haihongyuan.com
海量文库 文档专家
全站搜索:
您现在的位置:首页 > 初中教育 > 初中数学初中数学

一元二次函数知识汇总

发布时间:2014-04-03 12:00:27  

思致超越 知行合一

一元二次函数知识点汇总

1.定义:一般地,如果y?ax?bx?c(a,b,c是常数,a?0),那么y叫做x的一元二次函数.

2.二次函数y?ax的性质

(1)抛物线y?ax(a?0)的顶点是原点,对称轴是y轴.

(2)函数y?ax的图像与a的符号关系:

①当a?0时?抛物线开口向上?顶点为其最低点;②当a?0时?抛物线开口向下?顶点为其最高点

3.二次函数 y?ax?bx?c的图像是对称轴平行于(包括重合)y轴的抛物线.

22b4ac?b2. ??y?ax?bx?cy?ax?h?k,k?4.二次函数用配方法可化成:的形式,其中h??222222a4a

5.抛物线y?ax?bx?c的三要素:开口方向、对称轴、顶点.

①a决定抛物线的开口方向:

当a?0时,开口向上;当a?0时,开口向下;a越小,抛物线的开口越大,a越大,抛物线的开口越小。 ②对称轴为平行于y轴(或重合)的直线,记作x?h.特别地,y轴记作直线x?0.

③定点是抛物线的最值点[最大值(a?0时)或最小值(a?0时)],坐标为(h,k)。

6.求抛物线的顶点、对称轴的方法 2

b4ac?b2b?4ac?b2b?2(?)(1)公式法:y?ax?bx?c?a?x?,∴顶点是,对称轴是直线x??. ??2a?4a2a4a2a?

2(2)配方法:运用配方法将抛物线的解析式化为y?a?x?h??k的形式,得到顶点为(h,k),对称轴是x?h.

(3)运用抛物线的对称性:由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以抛物线上纵坐标相等的两个点连线的

垂直平分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点.

★用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失★

7.抛物线y?ax?bx?c中,a,b,c的作用

(1)a决定开口方向及开口大小,这与y?ax中的a完全一样.

(2)b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y?ax?bx?c的对称轴是直线x??

aa2222b,故: 2a①b?0时,对称轴为y轴;②b?0时,对称轴在y轴左侧;③b?0时,对称轴在y轴右侧.

(3)c的大小决定抛物线y?ax?bx?c与y轴交点的位置.

当x?0时,y?c,∴抛物线y?ax?bx?c与y轴有且只有一个交点(0,c):

① c?0,抛物线经过原点; ②c?0,与y轴交于正半轴;③c?0,与y轴交于负半轴.

以上三点中,当结论和条件互换时仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧,则 b?0. a

8. 二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式:

①y?ax;②y?ax?k;③y?a?x?h?;④y?a?x?h??k;⑤y?ax?bx?c.

2222222

9.用待定系数法求二次函数的解析式 Page 1 of 3 让每一个学生超越老师!

思致超越 知行合一

(1)一般式:y?ax?bx?c.已知图像上三点或三对x、y的值,通常选择一般式.

(2)顶点式:y?a?x?h??k.已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式. 22

(3)交点式:已知图像与x轴的交点坐标x1、x2,通常选用交点式:y?a?x?x1??x?x2?.

10.直线与抛物线的交点(或称二次函数与一次函数关系)

(1)y轴与抛物线y?ax?bx?c得交点为(0,c)

(2)与y轴平行的直线x?h与抛物线y?ax?bx?c有且只有一个交点(h,ah2?bh?c).

(3)抛物线与x轴的交点

二次函数y?ax?bx?c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2,是对应一元二次方程 222

ax2?bx?c?0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定:

①有两个交点???0?抛物线与x轴相交;

②有一个交点(顶点在x轴上)???0?抛物线与x轴相切;

③没有交点???0?抛物线与x轴相离.

(4)平行于x轴的直线与抛物线的交点

同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时,两交点的纵坐标相等,设纵坐标为k,则横坐标是ax2?bx?c?k的两个实数根.而根的存在情况仍如(3)一样由根的判别式判定。

(5)一次函数y?kx?n?k?0?的图像l与二次函数y?ax?bx?c?a?0?的图像G的交点,由方程组 2

?y?kx?n的解的数目来确定: ?2?y?ax?bx?c

①方程组有两组不同的解时?l与G有两个交点;

②方程组只有一组解时?l与G只有一个交点;③方程组无解时?l与G没有交点.

0?,B?x2,0?,(6)抛物线与x轴两交点之间的距离:若抛物线y?ax?bx?c与x轴两交点为A?x1,由于x1、x22

bcx?x??,x?x?是方程ax?bx?c?0的两个根,故由韦达定理知:1 212aa2

AB?x1?x2?x1?x222?x1?x22b2?4ac?b?4c ?4x1x2???????aaa?a?2211.二次函数与一元二次方程的关系: (1)一元二次方程0?ax?bx?c就是二次函数y?ax?bx?c当函数y的值为0时的情况.

(2)二次函数y?ax?bx?c的图象与x轴的交点有三种情况:有两个交点、有一个交点、没有交点;当二次

函数y?ax?bx?c的图象与x轴有交点时,交点的横坐标就是当y?0时自变量x的值,即一元二次方程ax?bx?c?0的根.

(3)当二次函数y?ax?bx?c的图象与x轴有两个交点时,则一元二次方程y?ax?bx?c有两个不相等的

实数根;当二次函数y?ax?bx?c的图象与x轴有一个交点时,则一元二次方程ax?bx?c?0有两个相等的实数根;当二次函数y?ax?bx?c的图象与x轴没有交点时,则一元二次方程ax?bx?c?0没有实数根

12.二次函数的应用:

(1)二次函数常用来解决最优化问题,这类问题实际上就是求函数的最大(小)值。一般而言,最大(小)值会在顶点处取得,达到最大(小)值时的x即为顶点横坐标值,最大(小)值也就是顶点纵坐标值。

(2)二次函数的应用包括以下方面:分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系;

运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值.

222222222

Page 2 of 3 让每一个学生超越老师!

思致超越 知行合一

青蓝教研组版权所有未经允许,请勿外传。

让每一个学生超越老师!教学地址:中南城B座2305-2307室Page1of1教务咨询:0513-81105045

Page 3 of 3 让每一个学生超越老师!

网站首页网站地图 站长统计
All rights reserved Powered by 海文库
copyright ©right 2010-2011。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit326@126.com