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北师版八年级下册,角平分线

发布时间:2014-04-07 17:22:52  

知识复习
(1)、什么是点到直线的距离 (2)、过直线外一点作该直线的垂线

我们曾经用折纸的方法得到角平分线及角平 分线上的点的性质,你还记得角平分线上的点有

什么性质吗?

结合我们前面学习的定理的证明方法,你能 写出相关性质及其证明过程吗?

已知:如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上 任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E. A 求证:PD=PE.
D O 1 2

P E
B

C

A
证明: 在 △OPD和△OPE 中 ∵ OC是∠AOB的平分线 ∴ ∠1= ∠2 ∵ PD⊥OA,PE⊥OB

D
O 1 2 E P

C

B

∴ ∠PDO=∠PEO
∵OP=OP (公共边) ∴ △OPD≌△OPE (AAS). ∴ PD=PE

定理: 角平分线上的点到这个角的两边距离相等. 几何语言,如图, ∵OC是∠AOB的平分线,P是OC 上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB, 垂足分别是D,E(已知) ∴PD=PE(角平分线上的点到这 个角的两边距离相等). A D O

1 2
E

P

C

B 提示:这个结论是经常用来证明两条线段相等的 根据之一.

你能写出“上述定理:角平分 线上的点到这个角的两边距离相

等”

逆命题: 的逆命题吗?


思 考 分 析

在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点, 在这个角的平分线上. 请你证明它是不是真命题?

已知:如图 所示, PD=PE, PD⊥OA, D O E

A P

PE⊥OB, 垂足分别
是D,E.

求证:点P在∠AOB的平分线上.

B

A

证明:作射线OP,
∵PD⊥OA PE⊥OB
O

D P

∴△POD和△BPOE都是Rt△
∵PD=PE,OP=OP

E B

∴Rt△POD≌Rt△POE(HL)
∴ ∠POD=∠POE

∴ OP是∠AOB的平分线

逆定理 在一个角的内部,且到角的两边距离 相等的点,在这个角的平分线上. A 如图, D ∵PD=PE, PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分 P 别是D,E(已知), 1 O 2 C ∴点P在∠AOB的平分线上.(在一 个角的内部,且到角的两边距离相 E 等的点,在这个角的平分线上). B

1.如图,AD,AE分别是△ABC中∠A的内角平
分线和外角平分线,它们有什么关系?

C
D

E

B

A

F

2.如图,一目标在A区,到公路,铁路距离 相等,离公路与铁路的交叉处500m.在图上标 出它的位置(比例尺1:20000).

A区

3. 如图,求作一点P,使PC=PD,并且点P 到∠AOB的两边的距离相等.
B

D●

O

C● A

作业
1.已知如图∠C=900, ∠B=300, AD是Rt△ABC的角平分线
. 求证:BD=2CD. 证明: ∵∠C=900,∠B=300, AD是∠BAC的 平分线 ∴∠BAD=∠DAC=∠B=300 B ∴AD=BD(等角对等边) ∴AD=2CD(直角三角形中,300所 对直角边为斜边的一半) ∵AD=BD ∴BD=2CD A

D

C

2、如图,在△ABC中,已知 AC=BC,∠C=900,AD是 △ABC的角平线,DE⊥AB, 垂足为E.
(1)如果CD=4cm, 求AC的长;
(2)求证:AB=AC+CD.

A

E C D B

(1)、解: A ∵AC=BC,∠C=900 ∴∠B=∠CAB=450 (等边对等角) 又∵AD是∠BAC的角平分线 ∴CD=ED(角平分线上的点到角两边距离相) ∵DE⊥AB,∠B=450 C ∴∠EDB=450 ∴ED=EB(等角对等边) ∵CD=ED=4 ∴ED=EB=4 ∴BD=√ED2+EB2=4

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