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初中数学竞赛教程及练习之线段、角的相等关系附答案

发布时间:2014-04-16 13:03:09  

线段、角的相等关系

一、内容提要

证明线段、角的相等,在直线形中,最常用的方法是找全等三角形或等腰三角形,若没

有现成的,则要引辅助线,构造全等三角形或等腰三角形。

构造全等三角形,要充分利用已知条件中的对应相等关系,添引辅助线要有利于增加对

应相等的元素,要注意总结辅助线的规律,观察两个三角形全等时的一般位置特点(如翻转、

旋转、平移等)

证明两条线段相等常用的定理

在同一个三角形中,证明等角对等边。

在两个三角形中,证明全等。

在平行线图形中①应用平行四边形的性质

②用平行线等分线段定理一1.2.3.

4.运用比例式证明相等:若xyxy? 则x=y;若?则x=yaayx

5.应用等量代换、等式性质

二.证明两个角相等常用的定理

1. 在同一个三角形中,证明等边对等角。

2. 在两个三角形中,证明全等或相似。

3.在平行线图形中

用平行四边形的对角相等

行线的同位角相等,内错角相等

边分别互相平行(或垂直)的两个锐角(或两个钝角)相等

角(或等角)的余角(或补角)相等

用等量代换、等式性质

二、例题

例1.证明等腰梯形的判定定理“同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形”

已知:梯形ABCD中,AB∥CD,∠A=∠B

求证:AD=BC

下面提供三种基本证法:

把BC、AD集中到同一个三角形,证它等腰三角形。

辅助线是:过点D作DE∥BC,我们称它为“平移”

∵BCDE是平行四边形,可证△DAE为等腰三角形

以BC、AD为对应边,构造两个全等三角形,为增加对应相等的元素,辅助线为:作两

条高CM和DN,根据夹在平行线间的平行线段相等,可用角角边证全等。

由∠A=∠B,可造等腰三角形,运用比例式性质证明,辅助线是:分别延长AD和BC

交于P。 P

C

①②③④⑤1.2.3.A E B A N M B A B

例2.已知:在梯形ABCD中,AB∥CD,AC和BD相交于O,AD、BC的延长线相交于P

求证:PO平分AB

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