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反证法专题

发布时间:2014-04-23 10:01:37  

反证法专题

一、反证法的定义

不直接从命题的已知求证,而是假设命题的结论不成立;由此经过推理得出矛盾;由矛盾断定所作假设不正确,从而得到原命题正确;这种方法叫做反证法。

步骤:第一步:假设命题结论不成立;

第二步:从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾;

第三步:由矛盾判定假设不正确,从而肯定原命题的结论正确。

[说明]第2步中的推出的矛盾可以是和学过的定理、公理、性质相矛盾,

也可以是和题中的已知条件相矛盾。

二、例题(用反证法证明)

1、请证明:过同一直线L上的三个点A、B、C不能作出一个圆。

证明:

①假设过同一直线L上的三个点A、B、C可以作一个圆,

设圆心为点P,则P定是线段AB、BC的垂直平分线的交点

②那么点P既在线段AB的垂直平分线上,又在BC的垂直平分线上

③这与我们前面学过的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”

矛盾,所以假设错误,原命题正确。

2、请证明:两直线平行,同位角相等

如图,如果AB∥CD,求证:∠1= ∠2

证明:

①假设AB ∥CD时,∠1≠ ∠2,过点O作直线AˊBˊ,

使∠EOB= ∠2,

②根据“同位角相等,两直线平行”,可得AˊBˊ∥CD,这样,

过点O就有两条直线AˊBˊ,AB都平行于直线CD,这与平行

公理“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”相矛盾,

③所以,假设AB ∥CD时,∠1≠∠2错误,原命题正确。

3、请证明:过任意四个点A、B、C、D不是一定可以作一个圆

证明:

①假设过任意四个点A、B、C、D一定可以作一个圆。

②先过三个点A、B、C作一个圆,则第四个点D一定在这个圆上,

③这与点D是任意点相矛盾,(它可以是圆内或圆外的点),

所以,假设错误,原命题正确,

4、请证明:三角形中必有一个内角不小于600

证明:①假设三角形都小于600 ②那么三个角的内角和就小于1800,这与三角形的

内角和等于1800相矛盾 ③所以假设错误,原命题正确

5、请证明:三角形中不能有两个直角(三角形中最多有一个直角)

证明:①假设三角形中有两个直角,②这两个直角的和等于1800,再加上第三个角,

三角形的内角和必大于1800,这与三角形的内角和等于1800相矛盾

③所以,假设三角形中有两个直角错误,原命题正确。

6、请证明:已知,AB ∥CD,CD⊥EF于点N,求证:AB⊥EF

证明:

①假设AB与EF不垂直,

②过M作直线PQ⊥EF,则有PQ ∥CD,这样

过点M就有两条直线AB、PQ与已知直线CD平行,

这与“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”相矛盾

③所以,假设错误,原命题正确。

7、请证明:如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行。 转化为几何语言:如果直线AB ∥CD,EF ∥CD ,则一定有AB ∥EF

证明:

①假设AB不平行于EF

②则直线AB与EF一定相交,设交点是P,于是经过

点P就有两条直线平行于已知直线CD,这与“过直线

外一点只且只有一条直线与已知直线平行”相矛盾

③所以,假设错误,原命题的结论正确。

8、请证明:

证明:

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