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数学:28.1锐角三角函数(第1课时)课件(人教新课标九年级下)

发布时间:2014-04-11 16:00:26  

情 境 探 究

问题 为了绿化荒山,某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设 水管,在山坡上修建一座扬水站,对坡面的绿地进行喷灌.现测得 斜坡与水平面所成角的度数是30°,为使出水口的高度为35m,那么 需要准备多长的水管? B

A

C

分析: 这个问题可以归结为,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°, BC=35m,求AB 根据“在直角三角形中,30°角所对的边等于斜边的一半”,即

?A的对边 BC 1 ? ? 斜边 AB 2
可得AB=2BC=70m,也就是说,需要准备70m长的水管.

在上面的问题中,如果使出水口的高度为50m,那么需要准备多长的 水管?
B' B 30m A C 50m C'

?A的对边 B' C ' 1 ? ? , 斜边 AB' 2

AB'=2B ' C ' =2×50=100

结论:在一个直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么不管三角形 1 的大小如何,这个角的对边与斜边的比值都等于 2

A 如图,任意画一个Rt△ABC,使∠C= 90°,∠A=45°,计算∠A的对边与斜 边的比 BC ,你能得出什么结论?
AB

C

B

在Rt△ABC中,∠C=90°,由于∠A=45°,所以Rt△ABC是等 腰直角三角形,由勾股定理得

AB ? AC ? BC ? 2 BC
2 2 2

2

AB ? 2BC
因此

BC BC 1 2 ? ? ? AB 2 2 BC 2

即在直角三角形中,当一个锐角等于45°时,不管这个直角三角 形的大小如何,这个角的对边与斜边的比都等于 2
2

综上可知,在一个Rt△ABC中,∠C=90°,当∠A=30°时,∠A的
对边与斜边的比都等于 1 ,是一个固定值;当∠A=45°时,∠A的 对边与斜边的比都等于 2 ,也是一个固定值.
2

2

一般地,当∠A 取其他一定度数的锐角时,它的对 边与斜边的比是否也是一个固定值?

探究
任意画Rt△ABC和Rt△A'B'C',使得∠C=∠C'=90°,∠A=∠A'=α, BC B' C ' 那么 与 有什么关系.你能解释一下吗? AB A' B ' B' B

A

C

A'

C'

在图中,由于∠C=∠C'=90°,∠A=∠A'=α,所以 Rt△ABC∽Rt△A'B'C'

BC AB ? B' C ' A' B'

BC B' C ' ? AB A' B'

这就是说,在直角三角形中,当锐角A的度数一定时,不管三角 形的大小如何,∠A的对边与斜边的比也是一个固定值.

正弦函数
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,我们把锐角A的对边与斜边的比
叫做∠A的正弦(sine),记住sinA 即 B 斜边 A 例如,当∠A=30°时,我们有

?A的对边 a sin A ? ? 斜边 c
1 2

c
b

a 对边 C

sin A ? sin 30 ? ?
当∠A=45°时,我们有

在图中 ∠A的对边记作a
?

2 sin A ? sin 45 ? 2

∠B的对边记作b ∠C的对边记作c

例题示范
例1 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,求sinA和sinB的值. 解: (1)在Rt△ABC中, B 3 A 4 C

AB ? AC2 ? BC2 ? 42 ? 32 ? 5
求sinA就是 要确定∠A的对 边与斜边的比; 求sinB就是要确 定∠B的对边与 斜边的比

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