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垂径定理PPT

发布时间:2014-05-04 08:10:48  

22.3 圆对称性.垂径定理(1)

圆的对称性
? 圆是轴对称图形吗? 如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称 轴? 你是用什么方法解决上述问题的?



O

圆的对称性
? 圆是轴对称图形. 圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无 数条对称轴. 可利用折叠的方法即可解决上述问题.



O

垂径定理
? AB是⊙O的一条弦. 作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.
?

下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?

? 你能发现图中有哪些等量关系? 说说你的想法和理由.
C

A

M└


B O

?

由 ① CD是直径
② CD⊥AB

③AM=BM,
可推得

⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒ ⌒ ⑤AD=BD.

D

垂径定理
? 如图, 理由是: 连接OA,OB, 则OA=OB. 在Rt△OAM和Rt△OBM中, ∵OA=OB,OM=OM, ∴Rt△OAM≌Rt△OBM. ∴AM=BM. ∴点A和点B关于CD对称. ∵⊙O关于直径CD对称, ∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B ⌒ ⌒ 重合, ⌒ AC和BC重合, ⌒ AD和BD重合.

C

A

M└


B O

D

⌒ =BC, ⌒ ∴AC

⌒ =BD. AD



垂径定理数学表达
? 定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧. 如图∵ CD是直径, CD⊥AB, B
O 或:∵ CD过圆心,

C

A

M└


∴AM=BM,

CD⊥AB,
∴AM=BM,

⌒ =BC, ⌒ AC ⌒ ⌒ AD=BD.

D

⌒ =BC, ⌒ AC
⌒ ⌒ AD=BD.

垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧。 题设
C
(2)垂直于弦 (1)直径(或过圆心的直线)

结论
(4)平分弦所 对的优弧

O A
(5)平分弦所 对的劣弧

B D 图 23.1.7

(3)平分弦

垂径定理的推论
?

右图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
? AB是⊙O的一条弦,直径CD与AB交于点M,且AM=BM. ? 你能发现图中有哪些等量关系? 说说你的想法和理由.

?

由 ① CD是直径 ③ AM=BM

可推得

②CD⊥AB,

C

⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒ ⌒ ⑤AD=BD.

A





B O

M


推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦, 并且平 分弦所对的两条弧.

D

想一想
? 如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相 等吗? 这两条弦在圆中位置有两种情况: 1.两条弦在圆心的同侧
O

2.两条弦在圆心的两侧
A


A C



B D

O

B D

C

垂径定理的推论 圆的两条平行弦所夹的弧相等.

垂径定理的推论
? 如图,在下列五个条件中:

① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM, ⌒ ⌒ ④AC=BC,

⌒ ⌒ ⑤AD=BD.

只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.
C

A

M└


B O

D

C

垂径定理及推论
条件
①② ①③ ①④ ①⑤ ②③

A

M└


B O

结论
③④⑤ ②④⑤ ②③⑤ ②③④ ①④⑤

命题
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.

D

平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧. 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的 另一条弧.

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