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专题讲解——二次函数的图象3

发布时间:2014-04-03 12:00:32  

思致超越 知行合一

专题讲解——二次函数的图象

知识点回顾:

1. 二次函数解析式的几种形式:

①一般式:

②顶点式:y?ax2?bx?c(a、b、c为常数,a≠0) y?a(x?h)2?k(a、h、k为常数,a≠0),其中(h,k)为顶点坐标。

?a(x?x1)(x?x2),其中x1,x2是抛物线与x轴交点的横坐标,即一元二次方程ax2?bx?c?0的两 ③交点式:y

个根,且a≠0,(也叫两根式)。

2. 二次函数y?ax2?bx?c的图象

2y?ax?bx?c的图象是对称轴平行于(包括重合)y轴的抛物线,几个不同的二次函数,如果a相同,那么 ①二次函数

抛物线的开口方向,开口大小(即形状)完全相同,只是位置不同。

②任意抛物线y?a(x?h)2?k可以由抛物线y?ax2经过适当的平移得到,移动规律可简记为:[左加右减,上加下减],具体平移方法如下表所示。

③在画y?ax2?bx?c的图象时,可以先配方成y?a(x?h)2?k的形式,然后将y?ax2的图象上(下)左(右)

22y?ax?bx?cy?a(x?h)?k的形式,这样可以确定开口平移得到所求图象,即平移法;也可用描点法:也是将配成

方向,对称轴及顶点坐标。然后取图象与y轴的交点(0,c),及此点关于对称轴对称的点(2h,c);如果图象与x轴有两个交点,就直接取这两个点(x1,0),(x2,0)就行了;如果图象与x轴只有一个交点或无交点,那应该在对称轴两侧取对称点,(这两点不是与y轴交点及其对称点),一般画图象找5个点。

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4. 求抛物线的顶点、对称轴和最值的方法 ①配方法:将解析式

y?ax2?bx?c化为y?a(x?h)2?k的形式,顶点坐标为(h,k),对称轴为直线x?h,若a

y最小值?k;若a<0,y有最大值,当x=h时,y最大值?k。

x??

),求其顶点;对称轴是直线

>0,y有最小值,当x=h时,

b4ac?b2

?,

4a ②公式法:直接利用顶点坐标公式(2a

b

2a,若

b4ac?b2

a?0,y有最小值,当x??时,y最小值?;

2a4a若a?0,y有最大值,当b4ac?b2

x??时,y最大值?

2a4a

5. 抛物线与x轴交点情况:

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对于抛物线

①当?

②当?

③当?

y?ax2?bx?c(a≠0) ?b2?4ac?0时,抛物线与x轴有两个交点,反之也成立。 ?b2?4ac?0时,抛物线与x轴有一个交点,反之也成立,此交点即为顶点。 ?b2?4ac?0时,抛物线与x轴无交点,反之也成立。

典型例题

例1. (1)抛物线y?2(x?1)2?3是由抛物线y?2x2怎样平移得到的?(2)若抛物线y??x2向左平移2个单位,再向下平移4个单位,求所得抛物线的解析式。

分析:由抛物线平移时,形状和开口方向不变。(1)抛物线2y?2x2的顶点是(0,0),抛物线y?2(x?1)?3的顶点是

222y?2xy?2(x?1)?3y??x(1,3),∴抛物线是由向右平移一个单位,再向上平移3个单位得到的。(2)抛物线的

顶点是(0,0),把它向左平移2个单位,再向下平移4个单位后,顶点是(-2,-4),∴平移后的抛物线解析式为

例2. 二次函数y??(x?2)2?4。 y?ax2?bx?c的图象如图所示,对称轴为x=1,则下列结论中正确的是( )

A.

C. ac?0 B. b?0 b2?4ac?0 D. 2a?b?0

?0,c?0,b2?4ac?0

b?1,a?02a 分析:由图可知:a ∴A、C项错,又知

∴b??0,∴B项错

由?b?1,∴?b?2a2a

?0,故选D ∴2a?b

例3. 已知抛物线y?ax2?bx?c如图所示,直线x??1是其对称轴

(1)确定a,b,c,??b2?4ac的符号;

(2)求证:a?b?c?0

(3)当x取何值时,y?0,当x取何值时,y?0。

分析:(1)由抛物线的开口向下,得a?0

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由抛物线与y轴的交点在x轴上方,得c?0

由?b?0,a?0,得b?02a

由抛物线与x轴有两个不同的交点

∴??b2?4ac?0

(2)由抛物线的顶点在x轴上方,对称轴为x

∴当x??1 ??1时,y?a?b?c?0

(3)由图象可知,当?3?

由x

x?1时,y?0 ??3或x?1时,y?0

2y?(m?2)x?2mx?m?1,其中m为常数,且满足?1?m?2,试判断此抛物线的开口方向,与 例4. 已知二次函数

x轴有无交点,与y轴的交点在x轴上方还是在x轴下方。

分析:∵?1?m?2

∴m?2?0,∴抛物线开口向下

又m?1?0,抛物线与y轴的交点在x轴上方

??4m2?4(m?2)(m?1)

?4m2?4(m2?m?2)

?4m?8?4(m?1)?4?0

∴抛物线与x轴有两个不同的交点

13y??x2?x?22的顶点坐标写出对称轴与坐标轴交点坐标,当x取何值时,y随x的增大而增大,当x取 例5. 求抛物线

何值时,y随x的增大而减小?

1313y??x2?x???(x2?2x?1?1)?2222 解:

∴抛物线的顶点坐标是(-1,2),对称轴是直线x=-1 1??(x?1)2?22

令x?0,y?33,2∴抛物线与y轴交点(0,2)

令y?0,?123x?x??022的解为x1??3,x2?1

∴抛物线与x轴交于点(-3,0),(1,0)

当x??1时,y随x的增大而增大,当x??1时,y随x的增大而减小。

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2y?ax?(a?c)x?c与一次函数y?ax?c的大致图象,有且只有一个 例6. 下列各图是在同一直角坐标系内,二次函数

是正确的,正确是( )

分析:由y?ax2?(a?c)x?c与y?ax?c常数项均为c,所以两个图象与y轴交点应是一个点(0,c), ∴A、B不对

当y?0时,ax2?(a?c)x?c?0的解为x1??1,x2??

c

aca ∴抛物线与x轴的交点为(-1,0),(?,0)

当y?0时,ax?c?0的解为x??

c

aca ∴直线与x轴的交点为(?,0)

∴抛物线与直线另一交点在x轴上,∴应选C。

例7. 有一座抛物线形拱桥,正常水位时桥下水面宽度为20m,拱顶距离水面4m。

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(1)在如图所示的直角坐标系中,求出该抛物线的解析式。

(2)在正常水位的基础上,当水位上升h(m)时,桥下水面的宽度为d(m),试求出用d表示h的函数关系式;

(3)设正常水位时桥下的水深为2m,为保证过往船只顺利航行,桥下水面的宽度不得小于18m,求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下顺利航行?

分析:(1)拱桥是一个轴对称图形,对称轴为图中y轴,因此可知抛物线上一些特殊点坐标,用待定系数法可求解析式。

d,h?4 (2)当水位上升时,抛物线与水面交点在变化,设为(2)代入抛物线解析式可得d与h关系式;

(3)根据逆向思维可求水面宽度为18m,即d=18时,水位上升多少米?

解:(1)设抛物线的解析式为y=ax2,且过点(10,-4)

∴?4?a×102,a??

12x25 125 故y??

d,h?4 (2)设水位上升h m时,水面与抛物线交于点(2)

1d2

h?4??×254 则

∴d ?104?h

?104?h,h?0.76 (3)当d=18时,18

.?2?2.76 076

∴当水深超过2.76m时会影响过往船只在桥下顺利航行。

例8. 如图,半圆的直径AC=2,点B在半圆上,CB不与C、A重合,F在AC上,且AE=BC,EF⊥AC于F,设BC=x,EF=y,求y与x的函数关系式和自变量的取值范围,并在直角坐标系中画出它的图象。

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分析:求几何图形中的函数关系式,通常就是寻求自变量与函数之间的一个等量关系式,可用几何的方法证△AEF∽△ACB得到比例式求出y与x的函数关系式。

解:∵AC是直径,∴∠B=90°

又EF⊥AC,∴∠B=∠AFE,∠A=∠A

∴△AEF∽△ACB

∴AEEFxy?,即?ACBC2x

y?12x2

ABC的中点时,E与B重合,此时BC?2, ∴ 当B为?

∴自变量x的取值范围是0?

它的图象如图所示

x?2,

例9. 某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克,购进价格为每千克30元,物价部门规定其销售单位不得高于每千克70元,也不得低于30元,市场调查发现:单价定为70元时,日均销售60千克;单价每降低1元,日均多售出2千克,在销售过程中,每天还要支出其它费用500元(天数不足一天时,按整天计算),设销售单价为x元,日均获利为y元。

(1)求y与x的二次函数关系式,并注明x的取值范围。

b24ac?b2

y?a(x?)?2a4a (2)将(1)中所求出的二次函数配方成

出草图,观察图象,指出单价定为多少元时日均获利最多,是多少?

的形式,写出顶点坐标,在如图所示的坐标系中画

(3)若将这种化工原料全部售出,比较日均获利最多和销售单价最高这两种销售方式,哪一种获总利较多,多多少?

分析:首先明确获利的含义,即每千克获利=销售单价-购进单价,其次注意自变量的取值范围由此在画图象时只能是原函数

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图象的一部分。在(3)中必须分别计算这两种销售方式的总获利,通过比较大小作答:

解:(1)若销售单价为x元,则每千克降低了(70-x)元,日均多售出2(70-x)千克,日均销售量为[60+2(70-x)]千克,每千克获利(x-30)元。

依题意得:y?(x?30)[60?2(70?x)]?500

??2x2?260x?6500(30?x?70)

y??2x2?260x?6500

??2(x?65)2?1950 (2)由(1)有

∴顶点坐标为(65,1950),其图象如图所示,

经观察可知,当单价为65元时,日均获利最多是1950元。

(3)当日均获利最多时:单价为65元,日均销售量为

60?2(70?65)?70kg

那么获总利为1950×7000?19500070元,当销售单价最高时:单价为70元,日均销售60kg,将这批化工原料全部售完7000≈11760需天,那么获总利为(70?30)×7000

?117×500?221500元,而221500?195000时且221500?195000?26500元。

∴销售单价最高时获总利最多,且多获利26500元。

巩固试题

1. 抛物线

大而减小?

22y?x?bx?cy?x?3x?5,则b 2. 把抛物线的图象向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得图象的解析式是y?2x2?12x?25的开口方向,顶点坐标、对称轴各是什么,最值为多少?指出x值取何值时,函数y随x的增

=__________,c=__________。

3. 已知函数y?4(x?3)2?16

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(1)写出函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标。

(2)求出图象与x轴的交点坐标;

(3)当x取何值时,y随x的增大而增大;x取何值时,y随x的增大而减小;

(4)当x取何值时,函数有最大值或最小值?并求出最大(小)值;

(5)函数图象可由

4. 二次函数

⑤b2y?4x2的图象经过怎样的平移得到? y?ax2?bx?c的图象如图所示,下列结论:①a?b?c?0;②a?b?c?0;③abc?0;④b?2a;?4ac?0。其中正确结论的个数是( )

A. 4 B. 3 C. 2 D. 5

5. 下列命题中,错误的是( )

A. 抛物线y??x2?1不与x轴相交

x?3

8对称 B. 函数y??x2?3x的图象关于直线

y? C. 抛物线121x?1与y?(x?1)222形状相同,位置不同

2y?2x?3x经过原点 D. 抛物线

6. 已知函数y?ax?b的图象经过第一、二、三象限,那么y?ax2?bx?1的图象大致为( )

7. 某商场以每台2500元进口一批彩电,如每台售价定为2700元,可卖出400台,以每100元为一个价格单位,若将每台提高一个单位价格,则至少卖出50台,那么每台定价为多少元即可获得最大利润?最大利润是多少元?

8. 某一隧道内设双行线公路,其截面由一长方形和一抛物线构成,如图所示,为保证安全,要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5m,若行车道总宽度AB为6m,请计算车辆经过隧道时的限制高度是多少米?(精确到0.1m)。

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参考答案

1. 开口向上,顶点坐标(3,7),对称轴x=3,有最小值y=7,当x≤3时,y随x的增大而减小。 2. b=3,c=7

3. (1)开口向上,对称轴是直线x=3,顶点坐标是(3,-16)

(2)与x轴交于(1,0),(5,0)

(3)当x≥3时,y随x的增大而增大;当x<3时,y随x的增大而减小。

(4)当x=3时,y有最小值,y最小值??16

2y?4x (5)函数图象可由的图象先向右平移3个单位,再向下平移16个单位得到的

4. D 5. B 6. A

7. 设提高x个单位价格时,总获利为y元,则

y?(2700?100x?2500)(400?50x) (0?x?8)

y??5000(x?3)2?125000 整理,得

当x=3时,即定价为3000元时,可获最大利润125000元。

1y??x2?6(?4?x?6)4 8. 以矩形的下底所在直线为x轴,矩形下底中点为原点,建立直角坐标系,则抛物线解析式为,

y?6?9?375.m4。 令x

?3,得375.?05.?325.≈32.m,因此,货车限高为3.2m。

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