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2011.4几何图形中的黄金分割

发布时间:2014-04-05 12:50:35  

几何图形中的黄金分割

叶军 南京师大附中江宁分校 211102

在教学比例线段与相似形这一内容时,黄金分割宛如一颗瑰丽的明珠,总不能视而不见。可因为种种原因,教材在内容的组织上不过是浮光掠影,点到即止。甚至删去了黄金分割点的作图,至多在阅读材料中一笔带过;至于介绍黄金分割的应用,多为美术作品里的黄金分割、人体和生物中的黄金分割等等,或许是为了增强对数学的“应用价值”的认识,这些介绍多为数学外部的例子,让学生知其然而不知其所以然。而有些简单而有趣的数学内部的例子则不多见,

1、正五角星中的黄金分割

连接正五边形的5条对角线得到一个正五角星。那么这些对角线的交点都是所在线段的黄金分割点。

以BE为例,要证明M是其黄金分割点,只要证明ME2?BM?BE即可。利用△BAM∽△BEA以及AB=AE=ME即可获证。

这5条线段的黄金分割点也构成一个新的正五边形,这个过程可以无限进行下去。 对于顶角为36o的等腰三角形,类似可证:底角平分线把一腰黄金分割,所以这个三角形也被称作黄金三角形。这个三角形当然在正五角星中随处可见,按照如图的方式作出一段段相互衔接的120度圆弧,得到的连续曲线也近似于一条对数螺线,我们说近似,是因为它也不是真正的对数螺线,而仅仅是等腰三角形的顶点恰好在一条对数螺旋上而已。

B

正五边形与正五角星 黄金三角形 对数螺旋

2、三根木杆搭出黄金分割点

在水平地面上竖一根木杆AB.从AB的中点D伸出另一根相同长度的木杆CD,再从CD的中点F伸出一根相同长度的木杆EF,木杆的另一端点都在水平地面上。则点C是线段AE的黄金分割点

.

B

D

G

1AC?设21 设AD=1,则CD=2,因此∠ADC=60o,AC

从F作AC的垂线FG,则CG=

CE=x,

则(x?212解出x?因此

AE=,可以验证AC2?AE?CE,?()?22,

2222

因此点C是线段AE的黄金分割点。

3、用正三角形与正方形构造黄金分割点

作等边△ABC.以BC为边向外作正方形BCDE.再以C为圆心,CE为半径作圆弧与AB所在直线交于点F.则点B是线段AF的黄金分割点.

连接CF,并作CM⊥

AB于M,设AB=1,则CM

,设BF=x

,在△CFM中使用勾股定理得:21?(

x?)2?2,于是x?.表明点B是线段AF的黄金分割点. 24、半圆的内接正方形产生黄金分割点

在一个半圆中做一个正方形,使得正方形的一条边在半圆的直径上,另外两个顶点在圆周上,如图。则A是线段CD的黄金分割点。

AD1??. CD2设半圆的半径是AO=1,AB=2,因此CD

1,因此

5、用(3,4,5)的直角三角形构造黄金分割点

作一个3:4:5 的直角△ABC.再作∠B 的角平分线BD,与AC交于点D.以D为圆心, DA 为半径作圆,与射线BD分别交于E、F.则E是线段BF的黄金分割点.

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