和点B为其中两个顶点作位置不同的等腰直角三角形,一共可以作出( )

A.2个 B.4个 C.6个 D.8个

8.若边长分别为2,4,x的三角形为直角三角形,则x的可能值为( )

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

9.把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍,则其斜边扩大到原来的( )

A.2倍 B.4倍 C.2.5倍 D.3倍

10.如图,在△ABC中,三边a,b,c的大小关系是( )

A.a<b<c B.c<a<b C. a<c<b D.b<a<c

11.如果Rt△两直角边的比为5∶12,则斜边上的高与斜边的比为( )

A.60∶13 B.5∶12 C.12∶13 D.60∶169

12.如果Rt△的两直角边长分别为n2-1,2n(n >1),那么它的斜边长是( )

A.2n B.n+1 C.n2-1 D.n2+1

13.在△ABC中,∠C=Rt∠,BC=a,AC=b,AB=c.

4

(1)a=9,b=12,求c;(2)a=9,c=41,求b;(3)b=24,c=26,求a.

14.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90○,CD⊥AB于D,若 AC=8,BC=15,求CD的长.

15.求斜边是29m,一条直角边是21m的直角三角形土地的面积.

三、能力提升

16.如图,一个长为2.5m的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为0.7m,如果梯子的顶端下滑0.4m,那么梯子的底端也将右滑0.4 m吗?为什么?

17.有一条24cm长的铁丝弯成一个直角三角形,要使它的一条直角边比另一条直角边长2cm,应该怎样弯呢?

18.如图,有一块直角三角形纸片,两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿直线 AD折叠,使它落在斜边AB上,且与AE重合,求CD的长.

5

A

E

四、聚沙成塔

从课本上,我们已经知道,中国古代数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”(弦图),由形数结合得到方法,给出了勾股定理的详细证明.他利用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系,既具严密性,又具直观性,为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范.

据说,古印度的数学家兼天文学家婆什迦罗利用如下图的拼图证明了勾股定理.他是如何证明的呢?试一试,看看你能否对此作出解释. C D B

c

b

a

6

1 探索勾股定理(3)

一、目标导航

知识目标:掌握勾股定理和它的简单应用.

能力目标:经历运用割补的方法说明勾股定理是正确的过程,在数学活动中发展学生的探究意识和合作交流的习惯.

二、基础过关

1.在Rt△ABC中,∠C=90○,AC=6,BC=8,则AB= .

2.在Rt△ABC中,∠C=90○,AC=9,AB=15,则BC= .

3.已知直角三角形的两直角边分别是3cm、4cm,则第三边的高是.

4.在等腰△ABC中,AB=AC=17cm,BC=16cm,则BC边上的高AD=

5.如图,阴影部分是一个正方形,则此正方形的面积为.

6.如图,在Rt△ABC中,∠C=90○,AD平分∠BAC交BC于D,DE是斜边AB的垂直平分线,且DE=1cm,则BC= .

C

D

东 BEA

5题图 6题图 10题图

7.在Rt△ABC中,∠A=90°,若a+b=16,a∶c=5∶3,则b=_____

8.若直角三角形的三条边长为三个连续的整数,那么以这三边为边长的三个正方形的面积分别为( )

A.3,4,5 B.9,16,25 C.6,8,10 D.8,12,24

9.在△ABC中,三条边a、b、c上的高分别是6cm、4cm、3cm,那么三边的比为( )

A.1∶2∶3 B.2∶3∶4 C.6∶4∶3 D.不能确定

10.已知,如图,一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行,另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行,离开港口2小时后,则两船相距( )

A.25海里 B.30海里 C.35海里 D.40海里

三、能力提升

11.要登上8m高的建筑物,为了安全需要,需使梯子底端离建筑物6m,至少需要多长的梯子?(画出示意图)

7

12.已知,如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD是角平分线,CD=1.5,BD=2.5,求AC的长.

C

D

B A

13.如图,Rt△ABC,BC是斜边,P是三角形内一点,将△ABP绕点A逆时针旋转后,能与△ACP′重合,如果AP=6,求PP′2的长.

A

P′

B C

14.已知:如图,△ABC中,∠C=90°,点O为△ABC的三条角平分线的交点,OD⊥BC,OE⊥AC,OF⊥AB,点D、E、F分别是垂足,且BC=8cm,CA=6cm,则点O到三边AB,AC和BC的距离分别等于多少.

C

E

A F B

15.△ABC中,BC=a,CA=b,AB=c,若∠C=90○.如图1,根据勾股定理,则a2+b2=c2.若△ABC不是直角三角形,如图2和图3,请你类比勾股定理,试猜想a2+b2与c2的关系,并证明你的结论.

8

图1 图2 图3

四、聚沙成塔

四年一度的国际数学家大会会标如图甲.它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.若大正方形的面积为13,每个直角三角形两条直角边的和是5.

(1)求中间小正方形的面积.

(2)现有一张长为6.5cm、宽为2cm的纸片,如图乙,请你将它分割成6块,再拼合成一个正方形.(要求:先在图乙中画出分割线,再画出拼成的正方形并表明相应数据)

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