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中考数学专题复习第二十三讲 圆的有关概念及性质

发布时间:2013-09-27 08:31:16  

中考数学专题复习第二十三讲 圆的有关概念及性质

【基础知识回顾】

一、 圆的定义及性质:

1、 圆的定义:

⑴形成性定义:在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A随之旋转形成的图形叫做圆,固定的端点叫 线段OA叫做

⑵描述性定义:圆是到定点的距离等于 的点的集合

【名师提醒:1、在一个圆中,圆←决定圆的 半径决定圆的

2、直径是圆中 的弦,弦不一定是锥】

2、弦与弧:

弦:连接圆上任意两点的叫做弦

弧:圆上任意两点间的叫做弧,弧可分为 、、三类

3、圆的对称性:

⑴轴对称性:圆是轴对称图形,有条对称轴的直线都是它的对称轴 ⑵中心对称性:圆是中心对称图形,对称中心是

【名师提醒:圆不仅是中心对称图形,而且具有旋转 性,即绕圆心旋转任意角度都被与原来的图形重合】

二、 垂径定理及推论:

1、垂径定理:垂直于弦的直径,并且平分弦所对的

2、推论:平分弦()的直径 ,并且平分弦所对的

【名师提醒:1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足:⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分弦⑷平分弦所对的优弧⑸平分弦所对的劣弧五个条件中的两个,那么可推出其中三个,注意解题过程中的灵活运用

2、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的 线

3、垂径定理常用作计算,在半径r弦a弦心d和弦h中已知两个可求另外

两个】

三、圆心角、弧、弦之间的关系:

1、圆心角定义:顶点在 的角叫做圆心角

2、定理:在中,两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量它们所对应的其余各组量也分别

【名师提醒:注意:该定理的前提条件是“在同圆或等圆中”】

四、 圆周角定理及其推论:

1、圆周角定义:顶点在并且两边都和圆 的角叫圆周角

2、圆周角定理:在同圆或等圆中,圆弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的

推论1、在同圆或等圆中,如果两个圆周角 那么它们所对的弧

推论2、半圆(或直弦)所对的圆周角是 900的圆周角所对的弦是

【名师提醒:1、在圆中,一条弦所对的圆心角只有一个,而 它所对的圆周角有 个,它们的关系是

2、 作直弦所对的圆周角是圆中常作的辅助线】

五、 圆内接四边形:

定义:如果一个多边形的所有顶点都在圆上,这个多边形叫做这个圆叫做 性质:圆内接四边形的对角

【名师提醒:圆内接平行四边形是 圆内接梯形是 】

考点一:垂径定理 例1 (2012?绍兴)如图,AD为⊙O的直径,作⊙O的内接正三角形ABC,甲、乙两人的作法分别是:

甲:1、作

OD的中垂线,交⊙O于B,C两点,

2、连接AB,AC,△ABC即为所求的三角形

乙:1、以D为圆心,OD长为半径作圆弧,交⊙O于B,C两点.

2、连接AB,BC,CA.△ABC即为所求的三角形.

对于甲、乙两人的作法,可判断( )

A.甲、乙均正确 B.甲、乙均错误

C.甲正确、乙错误 D.甲错误,乙正确

考点:垂径定理;等边三角形的判定与性质;含30度角的直角三角形.

专题:计算题.

分析:由甲的思路画出相应的图形,连接OB,由BC为OD的垂直平分线,得到OE=DE,且BC与OD垂直,可得出OE为OD的一半,即为OB的一半,在直角三角形BOE中,根据一直角边等于斜边的一半可得出此直角边所对的角为30°,得到∠OBE为30°,利用直角三角形的两锐角互余得到∠BOE为60°,再由∠BOE为三角形AOB的外角,且OA=OB,利用等边对等角及外角性质得到∠ABO也为30°,可得出∠ABC为60°,同理得到∠ACB也为60°,利用三角形的内角和定理得到∠BAC为60°,即三角形ABC三内角相等,进而确定三角形ABC为等边三角形;

由乙的思路画出相应的图形,连接OB,BD,由BD=OD,且OB=OD,等量代换可得出三角形OBD三边相等,即为等边三角形,的长∠BOE=∠DBO=60°,由BC垂直平分OD,根据三线合一得到BE为角平分线,可得出∠OBE为30°,又∠BOE为三角形ABO的外角,且OA=OB,利用等边对等角及外角的性质得到∠ABO也为30°,可得出∠ABC为60°,同理得到∠ACB也为60°,利用三角形的内角和定理得到∠BAC为60°,即三角形ABC三内角相等,进而确定三角形ABC为等边三角形,进而得出两人的作法都正确.

解答:解:根据甲的思路,作出图形如下:

连接OB,

∵BC垂直平分OD,

∴E为OD的中点,且OD⊥BC,

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