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专题讲解—二次函数的性质4

发布时间:2014-04-03 13:02:53  

思致超越 知行合一

二次函数的图像和性质

知识点一:二次函数平移问题:

1. (2012?鄂州)把抛物线y=x2+bx+4的图象向右平移3个单位,再向上平移2个单位,所得到的图象的解析

式为y=x2﹣2x+3,则b的值为( )

A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

2﹣1;2. (2011?攀枝花)在同一平面内下列4个函数;①y=2(x+1)②y=2x2+3;③y=﹣2x2﹣1;④y?12x?12

的图象不可能由函数y=2x2+1的图象通过平移变换得到的函数是

.(把你认为正确的序号都填写在横线上)

3. (2010?徐州)平面直角坐标系中,若平移二次函数y=(x﹣2009)(x﹣2010)+4的图象,使其与x轴交

于两点,且此两点的距离为1个单位,则平移方式为( )

A. 向上平移4个单位 B. 向下平移4个单位 C. 向左平移4个单位 D.向 右平移4个单位

4. (2011?桂林)在平面直角坐标系中,将抛物线y=x2+2x+3绕着它与y轴的交点旋转180°,所得抛物线的解析式是( )

A、y=-(x+1)2+2 B、y=-(x-1)2+4 C、y=-(x-1)2+2 D、y=-(x+1)2+4

5. 把抛物线y=x2-2x-3绕点A(3,0)旋转180°后所得的抛物线解析式是

6. 抛物线y=-(x-L)(x-3-k)+L与抛物线y=(x-3)2+4关于原点对称,L+k= .

知识点二:多个函数图像在同一坐标系共存问题:

1. 二次函数y=ax2+bx+c的图像如图,反比例函数y=a与正比例函数y=(b+c)x在同一坐标系中的大致图像可能是( ) x

2. 抛物线y?ax?bx?c图像如图所示,则一次函数

大致为( ) 2y??bx?4ac?b与反比例函数 y?a?b?c在同一坐标系内的图像x2

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1. (2013?菏泽)已知b<0时,二次函数y=ax2+bx+a2﹣1的图象如下列四个图之一所示.根据图象分析,a的值等于

2. (2011?孝感)如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交,坐标为(,1),下列结论:①ac<0;②a+b=0;③4ac﹣b2=4a;④a+b+c<0.其中正确的个数是( ) A.1 B. 2 C. 3 D. 4

其顶点

1

2

3. (2010?天津)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,有论:①b2﹣4ac>0;②abc>0;③8a+c>0;④9a+3b+c<0,其中,论的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

4. (2013?鄂州)小轩从如图所示的二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图察得出了下面五条信息:①ab>0;②a+b+c<0;③b+2c>0;④a2b+4c>0;⑤a?

下列结正确结

象中,观﹣

3

b.其中正确信息的个数有( ) 2

A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个

5. (2013?德州)函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图所示,有以下结论:>0;②b+c+1=0;③3b+c+6=0;

④当1<x<3时,x2+(b﹣1)x+c<0.其中正确的个数为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

知识点四:二次函数增减性的探索:

关键点:一看开口,再判断对称轴,亦可画图比较函数值大小。

①b2﹣4c

1. (2011?大连一模)如图,抛物线y=x2﹣2x+k(k<0)与x轴相交于AB(x2,0)两点,其中x1<0<x2,当x=x1+2时,y 0(填“>”“=”号).

2. 已知二次函数

(x1,0)、或“<”

y?ax2?bx?c中,其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所

… …

0 5

1 2

2 1

3 2

… …

示:

x

y

点A(x1,

y

1)

B

x2,y2)在函数的图象上,则当0?x1?1,2?x2?3时,y1与y2的大小关系正确的是( )

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A.y1≥y2 B.y1?y2 C.y1?y2 D.y1≤y2

3. (2013?高港区二模)对于任意实数m、n,定义m﹡n=m﹣3n,则函数y=x2﹡x+(﹣1)﹡1,当0<x<3

x>0

时,函数值y随x的增大而增大,②.当x>0时,函数值y随x的增大而减小,③.存在一个负数x0,使得当x<x0时,函数值y随x的增大而减小;当x>x0时,函数值y随x的增大而增大,④.存在一个正数x0,使得当x<x0时,函数值y随x的增大而减小;当x>x0时,函数值y随x的增大而增大,其中正确的是 .

知识点五:二次函数的对称性

x1?x2b=? 22a

21. 已知点P?x1,2004?,Q?x2,2004?是二次函数C:y?ax?bx?5上两点,则当x?x1?x2时,y=____________。 常用公式总结:

2. 已知y?2x2?9x?34,当x取不同的值x1,x2时的函数值相等,则当x?x1?x2的值( )

?A、与x=1的函数值相等 B、与x=0时的函数值相等 C、与x

3. 19时的函数值相等 D、与x??时的函数值相等 4412已知抛物线y??x?bx?4上有不同的两点E(k?3,?k2?1)和2F(?k?1,?k2?1).求抛物线的解析式_______________.

4.

2的图象时,列了如下表格:

根据表格上的信息回答问题:该二次函数y?ax?bx?c在x?3时,y? . 5. 若二次函数

y?2bx2?4bx?c在x轴的两交点之间的距离为6,求抛物线与x轴交点坐标。 6. 在平面直角坐标系中,点A

是抛物线y=a(x﹣3)2+k与y轴的交点,

这条抛物线上的另一点,且AB∥x轴,则以AB为边的等边三角形ABC

为_________.

知识点六:二次函数的截距及韦达定理

抛物线与坐标轴的交点

(1)

(2)抛物线与x轴的交点由对应的一元二次方程的根的判别式判定。

(3)抛物线与x轴两交点之间的距离:若抛物线点B是

的周长y轴与抛物线y?ax2?bx?c得交点为(0, c). 0?,B?x2,0?,由于x1、x2是方程y?ax2?bx?c与x轴两交点为A?x1,

bcax2?bx?c?0的两个根,故x1?x2??,x1?x2?;AB?x1?x2? aaa

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1. 在平面直角坐标系中,抛物线22、B(x1,0)、 x+bx+c经过A(0,-4)3

C(x2,0)三点,且x2-x1=5.求b、c的值. y=-

2. 已知二次函数y=ax21对称轴是x=1;○2最值是15;○3二次函数的图象与x轴有两个交点,其?bx?c同时满足下列条件:○

横坐标的平方和为15-a.则b的值是( )

A.4或-30 B.-30 C.4 D.6或-20

3. 对于每个非零自然数n,抛物线

则y?x2?2n?11x?与nn?1nn?1x轴交于An,Bn两点,以AnBn表示这两点间的距离,A1B1?A2B2?...?A2013B2013的值是_____________。 3224. y?x?kx?k (k为常数,且k>0)。(1)证明:此抛物线与x轴总有两个交点;(2)设抛物线与x轴交于M、N两4

112点,若这两点到原点的距离分别为OM、ON,且?? ,求k的值。 ONOM3

5. 已知二次函数y=mx2+4(m-3)x-16

(1)证明:该二次函数的图象与x轴有两个交点;

(2)当m为何值时,二次函数的图象与x轴的两个交点间的距离为最小?求出这个最小值,并求此时二次函数图象的开口方向

与顶点坐标

知识点七:二次函数与不等式相结合

1)学会画图;2)善于从图像中寻找特殊点3)运用数形结合的思想

1. 试说明二次函数y=ax

2. 运用图象法解答:如图,已知函数2?bx?c(a≠0)函数值恒大于0的条件? y??3与xy=ax2+bx(a>0,b>0)的图象交于点P,点

>0的解P的纵坐标为1,则结论:①两函数图象的交点 ;②则关于x的方程ax2+bx?

为 .

3. (2012?贵港)若直线y=m(m3x?x2?x?2??

为常数)与函数y??4的图象恒有三个不同的交点,则常数

??x>2??xm的取值范围是

_________ .

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1的图象: x

11①如果 >a>a2,那么0<a<1; ②如果a2>a>,那么a>1; aa

1③如果>a2>a ,那么﹣1<a<0; a

1④如果 a2>>a时,那么a<﹣1.则( ) a

A.正确的命题是①④ B. 错误的命题是②③④

C.正确的命题是①② D. 错误的命题只有③ 4. (2013?杭州)给出下列命题及函数y=x,y=x2和y=

5. (2013?扬州)方程x2+3x﹣1=0的根可视为函数y=x+3的图象与函数y?

31的图象交点的横坐标,则方程

x

A. 该函数只有最大值5 B. 该函数只有最小值3

C. 该函数有最大值5、最小值3 D. 该函数有最大值5、最小值1

2. (2012?呼和浩特)已知:M,N两点关于y轴对称,且点M

在双曲线y?

21上,点N在直线y=x+3上,2x

S的取值范围?

范围内的最小值为S,写出函数S是关于t的的函数的解析式,并写出4. (2012?聊城)某电子商投产一种新型电子产品,每件制造成本为18元,试销过程发现,每月销量y(万件)

与销售单价x(元)之间关系可以近似地看作一次函数y=-2x+100.(利润=售价-制造成本)

(1)写出每月的利润z(万元)与销售单价x(元)之间函数解析式;

(2)当销售单价为多少元时,厂商每月能够获得350万元的利润?当销售单价为多少元时,厂商每月能够获得

最大利润?最大利润是多少?

(3)根据相关部门规定,这种电子产品的销售单价不得高于32元.如果厂商要获得每月不低于350万元的利润,

那么制造这种产品每月的最低制造成本需要多少万元?

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