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八年级(下)数学同步辅导第四章相似图形

发布时间:2014-04-28 13:55:47  

第四章 相似图形

Ⅰ. 梳理知识

1.三角形相似的条件

,两三角形相似.

,两三角形相似.

,两三角形相似.

2.如何寻找和发现相似三角形

两个三角形相似,一般说来必须具备下列六种图形之一:

只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形,并能根据问题需要舔加适当的辅助线,构造出基本图形,从而使问题得以解决.

3.相似三角形与相似多边形的性质

(1)相似三角形的性质

①相似三角形的三边 ,三角 .

②相似三角形的 , 与 都等于相似比. ③相似三角形周长之比等于 ,相似三角形面积之比等于 .

(2)相似多边形的性质

①相似多边形的对应边 ,对应角 .

②相似多边形的对角线之比、周长之比都等于 .

③相似多边形面积之比等于 .

4.几何变换(按一定的方法把一个图形变成另一个图形)

(1)相似变换:保持图形的形状不变的几何变换叫做相似变换

(2)位似变换

①位似图形:如果两个图形不仅是 图形,而且每组对应点所在的直线都 ,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做 ,这时的相似比又称为 . ②位似图形的性质:位似图形上任意一对对应点到 的距离之比等于位似比.

5.相似三角形的应用——测量旗杆的高度(利用阳光下的影子;利用标杆;利用镜子的反射.) Ⅱ. 典例剖析

例1.如图,DE∥BC,SΔDOE∶SΔCOB=4∶9,求AD∶BD.

例2.如图,四边形ABCD是平行四边形,AE⊥BC于E,AF⊥CD于F.

(1)ΔABE与ΔADF相似吗?说明理由.

(2)ΔAEF与ΔABC相似吗?说说你的理由.

例3.如图,在RtΔABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3.

(1)如图(1),四边形DEFG为ABC的内接正方形,求正方形的边长

.

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(2)如图(2),三角形内有并排的两个相等的正方形,它们组成的矩形内接于ΔABC,求正方形的边长.

(3)如图(3),三角形内有并排的三个相等的正方形,它们组成的矩形内接于ΔABC,求正方形的边长.

(4) 如图(4),三角形内有并排的n个相等的正方形,它们组成的矩形内接于ΔABC,请写出正方形的边长.

Ⅲ.同步测试

一、选择题(每小题3分,共30分)

1、在相同时刻的物高与影长成比例,如果高为1.5米的测竿的影长为2.5米,那么影长为30米的旗杆的高是( )

A.20米 .B.18米 C.16米 D.15米

2、如图,D、E分别是AB、AC上两点,CD与BE相交于点O,下列条件中不能使ΔABE和ΔACD相似的是( )

A.∠B=∠C B.∠ADC=∠AEB C.BE=CD,AB=AC D.AD∶AC=AE∶AB

3、如图所示,D、E分别是ΔABC的边AB、AC上的点,DE∥BC,并且AD∶BD=2,那么SΔADE∶S四边形DBCE=( ) (A)2344 (B) (C) (D) 3459

4.在矩形ABCD中,E、F分别是CD、BC上的点,若∠AEF=90°,则一定有( )

(A)ΔADE∽ΔAEF (B)ΔECF∽ΔAEF (C)ΔADE∽ΔECF (D)ΔAEF∽ΔABF

(第2题图) (第3题图) (第4题图) (第5题图)

5、厨房角柜的台面是三角形(如图所示),如果把各边中点连线所围成的三角形铺成黑色大理石(图中阴影部分),其余部分铺成白色大理石,则黑色大理石面积与白色大理石的面积之比是( )

A.1∶2 B.1∶3 C.1∶4 D.1∶5

6、如图,在大小为4×4的正方形网格中,是相似三角形的是( )

① ② ③ ④

A.①和② B.②和③ C.①和③ D.②和④

7、如图是圆桌正上方的灯泡O发出的光线照射桌面后,在地面上形成阴影(圆形)的示意图

.

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已知桌面的直径为1.2m,桌面距离地面1m,若灯泡O距离地面3m,则地面上阴影部分的面积为( )

A.0.36πm2 B.0.81πm2 C.2πm2 D.3.24πm2

8、如图,直线l1∥l2,AF∶FB=2∶3,BC∶CD=2∶1,则AE∶EC是( )

A.5∶2 B.4∶1 C.2∶1 D.3∶2

9、如图,三个正六边形全等,其中成位似图形关系的有( )

A.4对 B.1对 C.2对 D.3对

(第7题图) (第8题图) (第9题图) (第10题图)

10、平面直角坐标系中,有一条“鱼,它有六个顶点”,则( )

A.将各点横坐标乘以2,纵坐标不变,得到的鱼与原来的鱼位似

B.将各点纵坐标乘以2,横坐标不变,得到的鱼与原来的鱼位似

C.将各点横、纵坐标都乘以2,得到的鱼与原来的鱼位似

D.将各点横坐标乘以2,纵坐标乘以1,得到的鱼与原来的鱼位似 2

二、填空题(每小题4分,共20分)

11、两个相似多边形的一组对应边分别为3cm和4.5cm,如果它们的面积之和为130cm2,那么较小的多边形的面积是 cm2.

12、如图,DE与BC不平行,当

(第12题图) (第13题图) (第14题图) (第15题图) ABΔABC与ΔADE相似. AC

13、如图,AD=DF=FB,DE∥FG∥BC,则SⅠ∶SⅡ∶SⅢ.

14、如图,正方形ABCD的边长为2,AE=EB,MN=1,线段MN的两端在CB、CD上滑动,当CM= 时,ΔAED与N,M,C为顶点的三角形相似.

15、如图,在直角坐标系中有两点A(4,0)、B(0,2),如果点C在x轴上(C与A不重合),当点C的坐标为 或 时,使得由点B、O、C组成的三角形与ΔAOB相似(至少写出两个满足条件的点的坐标).

三、解答题(每小题8分,共40分)

16、如图,ΔABC中,BC=a.

11AB,AE1=AC,则D1E1 33

11(2)若D1D2=D1B,E1E2=E1C,则D2E2 33

11(3)若D2D3=D2B,E2E3=E2C,则D3E3 33(1)若AD1=

??

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(4)若Dn-1Dn=11Dn-1B,En-1En=En-1C,则DnEn33

17、已知:如图,ΔABC中,∠B=∠C=30°.请你设计三种不同的分法,将ΔABC分割成四个三角形,使得其中两个是全等三角形,而另外两个是相似三角形但不全等的直角三角形.请画出分割线段,标出能够说明分法的所得三角形的顶点和内角度数或记号,并在各种分法的空格线上填空.(画图工具不限,不要求写出画法,不要求说明理由).

分法一 分法二 分法三

分法一:分割后所得的四个三角形中,Δ ≌Δ ,RtΔ ∽RtΔ . 分法二:分割后所得的四个三角形中,Δ ≌Δ ,RtΔ ∽RtΔ . 分法三:分割后所得的四个三角形中,Δ ≌Δ ,RtΔ ∽RtΔ .

18、在比例尺为1∶5000的地图上,一块多边形地区的周长是72cm,面积是320cm2,求这个地区的实际周长和面积.

19、如图,ΔABC中,BD是角平分线,过D作DE∥AB交BC于点E,AB=5cm,BE=3cm,求EC的长.

20、如图,四边形ABCD、CDEF、EFGH都是正方形.

(1)⊿ACF与⊿ACG相似吗?说说你的理由.

(2)求∠1+∠2的度数.

五、(本题10分)

21、在ΔABC中,AB=4

如图(1)所示,DE∥BC,DE把ΔABC分成面积相等的两部分,即SⅠ=SⅡ,求AD的长. 如图(2)所示,DE∥FG∥BC,DE、FG把ΔABC分成面积相等的三部分,即SⅠ=SⅡ=SⅢ,求AD的长.

如图(3)所示,DE∥FG∥HK∥?∥BC,DE、FG、HK、?把ΔABC分成面积相等的n部分,SⅠ=SⅡ=SⅢ=?,请直接写出AD的长.

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