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中考数学总复习讲义02:空间与图形

发布时间:2014-03-29 17:32:38  

中考数学总复习:空间与图形考点总结

第一章:线段、角、相交线、平行线

考点1 三种基本图形—直线、射线、线段:

1、直线:直线是几何中不加定义的基本概念,直线的两大特征是“直”和“向两边无限延伸”。

直线公理:经过两点有且只有 一 条直线。注:两直线相交,只有一个交点。

2、射线:直线上一点和它的一旁的部分叫做射线。射线的特征:“向一方无限延伸,它有一个端点。”

两条射线为同一射线必须同时具备:①端点是同一点 ;②延伸方向相同;

3、线段:直线上两点和它之间的部分叫做线段,这两点叫做线段的端点。

线段公理:两点之间,线段最短;说明:两个点之间连线有很多条,但只有线段最短,这条线段的长度,就叫做这两点之间的距离。

线段的中点:

①定义:如图1一1中,点B把线段AC分成两条相等的线段,点B叫做线段AC的中点。 ②表示法:∵AB=BC∴点 B为 AC的中点 或∵ AB=

或∵AC=2AB,∴点B为AC的中点

反之也成立

∵点 B为AC的中点,∴AB=BC 或∵点B为AC的中点, ∴AB=

AC的中点, ∴AC=2BC

考点2 角:

1)角的两种定义:

① 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角,这个公共端点叫做角的顶点 ,这两条射线叫做角的边。注:角是由两条射线组成的图形;这两条射线必须有一个公共端点。

② 一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角。注:起始位置的射线与终止位置的射线就形成了一个角。

2)角的度量与角的分类:

角的度量:度量角的大小,可用“度”作为度量单位。把一个圆周分成360等份,每一份叫做一度的角。1度=60分;1分=60秒。

角的分类:

(1)锐角:小于直角的角叫做锐角

(2)直角:平角的一半叫做直角

(3)钝角:大于直角而小于平角的角

(4)平角:把一条射线,绕着它的端点顺着一个方向旋转,当终止位置和起始位置成一直线

时,所成的角叫做平角。

(5)周角:把一条射线,绕着它的端点顺着一个方向旋转,当终边和始边重合时,所成的角

叫做周角。

(6)周角、平角、直角的关系是: l周角=2平角=4直角=360°

中考数学第一轮总复习:空间与图形 第1页

1MAC ∴点 B为AC的中点,21AC 或∵点B为2

初中阶段只要求小于平角的角

3)角的比较方法:① 叠合法 ②度量法

4)角平分线:

一条射线把一个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的平分线。

表示法有三种:如图1—2

(1)∠AOC=∠BOC

(2)∠AOB=2∠AOC= 2∠COB

(3)∠AOC=∠COB=

性质:角平分线上的点到这个角两边的距离相等;

判定:到一个角两边的距离相等的点在这个角的角平分线上。

考点3 互为余角、互为补角、邻补角:

1)互为余角:如果两个角的和是一个直角,这两个角叫做互为余角。

如果∠1和∠2互为余角,那么∠1+∠2= 90°;

2)互为补角:如果两个角的和是一个平角,这两个角做互为补角。

如果∠1和∠2互为补角,那么∠1+∠2= 180°;

3)邻补角:有公共顶点,一条公共边,另两条边互为反向延长线的两个角做互为邻补角。

注:互余、互补是指两个角的数量关系,与两个角的位置无关,而互为邻补角则要求两个角有特殊的位置关系。

4)性质定理:同角或等角的余角相等,同角或等角的补角相等。

考点4 对顶角:

1)定义:一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线,这两个角叫对顶角;

2)对顶角的性质:对顶角相等。

考点5 平行线:

1)平行线的定义:在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线;

2)两直线平行的表示方法:直线AB与直线CD平行,可以表示为 AB∥CD或CD∥AB;

3)平行线的性质:

①平行公理:经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行;

②平行公理的推论: 如果两条直线都和第三条直线平行,那么这样两条直线也互相平行。 说明:也可以说两条射线或两条线段平行,这实际上是指它们所在的直线平行。

考点6 相交线与垂直:

1)斜线:两条直线相交不成直角时,其中一条直线叫做另一条直线的斜线。它们的交点叫做斜足。

中考数学第一轮总复习:空间与图形 第2页

1∠AOB 2

垂线::当两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,就说这两条直线互相垂直。当两条直线互相垂直时,其中的一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足。

2) 垂直的性质:

①平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;

②直线外一点与直线上各点连结的所有线段中,垂线段最短。简单说:垂线段最短。

3)两点的距离:连结两点的线段的长度叫做两点的距离。

点到直线的距离:过直线外一点作已知直线的垂线,这点与垂足之间的线段叫做垂线段,

它的长度叫做点到直线的距离,

两条平行线的距离:两条直线平行,从一条直线上的任意一点向另一条直线引垂线,

垂线段的长度,叫做两条平行线的距离。

说明:点到直线的距离和平行线的距离实际上是两个特殊点之间的距离,

它们与点到直线的垂线段是分不开的。

考点7 平行线的性质和判定方法:

1) 平行线的判定方法: 2)平行线的性质:

① 同位角相等 ,两直线平行; ①两直线平行,同位角相等;

② 内错角相等,两直线平行; ②两直线平行,内错角相等;

③ 同旁内角互补,两直线平行; ③两直线平行,同旁内角互补.

说明:要证明两条直线平行,用平行线判定公理(或定理);

在已知条件中有两条直线平行时,则应用平行线性质定理。

补充:如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边,那么这两个角相等或互补。

注意:当角的两边平行且方向相同(或相反)时,这两个角相等。

当角的两边平行且一边方向相同另一方向相反时,这两个角互补。

第二章:三角形

考点1 三角形的概念及其基本元素:

由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

组成三角形的线段叫三角形的边;相邻两边的公共端点叫三角形的顶点;相邻两边所组成的角叫三角形的内角,简称三角形的角。三角形有三条边,三个顶点,三个内角;

考点2 三角形的分类:

?锐角三角形?1)按角分:三角形?直角三角形

?钝角三角形?

中考数学第一轮总复习:空间与图形 第3页

用集合表示,见图

不相等)?不等边三角形(三边都? 2)按边分:三角形?底边和腰不相等 ?等腰三角形???等边三角形?

用集合表示,见图2-4

考点3 三角形的重要线段:

在三角形中,最重要的三种线段是三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高线。 如图 2-l, AD、 BE、 CF都是么ABC的角平分线,它们都在△ABC内 如图2-2,AD、BE、CF都是△ABC的中线,它们都在△ABC内

而图2-3,说明高线不一定在 △ABC内,

中考数学第一轮总复习:空间与图形 第4页

图2—3—(1) 图2—3—(2) 图2-3一(3)

图2-3—(1),中三条高线都在△ ABC内,

图2-3-(2),中高线CD在△ABC内,而高线AC与BC是三角形的边;

图2-3一(3),中高线BE在△ABC内,而高线AD、CF在△ABC外。

注意:三角形的三条角平分线的交点在三角形的内部;三角形的三条中线的交点在三角形的内部; 锐角三角形的三条高的交点在三角形的内部;直角三角形的三条高的交点是直角顶点;钝角三角形的三条高所在直线的交点在三角形的外部;

性质:三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半。注:三角形的中位线是一条线段,它的两个端点分别是三角形两边的中点;一个三角形有三条中位线。

考点4 三角形三边的关系:

1)三角形任意两边的和大于第三边; 2)三角形任意两边的差小于第三边。

注意:运用“三角形中任意两边的和大于第三边”可以判断三条线段能否组成三角形,也可以检查较小的两边的和是否大于等三边。不符合定理的三条线段,不能组成三角形的三边。

例如三条线段长分别为5,6,12.因为5+6<12,所以这三条线段,不能作为三角形的三边。

考点5 三角形各角的关系:

1)三角形的内角和等于 180 度,特别地,当有一个角是90°时,其余的两个角互余;

2)三角形的任意一个外角等于和它不相邻的两个内角的和,三角形的任意一个外角大于任意一个和它不相邻的内角;

3)任意三角形中,最多有三个锐角,最少有两个锐角,最多有一个钝角,最多有一个直角。 注:三角形一边与另一边的延长线组成的角,叫三角形的外角。

考点6 三角形的重心概念及其性质:

1)三角形的重心概念:三角形三条中线的交点称为三角形的重心;

2)三角形的重心性质:三角形的重心到中线与边的交点的距离等于该中线长的

考点7 全等图形及全等三角形:

1)两个能够完全重合的图形称为全等图形,全等图形的形状和大小都相同;

2)能够完全重合的两个三角形叫全等三角形;

注意:完全重合有两层含义:① 图形的形状相同;② 图形的大小相等。

考点8 全等三角形的性质:

全等三角形的对应边相等;全等三角形的对应角相等。

全等用符号“≌”表示

中考数学第一轮总复习:空间与图形 第5页

1。 3

考点9 三角形全等的判定方法:

1)三条边对应相等的两个三角形全等(简记为SSS);

2)两个角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(简记为ASA);

3)两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(简记为AAS);

4)两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简记为SAS);

5)斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(简记为HL).

强调:判定两个三角形全等,无论用哪种方法,都要有三组元素对应相等,且至少有一组对应边相等;一定要是两边夹角SAS,而不能是边边角SSA。

说明:三角形具有稳定性实际就是利用的“SSS”。

考点10 等腰三角形的概念和性质:

1)定义:有两边相等的三角形是等腰三角形;

2)性质:

① 等腰三角形的两腰相等,两个底角相等;

② 等腰三角形的顶角平分线,底边上的高线,底边上的中线互相重合(简称“三线合一”); ③ 等腰三角形是轴对称图形。

注:等腰三角形底边中线上的任一点到两腰的距离相等,因为等腰三角形底边中线就是顶角的角平分线、而角平分线上的点到角的两边距离相等

考点11 等腰三角形的判定

1)定义法——证明两边相等;

2)如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(等角对等边);

考点12 等边三角形:

1)等边三角形的性质:

① 等边三角形的三条边相等;

② 等边三角形的每个角都等于60°;

③ 等边三角形是轴对称图形,并且有三条对称轴。

说明:等边三角形是特殊的等腰三角形,它具有等腰三角形的所有性质。

2)等边三角形的判定:

① 三边都相等的三角形叫做等边三角形(定义);

② 三个角都相等的三角形是等边三角形;

③ 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。

考点13 线段的垂直平分线、角的平分线

中考数学第一轮总复习:空间与图形 第6页

线段的垂直平分线:

1)性质:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等;

2)判定:到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。

说明:线段的垂直平分线可以看作到线段两个端点距离相等的所有点的集合。

角的平分线:

1)性质:在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

2)判定:到一个角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上。

说明: 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。

考点14 直角三角形的定义和内角的关系:

1)定义:有一个角是直角的三角形是直角三角形;

2)直角三角形的内角关系:

① 直角三角形的两锐角互余;

② 直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半;

③ 在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半。 注意:如果一个三角形中有两个角互余,那么这个三角形可以证明是直角三角形。

考点15 勾股定理:

如果直角三角形的两直角边分别为a、b,斜边为c,那么a?b?c

应用:① 已知直角三角形的两条边,求第三边;

② 已知直角三角形的一边,确定另外两边的关系;

③ 证明带平方关系的问题;

④ 把实际问题转化为直角三角形中应用勾股定理的问题。

说明:能构成直角三角形的三条边长的三个正整数,称为勾股数(要求熟记勾股数3、4、5; 5、

12,13;8,15,17;7,24,25)。

考点16 勾股定理的逆定理:

如果三角形的三条边a、b、c满足a?b?c,那么这个三角形是直角三角形。

应用:① 判断某三角形是否为直角三角形;

② 判断三角形的形状; ③ 证明两条线段垂直; ④ 实际应用。

考点17 命题、定义、定理、公理:

1)在日常生活中,为了交流方便,我们就要对名称和术语的含义加以描述,作出明确的规定,也就是给他们下定义;

中考数学第一轮总复习:空间与图形 第7页

222222

2)命题判断一件事情的句子。正确的命题叫真命题,错误的命题叫假命题;每个命题都由题设和结论两部分组成;

3)公认的真命题称为公理;除了公理外,其他真命题的正确性都通过推理的方法证明,推理的过程称为证明,经过证明的真命题称为定理。

考点18 互逆定理、互逆命题及其关系:

1)互逆命题:在两个命题中,如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设,那么这两个命题称为互逆命题;如果一个叫原命题,那么另一个叫它的逆命题;

2)互逆定理:一般地,如果一个定理的逆命题经过证明是正确的,其中一个定理为另一个定理的逆定理。

注:一个定理不一定有逆定理,例如定理:“对顶角相等”就没逆定理,因为“相等的角是对顶角”这是一个假命颗。

考点19 尺规作图:限定用直尺和圆规来画图,

最基本、最常用的尺规作图.通常称为基本作图,

1)做一条线段等于己知线段。用圆规截取。

2)作一个角等于已知角:作法是使三角形全等(SSS),从而得到对应角相等;

3) 作角的平分线:作法仍是使三角形全等(SSS).从而得到对应角相等。

4)经过一点作已知直线的垂线:(1)若点在已知直线上,可看作是平分已知角平角;

(2)若点在已知直线外,可用类似平分已知角的方法去做:已知点 C为直线外一点,

则以C为圆心,适当长为半径作弧交已知直线于A、B两点,再以A、B为圆心,用相同的长为半径分别作弧交于D点,连结CD即为所求垂线。利用线段的垂直平分线判定定理。

5)作线段的垂直平分线:线段的垂直平分线也叫中垂线。做法的实质仍是全等三角形(SSS)。

也可以用这个方法作线段的中点。

6)利用基本作图作三角形

7)过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆

考点20 轴对称和轴对称图形

把一个图形沿着某一条直线折叠,如果能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条

直线轴对称,两个图形中的对应点叫关于这条直线的对称点,这条直线叫对称轴。

两个图形关于直线对称也叫轴对称。

定理1:关于某条直线对称的两个图形是全等形。

定理2:如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。

定理3:两个图形关于某条直线对称,如果它们的对应线段或延长相交。那么交点在对称轴上。 逆定理:如果两个图形的对应点连线被一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称。 如果一个图形沿着一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形叫做轴对称图

形,这条直线就是对称轴。

例如:等腰三角形顶角的分角线就具有上面所述的特点,所以等腰三角形顶角的分角线是等腰

三角形的一条对称轴,而等腰三角形是轴对称图形。

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第三章:四边形

考点1 多边形:

在平面内,由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形。组成多边形的各条线段叫做多边形的边;每相邻两条边的公共顶点叫做多边形的顶点;在多边形中,连结不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线;多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角。多边形的角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做多边形的外角。多边形的周长:多边形各边的长度和叫做多边形的周长。凸多边形:把多边形的任何一条边向两方延长,如果多边形的其他各边都在延长线所得直线的问旁,这样的多边形叫凸多边形。

注:一个多边形至少要有三条边,有三条边的叫做三角形;有四条边的叫做四边形;有几条边的叫做几边形。今后所说的多边形,如果不特别声明,都是指凸多边形。

多边形的外角也就是与它有公共顶点的内角的邻补角。

考点2 多边形的内角和与外角和:

n边形的内角和等于(n?2)?180?;n边形的外角和都等于360°。

注:多边形的外角和是一个常数(与边数无关),利用它解决有关计算题比利用多边形内角和公式及对角线求法公式简单。无论用哪个公式解决有关计算,都要与解方程联系起

来,掌握计算方法。

考点3 多边形的对角线:

n边形共有n(n?3)条对角线。 2

注:利用上述公式,可以由一个多边形的边数计算出它的对角线的条数,也可以由一个多边形的对角线的条数求出它的边数。

考点4 平面图形的镶嵌:

只用一种(三、四、六)正多边形镶嵌;

用形状大小相同的一种或几种平面图形进行拼接,彼此之间不留空隙,不重叠的铺成一片,就是平面图形的密铺,又称作平面图形的镶嵌。要实现平面图形的镶嵌,必须保证每个拼接点处的角恰好能拼成一个周角。

考点5 平行四边形的定义和性质:

1)定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形;

2)平行四边形的性质:

① 平行四边形两组对边分别平行且相等;

② 平行四边形的两组对角分别相等;

③ 平行四边形的对角线互相平分;

④ 平行四边形是中心对称图形,它的对称中心是两条对角线的交点。

考点6 平行四边形的判定:

中考数学第一轮总复习:空间与图形 第9页

① 定义法:两组对边分别平行的四边形是平行四边形;

② 两组对边分别相等的四边形是平行四边形;

③ 两组对角分别相等的四边形是平行四边形;

④ 对角线互相平分的四边形是平行四边形;

⑤ 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

易错点:一组对边相等,一组对角相等的四边形不一定是平行四边形。

反例如下:如图所示,△ABE是等腰三角形,作△DCA≌△EAC,

所以∠B=∠E=∠D,AB=AE=DC,显然,四边形ABCD不是平行四边形。

注:(1)平行四边形的定义、性质和判定是研究特殊平行四边形的基础。同时又是证明线段相等,

角相等或两条直线互相平行的重要方法。

(2)平行四边形的定义即是平行四边形的一个性质,又是平行四边形的一个判定方法。

考点7 平行四边形的面积:

平行四边形的面积=底×高

两条平行线中,一条直线的任意的一点到另一条直线的距离,叫做这两条平行线间的距离, 夹在两条平行线间的平行线段相等。

考点8 矩形的性质和判定:

1)定义:有一个角是直角的平行四边形是矩形;(通常也叫做长方形)

2)性质:① 矩形两组对边分别平行且相等,四个角都是直角,对角线互相平分且相等;

② 矩形既是轴对称图形又是中心对称图形,经过对边中点的两条直线是它的对称轴,

两条对角线的交点是它的对称中心。

3)判定:① 有一个角是直角的平行四边形是矩形;

② 有三个角是直角的四边形是矩形;(因为四边形的内角和等于360度,

已知有三个角都是直角,那么第四个角必定是直角。)

③ 对角线相等的平行四边形是矩形。

要判定四边形是矩形的方法是:

方法一:先证明出是平行四边形,再证出有一个直角(这是用定义证明)

方法二:只需证出三个角都是直角。(这是判定定理1)

方法三:先证明出是平行四边形,再证出对角线相等(这是判定定理2)

注:矩形是特殊的平行四边形,从运动变化的观点来看,当平行四边形的一个内角变为90°时,其它的边、角位置也都随之变化。因此矩形的性质是在平行四边形的基础上扩充的.

考点9 菱形的性质和判定:

1)定义:一组邻边相等的平行四边形是菱形;

2)性质:① 菱形的两组对边分别平行且四条边都相等,对角线互相垂直平分,

并且每一条对角线平分每一组对角;

② 菱形既是轴对称图形又是中心对称图形,

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