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中考数学专题复习第八讲:一元二次方程及应用

发布时间:2013-09-27 08:31:10  

中考数学专题复习第八讲:一元二次方程及应用

【基础知识回顾】

一、 一元二次方程的定义:

1、一元二次方程:含有个未知数,并且未知数最 方程

2、一元二次方程的一般形式:其中二次项是 一次项是 , 是常数项

【名师提醒:1、在一元二次方程的一般形式要特别注意强调a≠o这一条件

2、将一元二次方程化为一般形式时要按二次项、一次项、常数

项排列,并一般首项为正】

二、一元二次方程的常用解法:

1、直接开平方法:如果aX 2 =b 则X 2 = X= = 12

2、配方法:解法步骤:1、化二次项系数为 即方程两边都 二次项系数

2、移项:把 项移到方程的 边

3、配方:方程两边都加上 把左边配成完全平方的形式

4、解方程:若方程右边是非负数,则可用直接开平方法解方程

3、公式法:如果方程aX 2 +bx+c=0(a±0) 满足b 2-4ac≥0,则方程的求根公式为

4、因式分解法:一元二次方程化为一般形式式,如果左边分解因式,即产生

A.B=0的形式,则可将原方程化为两个 方程,即 从而方程的两根

【名师提醒:一元二次方程的四种解法应根据方程的特点灵活选用,较常用到的是 法和 法】

三、一元二次方程根的判别式

关于X的一元二次方程aX 2 +bx+c=0(a±0)根的情况由 决定,我们把它叫做一元二次方程根的判别式,一般用符号 表示

①当 时,方程有两个不等的实数根 方程有两个实数跟,则 ②当 时,方程看两个相等的实数根

③当 时,方程没有实数根

【名师提醒:在使用根的判别式解决问题时,如果二次项系数中含有字母一定要保证二次项系数 】

一、一元二次方程根与系数的关系:

关于X的一元二次方程aX 2 +bx+c=0(a±0)有两个根分别为X1X2则X1+X2 X2

二、一元二次方程的应用:

解法步骤同一元一次方程一样,仍按照审、设、列、解、验、答六步进行 常见题型

1、增长率问题:连续两率增长或降低的百分数Xa(1+X)2

=b

2、利润问题:总利润 或利润—

3、几个图形的面积、体积问题:按面积的计算公式列方程

【名师提醒:因为通常情况下一元二次方程有两个根,所以解一元二次方程的应用题一定要验根,检验结果是否符合实际问题或是否满足题目中隐含的条件】

【重点考点例析】 考点一:一元二次方程的有关概念(意义、一般形式、根的概念等)

例1 (2012?兰州)下列方程中是关于x的一元二次方程的是( )

A.x2+12=0 B.ax+bx+c=0 2x

C.(x-1)(x+2)=1 D.3x2-2xy-5y2=0 思路分析:一元二次方程必须满足四个条件:

(1)未知数的最高次数是2;

(2)二次项系数不为0;

(3)是整式方程;

(4)含有一个未知数.由这四个条件对四个选项进行验证,满足这四个条件者为正确答案. 解:A、原方程为分式方程;故本选项错误;

B、当a=0时,即ax2+bx+c=0的二次项系数是0时,该方程就不是一元二次方程;故本选项错误;

C、由原方程,得x2+x-3=0,符合一元二次方程的要求;故本选项正确;

D、方程3x2-2xy-5y2=0中含有两个未知数;故本选项错误.

故选C.

点评:本题考查了一元二次方程的概念,判断一个方程是否是一元二次方程,首先要看是否是整式方程,然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2.

对应训练

1.(2012?惠山区)一元二次方程(a+1)x2-ax+a2-1=0的一个根为0,则.

1.1

解:∵一元二次方程(a+1)x2-ax+a2-1=0的一个根为0,

∴a+1≠0且a2-1=0,

∴a=1.

故答案为1.

点评:本题考查了一元二次方程的定义:含一个未知数,并且未知数的最高次数为2的整式方程叫一元二次方程,其一般式为ax2+bx+c=0(a≠0).也考查了一元二次方程的解的定义.

考点二:一元二次方程的解法

例2 (2012?安徽)解方程:x2-2x=2x+1.

思路分析:先移项,把2x移到等号的左边,再合并同类项,最后配方,方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方,左边就是完全平方式,右边就是常数,然后利用平方根的定义即可求解.

解:∵x2-2x=2x+1,

∴x2-4x=1,

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