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【庆福数学】平方根与立方根复习

发布时间:2014-04-03 13:02:51  

平方根与立方根复习

(一) 平方根

1、平方根的含义:如果一个数的平方等于a,那么这个数就叫做a的平方根。

2即x?a,x叫做a的平方根。正数a的平方根用?a表示,其中a叫做正平方根,也称为算术平方根,?a叫做a的负平方根,也称为算术平方根的相反数。

注意点:

(1)一个正数有两个平方根,它们互为相反数:记作?a(根指数2省略)

0有一个平方根,为0,记作?0,负数没有平方根。

?0,负数没有算术平方根。

(2)平方与开平方互为逆运算 开平方:求一个数a的平方根的运算。

(3)熟记:112?121,122?144,132?169,142?196,152?225,162?256,172?289,182?324,192?361

(4

a≥0)

a≥0)表示非负数a的算术平方根。二次根式的要求:

①根指数为2 ②被开方数可以是数,也可以是单项式、多项式、分式等,但必须是非负数。

(5)二次根式中字母的取值范围:二次根式有意义的条件:被开方数大于或等于0。

二次根式无意义的条件:被开方数小于0,二次根式做分母时: 被开方数大于0.

例1:求下列各数的平方根:

例2:下列各数有平方根吗?如果有,求出它的平方根;如果没有,要说明理由。

例3:求下列各数的算术平方根: (1)-64 (2)0 (3)??14? (4)10 ?22(1)81 (2)2解:(1)∵??9? 116 (3)2 (4)0.49 425?81,∴81的平方根是?9, 即:???9 16416416?4??? (2)∵????,∴的平方根是?, 即:??5?25525525219319?3?913?? (3)∵2?,????,∴2的平方根是?,即:?2??44244?2?442(4)∵??0.7??0.49,∴0.49的平方根是?0.7,即:?0.49??0.7 22解:(1)因为-64<0,所以-64没有平方根。 (2)因为0只有一个平方根,它是0

。即:?0 22 (3)∵??14??196?0,所以??14?有两个平方根,且?(4)因为10?2?14?2????14 211?1??2?0,所以10?2有两个平方根,且??2?????? ?10?1010

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49 (3)0.81 (4) 64解:(1)∵52?25 ∴25的算术平方根是5, 即:?5 249749497?7?? (2)∵???, ∴的算术平方根是,即:?8?64864648(1)25 (2) (3)∵0.92?081.?0.9 . ∴0.81的算术平方根是0.9,即:(4)∵?9(注:计算的算术平方根,也就是计算9的算术平方根。) ∵9的算术平方根是3 ∴81的算术平方根是3 81平方根是±9,81算术平方根是9,81开平方后,得±9

注:区分的平方根是±3,的算术平方根是3,是

9, 是±9.

例4:求下列各式的值: (1) (2)?(4)236 121(3)?.0001 11? 4162解:(1)∵12?144,∴?12 36636?6??? (2)∵???,∴??11?12111121(3)∵?0.01??0.0001,∴?0.0001??0.01 (4)22211??41691317???? 416244

例5:(1)已知正方形的边长为5cm,求这个正方形的面积;

(2)已知正方形的面积是25cm2,求这个正方形的边长。

22解:(1)∵边长a?5cm,∴正方形面积S?a?5?25cm

2?2? 答:正方形的面积是25cm。 2(2)设正方形的边长为xcm,根据题意,得:x?25,∴x??5 ∵正方形边长是正数 ∴x??5舍去,∴x?5 答:正方形的边长为5cm。

说明:(1)是求5的平方数是几?属于平方运算,25是运算的结果,叫做幂;(2)是求25的平方根是几?属于开平方运算,开平方的结果,叫做平方根,可以看出,平方与开平方是互为逆运算。

例6:判断下列语句是否正确,正确的打“√”,错误的画“×”,并将错误改正。 (1)7是??7?的算术平方根; (2)?25的平方根是?5; (3)36等于?6; 22 ( ) ) ) ) ( ( ( ) (4)的平方根是?2; (5)6是??6?的平方根; ( (6)是10的一个平方根; ( )

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(7)正数的平方比它的算术平方根大。 2 ( ) 解:(1)√;∵??7??49,∴49的算术平方根是7,也就是7是49的算术平方根,(1)式正确。 (2)√;∵?25?25,∴25的平方根是?5,(2)式正确。 (3)×;∵表示36的算术平方根,即?6, ∴36??6是错的。 (4)√;∵?4,求的平方根,也就是计算4的平方根是?2,正确。 (5)×;∵??6??36,而36的平方根是?6。而6只是36的一个正的平方根,即算术平方根。 (6)√;∵10的平方根是?,是10的一个平方根,(6)式正确。 2111?1?11(7)×;举反例说明:的算术平方根是,???,不大于, 161642?4?2 ∴正数的平方比它的算术平方根大是错的。 2例7:求下列各式中x的值: (1)x2?144

2(2)81x2?64?0 2分析:(1)从x2?144中,可以看出,求x,实质上是问什么数的平方等于144?是求144的平方根。 (2)式中81x?64?0,移项后,81x2?64,两边再除以81,得x?64,实质上是问什 81

6464?是求的平方根。 81812解:(1)∵??12??144,∴x??12 648222 (2)81x?64?0,∴81x?64,x?,∴x?? 819么数的平方等于 例8:的平方根是几? 分析:首先要审清题意,问的倒底是什么问题,也就是求谁的平方根,是求16的平方根还是 的平方根,显然是后者;因为?4,又因为4的平方根是?2,∴的平方根是?2。 解:∵?4,又∵4的平方根是?2 ∴的平方根是?2。

例9

:若x、y为实数,且y?

x2?4≥0,即x2≥4,4?x2≥0, 即x2≤4,1 所以x?4,又因为x?2≠0,所以

x?2,y?42

解:由题意知:x2?4≥0且4?x2≥0?x2?4,又?x?2≠0,?x?2?y??3??214

注:本题根据字母隐含的的取值范围,求代数式的值。

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2、平方根的性质(即二次根式的性质)

(1)双重非负性:①被开方数为非负数,即a≥0;②二次根式的值为非负数,即a≥0

(2)两个性质:性质1:(a)2= a(a≥0) 性质2

?a??

性质1:语言叙述:一个非负数的算术平方根的平方等于它本身。

或叙述为:一个非负数先开算术平方根再平方等于这个数本身。

性质2:语言叙述:一个数先平方再开算术平方根等于这个数的绝对值。

?a(a≥0) ?a(a<0)?

证明:性质1:设x2?a①则x?

把x?x?2=a

2 把x?=a

性质2?x(x≥0),两边平方得:2?x2

(a≥0)

(a<0)?a 由性质1得:a2?x2(x≥0)所以x?a????a

(a≥0)?a ?a????a(a<0)

注:(1)性质1

的逆用:a?2(a≥0)

(2) 非负数定理的运用:几个非负数和为0,则这几个非负数均为0。

2(3

不同点:①从运算顺序来看:

2先开方后平方

即2表示一个正数a

②从取值范围来看::a≥0

22a的平方的算术平方根;

a可以是正数、0、负数。 ③从运算结果看:(a)= a(a≥0)

?a(a≥0)?a??

?a(a<0)?2联系:①当被开方数都是非负数,即a≥0时?

2

②当a<0时?a??a ?a

例1:求下列各数的平方根:

解:(1

)∵???9,∴81的平方根是?9 (2

)∵(1)81 (2)16 25(3)21 4(4)0.49 (5)??14? (6)10 (7)0 ?224416???,∴的平方根是?. 5525第4页

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