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第一讲 有理数综合

发布时间:2014-04-19 14:11:06  

第一讲

有理数综合

数轴: 1、数轴三要素:原点、正方向和单位长度

2、实数与数轴上的点是一一对应的

相反数:1、实数a的相反数是-a,零的相反数是零

2、数轴上表示相反数的两个点关于原点对称

3、如果a与b互为相反数,那么a+b=0,a =-b,b=-a

a??1 b

倒数: 1、如果两个数的积等于1,那么这两个数互为倒数;零没有倒数 4、如果a与b互为相反数,且都不为零,那么

2、如果a与b互为倒数,那么ab?1,a?11,b? ba

?a?a?0???a?a?0???a?a?0?绝对值:1、a??0?a?0?,概括为a??,或a?? ??????a?a?0???a?a?0??aa?0???? ? 2、a的几何意义: a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点到原点的距离 3、a?b的几何意义:数轴上表示数a和数b的两点之间的距离

4、a的非负性:a?0

5、a??a;a?a,a??a

6、若a?a,则a?0,若a??a,则a?0

科学计数法:1、把一个数N 写成a?10n的形式,其中1?a?10,n为整数,这种记数法叫做科

学记数法

2、当N?1时,n等于原数整数位减1;当N?1时,n等于原数中左起第一个非

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零数字前零的个数(含小数点前的一个零)

近似数与有效数字:1、一个近似数,四舍五入到哪一位,就说这个数近似精确到哪一位

2、一个近似数,从左边第一个不为零的数字起到精确数位上,所有的数字

都叫做这个数的有效数字

有理数是中学代数的重要基础。学好开端这一章,将为后续学习打下坚实基础,增强学习自信心。本章的难点是对有理数的运算法则的理解和应用,尤其是对用字母表示运算律的理解和应用。

3?5?1、 计算:??????42??0.25???5????4? ?8?

[解析]:?70

142003?11??1?2、 计算:(1)??????????1????0.25??42003 3?35??5?

?2??4??1? (2) ??1001????0.125????????????? ?7??13??11?767772

[解析]:(1)原式?20032?52?3?1???0.25?4????? 15

= 10?1???1?

=10

2003

2?4?1??1??(2)原式??1001????? 7?13?11???8?76

?87?

?8

1 86

3、 若x?2时,代数式ax3?bx?1的值为?17,则x??2时,代数式的值是多少?

[解析]:1)当x?2时,ax3?bx?1=8a?2b?1??17?8a?2b??18

2) 当x??2时,ax3?bx?1??8a?2b?1???8a?2b??1?18?1?19

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4、(第十四届“希望杯”)已知a、b、c、d a?b?9c?d?16,且a?b?c?d?25,则b?a?d?c?_____________。

[解析]:?25?a?b?c?d?a?b?c?d?25,?a?b?9,c?d?16,?b?a?d?c??7

4a?ab?b5、(第十四届“希望杯”) a 与b 互为相反数,且a?b?,那么2 ?_____________。5a?ab?1

[解析]:因为a与b互为相反数,即a??b, 442a?b?,??2b?,?b?555又? 42?ab??b2??b??25

4?a?b??ab?4? 所以原式??aa?b?1a?0?1250?

6、化简:(1)?3x?2 (2)x?5?2x?3

[解析]:(1)先找零点,令x?2?0,则x??2,零点分段讨论:

1)当x??2时,x?2?0,??3x?2??3?x?2???3x?6

2)当x??2时,x?2?0,??3x?2???3??????x?2????3x?6

(2)先找零点,令x?5?0,2x?3?0,?x??5,x?,所以将数轴分成3段讨论:

1)若x?,?x?5?0,2x?3?0,x?5?2x?3?3x?2;

2)若?5?x?,?x?5?0,2x?3?0,x?5?2x?3?8?x

3)若x??5,?x?5?0,2x?3?0,x?5?2x?3??3x?2

7、求m?m?1?m?2的值

[解析]:先找零点,令m?0,m?1?0,m?2?0,?m?0,1,2.

依这三个零点将数轴分成4段,m?0,0?m?1,1?m?2,m?2

1) 当m?0时,原式=?m?(m?1)??m?2???3m?3

2) 当0?m?1时,原式=m??m?1???m?2???m?3

3) 当1?m?2时,原式=m??m?1???m?2??m?1 323232

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4) 当m?2时,原式=m??m?1???m?2??3m?3

8、若2a?4?5a??3a的值是一个定值,求a的取值范围。

[解析]:要想使2a?4?5a??3a的值是一个定值,那么必须使4?5a?0,1?3a?0,

14原式=2a?4?5a??1?3a??3,??a?,原式的恒值为3。 35

9、设?1?x?2,则x?2?1x?x?2的最大值和最小值之差为多少? 2

1x??x???x?2???4,此时最小值为3.5,最大值为4。 22[解析]:若?1?x?0,原式=??x?2??

11若0?x?2,原式=??x?2??x??x?2??4?x,此时最小值为3,最大值为4。 22

综上所述最大值与最小值的差为1。

10、若 x?yy?zz?x???abc?0,则abc中有几个负数? abc

[解析]:由abc?0,可知,x?y?z,a?0,b?0,c?0

1)三个数均为负数,观察等式中三个分数的符号,其分母都是负数,

而三个分子?x?y???y?z???z?x??0,所以这三个分子中一定有正有负;既三个分数有正有 负,不肯均相等,矛盾。

2)三个数中有一个是负数,依然观察三个分子的符号,可以找到合适的x,y,z使得等式成立 综上所述,a,b,c中有1个负数

(选讲)1、三个有理数abc的积为负数,和为正数,且x?abcabacbc?????,求代数abcabacbc式ax3?bx2?cx?1的值。

[解析]:由题意可知a、b、c 中两正一负,所以x?0,所以代数式为1。

x2、已知在x?y,x?y,xy,四个数中的三个有相同的数值,求出所有具有这样性质的数对?x,y? y

[解析]:因为y是分母,所以y?0,?x?y?x?y,又因为x?y,x?y,xy,

的数值,所以必然有xy?x。 yx四个数中的三个有相同y

1) 如果x?0时,那么四个数变为 y、?y、0、0,可是y?0,不可能满足题目条件

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2) 如果x?0,那么y?

相同。 1,?y?1或y??1。若y?1,则四个数变为x?1,x?1,x,x,不可能有三个数y

若y??1,则四个数变为x?1,x?1,?x,x,由于三个数相同,因此x?1??x,或x?1??x,解得x?1

2

1或x??。 2

11???x??x??综上所述,满足条件的有2组?2或?2

??y??1??y??1

3、 如果a,b,c是非零有理数,且a?b?c?0,那么abcabc???的所有可能值是多少? abcabc

[解析]:因为a?b?c?0,所以a,b,c里面存在一正两负或者两负一正。

若一负两正,那么abcabcabcabc?0 ???1,??1,那么???abcabcabcabc

abcabcabcabc?0 ?1,那么???????1,abcabcabcabc若一正两负,那么

4、 如果abc?0,代数式x?abcabacbcabc??????的最小值为n,则n11是多少? abcabacbcabc

[解析]:考虑a 、b 、c 正负的个数.

1) 若a,b,c 均为正数,则原式?1?1?1?1?1?1?1?7

2) 若a,b,c 为两正一负,则原式?1?1?1?1?1?1?1??1

3) 若a,b,c 为两负一正,则原式?1?1?1?1?1?1?1??1

4) 若a,b,c 均为负数,则原式??1?1?1?1?1?1?1??1

由题意知n??1,因此n11??1

1、 填空题:

(1) 已知:a??b?0,比较a,b,?a,?b

的大小,得到______< ______<______<______

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2、 选择题 (1)两个数互为相反数,则( )

(A)它们的和一定为零 (B)它们的差一定是正数

(C)它们的积一定是负数 (D)它们的商一定是1

(2)在有理数中,绝对值大于它本身的数有( )

(A) 1个 (B)2 个 (C) 3个 (D)无数个

(3)两个有理数的和比其中任意一个加数都小,则这两个数( )

(A)一正一负 (B)至少一个是零

(C)都是正数 (D)都是负数

(4)一个有理数与它的相反数之和( )

(A)一定是正数 (B)一定是负数

(C)一定不小于零 (D)一定不大于零

(5)一个数的倒数与它本身相等的有理数有( )

(A)一个 (B)两个

(C)三个 (D)无数多个

[解析]:(1)A;(2)D;(3)D;(4)D;(5)B

1?1?2113、计算:(1)?54?2???4?? (2)?14??1?0.5???2 4?2?9343[解析]:(1)6 (2)?1 8

4、某粮店出售的三种品牌的面粉袋上,分别标有质量为(25?0.1)kg、(25?0.2)kg、(25? 0.3)kg的字样,从中任意拿出不同的品牌各一袋,它们的质量最多相差多少?如果不论品牌任意拿出两袋,它们的质量最多相差多少?

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[解析]: 0.5kg;0.6kg。

5、 求x?1?x?2?x?3的最小值。

[解析]:这道题利用数形结合求法,根据其几何意义求解是最直观也最便捷的方法

其几何意义就是求数轴上一点到点1、2、3的距离和的最小值

易知点2到这三个点的距离和最小,最小值为2?1?0?2?3?4

6、探究数字黑洞:“黑洞”原指非常奇怪的天体,它体积小,密度大,吸引力强,任何物体到了它那里都别想再“爬”出来。无独有偶,数字中也有类似的“黑洞”,满足某种条件的所有数通过一种运算,都能被它“吸”进去,无一能逃脱它的魔掌。譬如:任意找一个3的倍数的数,先把这个数的每个数位上的数字都立方,再相加得到一个新数,然后把这个新数的每个数位上的数字再立方,再相加得到一个新数,求和,??重复运算下去,就能得到一个固定的数T =______, 我们称它为数字“黑洞”,T 为何具有如此魔力?通过认真观察、分析,你一定能发现它的奥秘。

[解析]: 因为数字有上述的“黑洞”特点,找一个符合要求的数进行运算一定能找到数T,153?13?53?33

6、 三个有理数a、b、c的积为负数,它们的和为正数,当x?

的值。

[解析]:由题意可知三个数中二正一负,则x?1,x3?92x?2=?89

?1??1235?7、 计算:????????? ?24??2346?

[解析]:abc??时,求代数式x3?92x?2abc1 15

选做 1、在数?7,?6,5,4,?3,2中任取若干个不同的数相乘。

(1)取出四个数相乘的乘积最大、最小分别是多少?

(2)取出五个数相乘的乘积最大、最小分别是多少?

[解析]:(1)840,?630 (2)1680,?2520

2、将 99 进行如下操作:第一次减去它的

剩下的22;第二次减去第一次剩下的;第三次减去第二次352??以此类推,则第50 次操作后,留下的这个数是多少? 7

99 101[解析]:

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3、某考察队于上午7 时40 分从营地乘汽车出发,已知汽车的速度为50 千米/时,汽车先向东行40 千米,工作30 分钟后向西行2.5 小时,又工作1 小时20 分钟后一直向东行,问到下午1 时该考察队在何处?

【分析】 营地西面75 千米处。

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