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特殊的平行四边形(2)_菱形

发布时间:2014-05-04 09:36:43  

2.特殊的平行四边形

菱形

想一想
?什么样的图形叫做菱形? 菱形的定义:一组邻边相等的平行四边形 叫做菱形。 ?菱形有哪些性质?
具有平行四边形的一切性质 菱形既是轴对称图形,又是中心对称图形。 ?定理:菱形的四条边都相等 ?定理:菱形的对角线互相垂直,并且每条对角线 平分一组对角

菱形的性质
?定理:菱形的四条边都相等.
已知:如图,四边形ABCD是菱形. A 求证:AB=BC=CD=DA.
D
C B

证明: ∵ 四边形ABCD是菱形,

∴AB=AD,四边形ABCD是平行四边形. ∴AB=CD,AD=BC. ∴ AB=BC=CD=AD.

?定理:菱形的两条对角线互相垂直,并且每条对角 线平分一组对角.
已知:如图,AC,BD是菱形ABCD的两条对角线,AC,BD相 交于点O. D 求证: (1).AC⊥BD; (2).AC平分∠BAD和∠BCD, O A BD平分∠ADC和∠ABC.

C

证明:∵四边形ABCD是菱形. B ∴AB=AD.(菱形的四条边都相等) OB=OD.(菱形的对角线互相平分) ∴AC⊥BD,AC平分∠BAD,(等腰三角形顶角的平分 线、底边上的中线、底边上的高互相重合) 同理 AC平分∠BCD, BD平分∠ABC和∠ADC.

D



菱形的两组对边平行且相等 A

O B 数学语言

C

菱形的四条边相等

菱形的两组对角分别相等 ∵四边形ABCD是菱形



菱形的邻角互补

DCA= ∠ BCA ∠∠ ADC= ∠ ABC ∥ CD AB ∠ADB= ∠CDB 菱形的 两条对角线互相平分 ∠ABD=∠CBD AC⊥BD 对角线

∥ ∴ AD BC ∴ ∠ ∴ DAB+ ∠ DAC= ∠ ABC= ∠BAC 180° ∴ AB=BC=CD=DA ∴OA=OC;OB=OD ∠DAB= ∠ DCB ∴ =

=

菱形的两条对角线互相垂直平分, 并且每一条对角线平分一组对角。

【菱形的面积公式】
A B 菱形是特殊的平行四边形, 那么能否利用平行四边形 面积公式计算菱形的面积吗? D

菱形
O E
C

S菱形=BC●AE

思考:计算菱形的面积除了上式方法外,利 为 什 用对角线能 计算菱形的面积公式吗? 么 1 S菱形ABCD=S△ABD+S△BCD= AC×BD 2 面积:S菱形=底×高=对角线乘积的一半

?

例1 如图,菱形花坛ABCD的边长为20m, ∠ABC=60度,沿着菱形的对角线修建了 两条小路AC和BD,求两条小路的长和花 坛的面积(分别精确到0.01m和0.01m )
A

B

O

D

C

?例1.已知:如图,四边形ABCD是边长为13cm 的菱形,其中对角线BD长10cm. 求:(1).对角线AC的长度; (2).菱形ABCD的面积. B 解:(1) ∵四边形ABCD是菱形, 1 1 ∴ AE=CE BE= DE ? BD ? ?10 ? 5?cm ?. ∴AC⊥BD ∠AED=900,
2 2

A

E

D

C

在Rt△AED中,由勾股定理得:
? AE ? AD 2 ? DE 2 ? 132 ? 52 ? 12?cm ?.

∴AC=2AE=2×12=24(cm). (2)菱形ABCD的面积=△ABD的面积+△CBD的面积 1 =2×△ABD的面积 ? 2 ? ? BD ? AE

1 ? 2 ? ?10 ?12 ? 120 cm 2 . 2

? ?

2

菱形的面积等于两条 对角线乘积的一半

怎样判别一个四边形(平行四边形) 是菱形? 菱形的判别方法:
? 一组邻边相等

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