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初中圆知识点总结复习

发布时间:2014-04-29 13:51:09  

初中圆的复习

一、圆的概念

集合形式的概念: 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合;

2、圆的外部:可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合;

3、圆的内部:可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念:

1、圆:到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径的圆;

2、垂直平分线:到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线(也叫中垂线);

3、角的平分线:到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线;

4、到直线的距离相等的点的轨迹是:平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线;

5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是:平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、点与圆的位置关系

1、点在圆内 ? d?r ? 点C在圆内; A

2、点在圆上 ? d?r ? 点B在圆上; 3、点在圆外 ? d?r ? 点A在圆外; 三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 ? d?r ? 无交点;

2、直线与圆相切 ? d?r ? 有一个交点;

3、直线与圆相交 ? d?r ? 有两个交点;

四、圆与圆的位置关系

外离(图1)? 无交点 ? d?R?r;

外切(图2)? 有一个交点 ? d?R?r;

相交(图3)? 有两个交点 ? R?r?d?R?r;

内切(图4)? 有一个交点 ? d?R?r;

内含(图5)? 无交点 ? d?R?r;

图1

图2

图4

图5

五、垂径定理

垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;

(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;

(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧

以上共4个定理,简称2推3定理:此定理中共5个结论中,只要知道其中2个即可推出其它3个结论,即: ①AB是直径 ②AB?CD ③CE?DE ④ 弧BC?弧BD ⑤ 弧AC?弧AD中任意2个条件推出其他3个结论。

推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。

即:在⊙O中,∵AB∥CD D ∴弧AC?弧BD

六、圆心角定理

圆心角定理:同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对的弧相等,弦心距相等。 此定理也称1推3定理,即上述四个结论中,

只要知道其中的1个相等,则可以推出其它的3个结论, 即:①?AOB??DOE;②AB?DE;

③OC?OF;④ 弧BA?弧BD

七、圆周角定理

1、圆周角定理:同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。

即:∵?AOB和?ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角

B∴?AOB?2?ACB

2、圆周角定理的推论:

推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧是等弧;

即:在⊙O中,∵?C、?D都是所对的圆周角

∴?C??D

推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角;圆周角是直

角所对的弧是半圆,所对的弦是直径。

即:在⊙O中,∵AB是直径 或∵?C?90?

∴?C?90? ∴AB是直径 BA

推论3:若三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。

即:在△ABC中,∵OC?OA?OB

BA ∴△ABC是直角三角形或?C?90?

注意:此推论实是初二年级几何中矩形的推论:在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。

八、圆内接四边形

圆的内接四边形定理:圆的内接四边形的对角互补,外角等于它的内对角。

即:在⊙O中, ∵四边ABCD是内接四边形

∴?C??BAD?180? ?B??D?180?

?DAE??C

九、切线的性质与判定定理 1、切线的判定定理:过半径外端且垂直于半径的直线是切线;

两个条件:过半径外端且垂直半径,二者缺一不可

即:∵MN?OA且MN过半径OA外端

∴MN是⊙O的切线

2、性质定理:切线垂直于过切点的半径(如上图)

推论1:过圆心垂直于切线的直线必过切点。

推论2:过切点垂直于切线的直线必过圆心。

以上三个定理及推论也称二推一定理:

即:①过圆心;②过切点;③垂直切线,三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。

十、切线长定理

切线长定理: 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长

相等,这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

即:∵PA、PB是的两条切线

∴PA?PB;PO平分?BPA

十一、圆幂定理

1、相交弦定理:圆内两弦相交,交点分得的两条线段的乘积相等。 D即:在⊙O中,∵弦AB、CD相交于点P, B

∴PA?PB?PC?PD 推论:如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。

即:在⊙O中,∵直径AB?CD, A

∴CE2?AE?BE

2、切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

即:在⊙O中,∵PA是切线,PB是割线 ∴ PA2?PC?PB

3、割线定理:从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每

条割线与圆的交点的两条线段长的积相等(如右图)。

即:在⊙O中,∵PB、PE是割线

∴PC?PB?PD?PE

十二、两圆公共弦定理 圆公共弦定理:两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。

如图:O1O2垂直平分AB。

即:∵⊙O1、⊙O2相交于A、B两点

∴O1O2垂直平分AB

十三、圆的公切线

两圆公切线长的计算公式:

(1)公切线长:Rt?

O1O2C中,AB?CO?

2

21

(2)外公切线长:CO2是半径之差; 内公切线长:CO2是半径之和

十四、圆内正多边形的计算 (1)正三角形

在⊙O中△ABC是正三角形,有关计算在Rt?

BOD中进行:OD:BD:OB?2;

(2)正四边形

同理,四边形的有关计算在Rt?

OAE中进行,OE:AE:OA?

(3)正六边形

同理,六边形的有关计算在Rt?

OAB中进行,AB:OB:OA?2.

十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式

n?R

1、扇形:(1)弧长公式:l?;

180

n?R21

?lR (2)扇形面积公式: S?

3602

O

l

n:圆心角 R:扇形多对应的圆的半径 l:扇形弧长 S:扇形面积

2、圆柱:

(1)圆柱侧面展开图 D1 S表?S侧?2S底=2?rh?2?r2

C1

(2)圆柱的体积:V??r2h

3、圆锥侧面展开图

(1)S表?S侧?S底=?Rr??r2

1(2)圆锥的体积:V??r2h 3

十六、内切圆及有关计算。

(1)三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点,它到三边的距离相等。

a?b?c(2)△ABC中,∠C=90°,AC=b,BC=a,AB=c,则内切圆的半径r= 。 2

1(3)S△ABC=r(a?b?c),其中a,b,c是边长,r是内切圆的半径。 2(4

如图,BC切⊙O于点B,AB为弦,∠ABC叫弦切角,∠ABC=∠D。

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