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【庆福数学】二次函数与反比例函数知识点总结及典型例题分析

发布时间:2014-04-03 12:00:29  

二次函数与反比例函数知识点总结及典型例题分析

题型1:二次函数的判定

例1.下列函数中,哪些是二次函数?

1(2)y?4(3)b?0.8(220?a)(4)y??5x2?5x(x?1) x1(5)y?3x2?4?x3(6)y??2?x2(7)y?ax2?3x?6(a为定值) (8)y?(m2?1)x2?3(m为定值)3(1)y?x2?

分析:一般地,形如y?ax2?bx?c(a、b、c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数。其

中x、y是变量,a、b、c是常量,a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项。判断函

数是否是二次函数, ①首先是要看它的右边是否为整式,②若是整式且仍能化简的要先将

其化简,③ 然后再看自变量是否为2,④最后看二次项系数是否为0这个关键条件

题型2:有关二次函数与一次函数、反比例函数的图象与系数的关系的问题.

二次函数y?ax2?bx?c中图象与系数的关系:(1)二次项系数aa的

大小决定开口的大小. a>0时,开口向上,a<0时,开口向下。a越大,开口越小。a越

小,开口越大。(2)一次项系数b,在a确定的前提下,b决定了抛物线对称轴的位置.若

bb在y轴左边,若ab?0,则对称轴x??在y轴的右侧。2a2a

b若b=0,则对称轴x??=0,即对称轴是y轴.概括的说就是“左同右异,y轴0” (3)常2aab?0,则对称轴x??

数项c,c决定了抛物线与y轴交点的位置.当c?0时,交点在y轴的正半轴上 ;当c?0时,

抛物线经过原点,;当c?0时,交点在y轴的负半轴上, 简记为“上正下负原点0”(4) △=b2

-4ac 决定了抛物线与x轴交点的个数. ① 当??0时,抛物线与x轴有两个交点 ② 当

抛物线与x轴只有一个交点; ③ 当??0时,抛物线与x轴没有交点.另外当a?0??0时,

时,图象落在x轴的上方,无论x为任何实数,都有y?0; 当a?0时,图象落在x轴的下

方,无论x为任何实数,都有y?0.

一次函数:y=kx+b(k,b是常数,k≠0) 中图象与系数的关系:

(1)走向:k>0,图象经过第一、三象限;k<0,图象经过第二、四象限

b>0,图象经过第一、二象限;b<0,图象经过第三、四象限

?k?0?k?0??直线经过第一、三、四象限 直线经过第一、二、三象限 ??b?0b?0??

?k?0?k?0?直线经过第一、二、四象限 ??直线经过第二、三、四象限 ?b?0b?0??

(2)增减性: k>0,y随x的增大而增大;k<0,y随x增大而减小.

(3)截距: 当b>0时,图象交于y轴正半轴, 当b<0时,图象交于y轴负半轴,当b=0时,

图象交于原点.

(4)倾斜度:|k|越大,图象越接近于y轴;|k|越小,图象越接近于x轴.

反比例函数:y=k(k为常数,k≠0)中图象与系数的关系: x

说明:1)反比例函数的增减性不连续,在讨论函数增减问题时,必须有“在每一个象限内

1

这一条件。

2)反比例函数图像的两个分只可以无限地接近x轴、y轴,但与x轴、y轴没有交点。 3)

越大,图象的弯曲度越小,曲线越平直.

越小,图象的弯曲度越大,双曲线越靠近坐标轴.

例1:.函数y=ax+b的图象经过一、二、三象限,则二次函数y=ax2+bx的大致图象是 ( B )

B【解析】本题考查【解析】由函数

y=ax+b的图象经过一、二、三象限,

可得:a>O,b>O,

则函数y=ax2+bx的

开口向上,对称轴

b为x=-<0, 2a

例2(’09湖北黄石市)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,

下列结论:①abc>0 ②2a+b<0 ③4a-2b+c<0 ④a+c>0,

例2图

其中正确结论的个数为( )

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

分析:从图像的开口方向和图像与y轴交点的纵坐标可以直接得到a<0,c>0.对于b,要根据

2

bb抛物线的对称轴来确定.若抛物线对称轴在y轴右侧,则<0,所以a、b异号;反之,a,2aa

b同号.本题中抛物线对称轴在y轴右侧,所以b>0;所以abc<0.对于2a+b,需要根据抛物线顶点

b横坐标与1的大小比较.观察图像可得, -<1,所以2a+b<0.而4a-2b+c是二次函数当自变2a

量取值为-2时的函数值,观察图像可发现点(-2, 4a-2b+c)在x轴下方,所以4a-2b+c<0.又由图像可得当x=1时的函数值a+b+c的绝对值大于x=-1时的函数值a-b+c的绝对值,所以a+b+c+ (a-b+c)>0,所以a+c>0.故选答案B.【点拨】由抛物线开口方向判定a的符号,由对称轴的位置判定b的符号,由抛物线与y轴交点位置判定c的符号。由抛物线与x轴的交点个数判定 4 ac 的符号,若 x轴标出了1和-1,则结合函数值可判定2a?b、b 2 ?

a?b?c、a?b?c的符号。

例3.二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=ax+c在同一坐标系中的图象大致是( )

A B C D

【解析】本题考查同一直角坐标系中两个函数图像的位置关系.首先通过计算可以知道这两个函数图像与y轴交于同一点(0,c),然后再采用排除法.对于A、B,直线y=ax+c与二次函数y=ax2+bx+c不经过同一点(0,c),所以不正确.对于C、D,直线都经过第一、二、四象限,所以a<0,所以抛物线开口向下.答案为D.

例4. (2011四川凉山州,12,4分)二次函数y?ax2?bx?c的图像如图所示,反比列函数y?

a与正比列函数y?bx在同一坐标系内的大致图像是( B )

xB

2A C D 例5. (2011

安徽芜湖,10,4分)二次函数y?ax?

bx?c的图象如图所示,则反比例函

数y?

a与一次函数y?bx?c在同一坐标系中的大致图象是( D ). x

3

例6.(’09安徽省芜湖)如图所示是二次函数y?ax?bx?c图象的一部分,

图象过A点(3,0),二次函数图象对称轴为x?1,给出四个结论:

①b?4ac;②bc?0;③2a?b?0;④a?b?c?0,其中正确结论

是( B. )

A.②④ B.①③ C.②③ D.①④

【解析】本题考查利用函数图像判断代数式的符号或大小问题.由抛物线开口22

x 例6

b向下能够得到a<0;由抛物线与y轴的交点可以得到c>0;=1能够推出b+2a=0,2a

在根据a<0

得出b>0,所以bc>0;当x=1时,y=a+b+c,根据图像可以观察到点(1,a+b+c)是抛物线的顶点,所以a+b+c>0.

例7.(2008安徽)如图为二次函数

①;②方程的根为的图象,在下列说法中: ,; ③;④当时,随着的增大而增大.

正确的说法有①②④ .(请写出所有正确说法的序号)

题型3:利用二次函数、反比例函数的增减性比较函数值的大小

例1 若二次函数y?ax?bx?4的图像开口向上,与x轴的交点为(4,0),(-2,0)知,此抛物线的对称轴为直线x=1,此时x1??1,x2?2时,对应的y1 与y2的大小关系是( C )

A.y1 <y2 B. y1 =y2 C. y1 >y2 D.不确定

点拨:本题可用两种解法 解法1:利用二次函数的对称性以及抛物线上函数值y随x的变化规律确定:a>0时,抛物线上越远离对称轴的点对应的函数值越大;a<0时,抛物线上越靠近对称轴的点对应的函数值越大.解法2:求值法:将已知两点代入函数解析式,求出a,b的值 再把横坐标值代入求出y1 与y2 的值,进而比较它们的大小

例2、已知抛物线y?ax?bx?c(a?0)的对称轴为x=2,且过A(-1,y1)、B(1,y2)、C(227,y3)三点,则y1、y2、y3的大小关系正确的是( ) 2

A、y1<y2<y3 B、y1<y3<y2

C、y3<y2<y1 D、y2<y3<y1

例3、 已知点(-1,y1),(-

( )

71,y2),(,y3)在函数y=3x2+6x+12的图象上,则y1,y2,y3 的大小为22

4

A y1>y2>y3 B y2>y1>y3 C y2>y3>y1 D y3>y1>y2

二次函数的图象与性质附图如下:二次函数y=ax2+bx+c图象的性质。 2

二次函数y?a(x?h)?k的图像和性质

5

例4:在反比例函数y??k(k?0)的图像上有三点?x1,y1?,?x2,y2?,?x3,y3? 。x

若x1?x2?0?x3则下列各式正确的是( A)A.y3?y1?y2 B.y3?y2?y1

C.y1?y2?y3 D.y1?y3?y2 解:用图像法,在直角坐标系中作出y??k(k?0)的图像草图, x

描出三个点,满足x1?x2?0?x3观察图像直接得到y3?y1?y2选A

1?2m的图象上有两点A?x1,y1?,B?x2,y2?,当x

1x1?0?x2时,有y1?y2,则m的取值范围是( )A.m?0 B.m?0 C.m? 2

1D.m? 2例5.(2008烟台)在反比例函数y?

题型4:有关抛物线的平移问题

由于抛物线的开口方向与开口大小均由二次项系数a确定,所以两个二次函数如果a相等,那么其中一个函数的图象可以由另一个函数的图象平移得到,所以形如y=ax2,y=ax2+k,y=a(x-h)2+k(a≠O,a、k、h为常数)形式的函数图象可以相互平移得到,而具体平移方式一般由各函数的顶点坐标来确定.平移方式如下图:任意抛物线y=ax2+bx+c可以由抛物线y=ax2经过适当地平移得到,具体平移方法下图所示:

数形结合法: ①将抛物线解析式转化成顶点式y?a?x?h?2 ?k,确定其顶点坐标?h,k?;

k?处。 (抓住顶点) ② 保持抛物线y?ax2的形状不变,将其顶点平移到?h,

公式法(结论法):概括成八个字“左加右减,上加下减”.

① 沿 x轴向左(右)平移h个单位得 y=a(x+h)2+b(x+h)+c (或 y=a(x-h)2+b(x-h)+c ) y=ax2沿 x轴向左(右)平移h个单位得y=a(x+h)2 (或y=a(x-h)2 )

2y=a(x+h)+k沿 x轴向左(右)平移m个单位得y=a(x+h+m)2+k (或y=a(x+h-m)2+k)

② y=ax2+bx+c 沿 y 轴向上(下)平移k个单位得 y=ax2+bx+c+k (或y=ax2+bx+c-k) y=ax2沿 y轴向上(下)平移k个单位得y=ax2 +k (或y=ax2-k)

2y=a(x+h)+k沿 y轴向上(下)平移n个单位得y=a(x+h)2+n(或y=a(x+h)2+n)

注:对于一般式抓住与y轴的交点或顶点,对于顶点式抓住顶点。

6

例1、将二次函数y??2x?8x?5的图象向左平移3个单位,再向下平移2个单位,求所得二次函数的解析式。 解:y??2x?8x?5??2(x?2)?3,将图象向左平移3个单位,再将图象向下平移2个单位,得y??2(x?2?3)?3?2,故所求的解析式为2222

y??2(x?1)2?1.或

194?2

2例3.已知a?b?c?0,a≠0,把抛物线y?ax?bx?c向下平移1个单位,再向左平

移5个单位所得到的新抛物线的顶点是(-2,0),求原抛物线的解析式。

分析:①由a?b?c?0可知:原抛物线的图像经过点(1,0);②新抛物线向右平移5个单位,再向上平移1个单位即得原抛物线。解:可设新抛物线的解析式为y?a(x?2),则原抛物线的解析式为y?a(x?2?5)?1,又易知原抛物线过点(1,0)∴0?a(1?2?5)?1,解得a??

∴ 原抛物线的解析式为:y??2221 41(x?3)2?1 4

2例4.(’09鄂州市)把抛物线y=ax+bx+c的图象先向右平移3个单位,再向下平移2个单

位,所得的图象的解析式是y=x-3x+5,则a+b+c=_17

【解析】.首先把抛物线y=x-3x+5化成顶点式然后把抛物线先向左平移3个单位得到再

向上平移2个单位得到=x2-9x+25,所以a+b+c=17.

题型5:求二次函数、反比例函数解析式的有关问题

1. 几种特殊的二次函数的图像特征如下:

22

7

2.二次函数三种表示方法:

(1)一般式:y?ax2?bx?c(a,b,c为常数,a?0); (2)顶点式:y?a(x?h)2?k(a,h,k为常数,a?0);

(3)交点式(两根式):y?a(x?x1)(x?x2)(a?0,x1,x2是抛物线与x轴两交点的横坐标)

3.求二次函数解析式的方法.

(1)利用待定系法求二次函数关系式时,一般先设函数关系式,然后通过解方程(组)来求待定的系数。有3种设法。①顶点未知时,设一般式:y?ax2?bx?c(a?0) ②已知顶点坐标为(h,k),设顶点式:y?a(x?h)2?k(a?0)

③已知抛物线与x轴两交点的坐标为(x1 ,0)与 (x2,0),设交点式y?a(x?x1)(x?x2)(a?0) 注:以下4种是以上3种的特例:①已知顶点在原点,可设y=ax2 (a?0) ②对称轴是y轴或顶点在y轴上,可设y=ax2+c(a?0)

③顶点在x轴上,可设y=a(x-h)2(a?0)④抛物线过原点,可设y=ax2+bx (a?0) 另外选择一般式时, 把三点或三对x、y的值代入外,有时通过对称轴方程或顶点坐标公式列方程.

例1、已知二次函数的图象经过点A(2,?)、B(7,6)、C(?5,30),求这个二次函数的解析式。

3

2

3?

4a?2b?c???2?2

解:设这个二次函数的解析式为y?ax?bx?c,则由题意得:?49a?7b?c?6

?25a?5b?c?30??

1515

解得a?,b??3,c?. 故所求的二次函数的解析式为y?x2?3x?.

2222

例2、已知二次函数图象的顶点为(2,5),且与y轴的交点的纵坐标为13,求这个二次函数的解析式。

解:设这个二次函数的解析式为y?a(x?2)?5. ∵它与y轴的交点为(0,13), ∴a(0?2)?5?13,∴a?2 故所求的解析式为y?2(x?2)?5. 即

2

2

2

y?2x2?8x?13

例3、已知二次函数的图象过点(-1,2),对称轴为x?1且最小值为-2,求这个函数的解析式。

8

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